ii）任意の孟≦Tに対し確率1で（4．1）が成り立っている．
条件i）により（4．1）の右辺の各項が意味をもつ．尚σ，δがωによらず（舌，勾だけの関数 のとき，（4．1）はMarkov型と呼ばれる．
定理4．1．2 T＞0を任意に固定する．任意のオ∈［0，Tl縄，ッ∈IRNおよびω∈Ωに対し，
κ：＝κT＞0が存在して，σ￠，ω，ω），碓，ω，ω）が次を満たしていると仮定する．
｛
】iσ（ち：r，ω）一σ（ち〃，ω）ll≦K揺剛l l6（ち：r，ω）一わ（ち〃，ω）1≦κゆ瑠l
llσ（ちω，ω）ll＋【わ（ちz，ω）1≦κ（1＋回）
さらに珂【ξ旧く○○も仮定する．
このとき，区間［0，T］における（4．1）の一意解が存在し，
E［。塾岡2］＜・・
を満たす．ただし解が一意的であるとは，XとX がともに解ならば，
P（｛ ω；sup lXl（ω 0＜オくT ｝ 一）一罪（ω）［〉・｝）一・
が成り立つことである．
証明に進む前に補題を一つ示す．この補題は解の一意性の証明（翫ep3）で用いる．
補題4．1．3（Gronwallの補題）連続関数ノ（の，オ∈［0， T］が
・≦！ω≦・瞭㈲岬≧・
（4．3）
（4．4）
（4．5）
を満たすとき，！（の≦αebt，孟∈［0，T］が成り立つ．
【証明】賜（の＝e覗鳶！（8）48とすると，
㎡（オ）一評（！（の一δズ！（・）お）≦一
であるから，錫（の≦階αe鞠d8＝（α／の（1−e緬君）となり，条件より求める結果を得る． 圏
【定理4．1．2の証明】（8加p1） 連続確率過程の列X（π）＝｛Xチπ）｝孟qOJ｝，η∈Nを次のよ うに帰納的に定義する．
η＝1のとき Xガ1）＝ξ
η＞2のとき雄）一σx畦ξ＋恥x皇→）職イ瞑鯉悌・（46）
ここで，任意のπ∈Nに対して，x（π）が次のi）， ii）を満たすことを示す．
4．確率微分方程式
45
i） 毎n）は汚に適合している，
ii）珂・up。．、＜。 lx！π）12］＜・。
このとき（4．4）よりE［「1σ（ちXl（π一1），ω）1【2］≦1（2−E［（1＋IXI（π一1）D2］＜Oo，焼∈［0，T］であ るから，．E［ρT Il ！ ＿＿rm＿1」611σ（ちx〜『 ），ω）li2d司〈oOすなわちσ∈易（0，T；＜B＞）が分かる．同様に，
∬16（ちx！ 1），ω）i砒くOoa．s，も成り立ち，またσ， bは発展的可測でもあるから（4．6）の右 辺の穫分が定義できる．従って確率過程の列｛Xω｝，π∈Nが順次定義される．
i），ii）を数学的帰納法により示す．
η＝1のときは明らか．
i），ii）がx！π一1）について成り並つと仮定すると（4．6）の右辺の積分が定義でき，x押は確 率積分と連続有界変動過程の和であるから￡に適合している．従ってi）がいえた。
ii）を示す．まず不等式（α＋δ＋c）2≦3（α2＋δ2＋c2）から，次式が成り立つ．
E［・upPψ0＜孟くT）1・
≦3珂1ξP］… u幅X押），ω）眠1＋3E臨騨，ω）司
右辺第2項にDoobの不等式を，第3項にはSchwarzの不等式を適用し，さらに（4．4）に注意 すれば，帰納法の仮定から次のように示される．
E［。嬰幽・］
≦3E［rξ1・］＋12E〈ズσ（瞭D，ω）職〉＋3E［。野ズ1δ（瞭・），ω）12d・
≦3珂！ξ1・］＋・2E［∠Tσ（・，x！・一・），ω）li2 d・］＋3TE［∠「わ岬）・ω）祠
≦3E［1ξ1・］＋（・2＋3T）K・ズE［（1＋。呈潔。lx！・一・）1）2］4・＜・・ （47）
（翫ep2）次に列｛X＠）｝がη→Ocのときに概収束し，その極限が求める解であることを 示す．任意のη≧3と任意のオ∈［0，T］に対し，
E［。聾隻陛L劇2］
≦≦
≦
2E
＋2E
8E
m∠t＋2孟E
mズ
・・
・up ｛σ（・，x！ 1），ω）一σ（・，x！ 2），ω）｝dB、
0≦γ≦ホ
。国儀，ズ｛6（・，x！π一1），ω）一わ（・，X今一・），ω）｝
llσ（・，x！・一1），ω）一σ（・，x！−2），ω）l12 d・
1δ（・，x！・一1），ω）一6（・，x！・一2），ω）124・
・upix！−1Lx！−2）r d・．
0≦γ≦8
2］
刈
（4．8）
ただし，01：＝（8＋2T）1（2である．第2の不等式はDoobの不等式とSchwarzの不等式を適 用し，最後の不等式は条件（43）とFubiniの定理を用いた．
従ってπ≧2のとき，帰納的に
「 ∩「 T 「 j
EL。皇聖。lx鮮鮒｝1）r」≦o・炉壮齢1）一x雰二一2）121 d・・
≦（肥∬…ズ3E［・up lx！2Lx！10＜γ＜T）胆幽…醐
（0、T）π一2
（4．9）
＝ σ2
（η一2）！ 、
が成り立つ．ただし，02：＝E［SUPo＜KT ix雰2L x！1）12］＜○○である．
（4．9）にChebyshevの不等式を用いると，
P（｛ω∈Ω；愚雄）（ω）一雄D（ω）〉歩｝）≦16・・（讐12
がいえ，従って
義P（｛ω∈Ω；四聖）（ω）一鯉（ω）1＞封）＜・・
であるからBorel−Cantelliの補題により，
P（鳶Ω｛ω∈Ω；継）（ω）一姻）（ω）〉歩｝）一・
となる．よって0（RN）（RN上の連続関数全体の空間）のノルムSUPo 丁卜1に関する完備 性から極限瓦（ω）が存在する．また上で見たことから型（π）（ω）は確率1で［0，T］上一様収 束することが分かる．ゆえにFatouの補題と（4．7）より，
E［。賜1濁12］≦1恕fE［。：接
すなわち，（4．5）がいえた．
次に，m＜ηとすると（4．9）より，
E［。：盟
であるが，Fatouの補題により E［ sup
O＜ホ＜T
一 一