た＝0葱，ゴ＝ニ1
と定義する一腔，ハ4ゴ，ル戸ハ4ゴー〈．雇，ル∫ゴ〉のマルチンゲール性から，
E［（！曜一ル⑳（M7L1㎎ ）一（〈M∵Mゴ＞r〈．M∵Mゴ〉。）［鑑］＝0，孟＞5 となることに注意すれば，κ〈Zのとき
E障ゴ巧P9］＝E［E［v炉巧pgl∫司］
沼［鷲ゴ偏脚E［（鴫淵（鴫一軒）一封1d〈照礁胡一・
が成り立つから，（3）と同様に〈，腔，Mゴ〉＝〈ル∫信，ハ4ゴ〉＋一〈バグ，．Mゴ〉㎜とすれば
lE［（π一1NΣΣ喫）2］一1￡E［（童鷲・）2］
んニむらゴニユ たニ らゴコユ
≦1嚇［（滋（（峨・・一峨）（鳩一鳳）一かd〈賦））1
≦嚇［1V ．＿Σ＠＋、一ル環，琶，ゴ＝1）2（鴫畷）2懐（か順）1
≦吻［・upl峻＋、一確」2ΣQ・（Mゴ；△￠，鳶 ゴ瓢1）］
ガ
＋κ2裁Es昊pl脚ゴ〉競べ〈MI・蜘（脚ゴ〉才＋〈M乞，Mゴ〉の
となる．従って，H61derの不等式を用いると E［蟻△y一考ムア2］
≦吻［練物ド］㌔［（シ（融△））1圭
＋穣El呈p脚・い職［／㌔［（く賦＋〈賦）雫
が成り立つことが分かる．
3．確率積分と伊藤iの公式
41
定理2．3．5より珂（Σ塾1Q孟（Mゴ；△））2］＜ヨ01であり，さらに〈1腔＋Mゴ〉および〈MLル∫ゴ〉
の有界変動性により珂（〈．腔，．Mゴ〉オ十〈M￠，．Mゴ〉の2］＜ヨσ2回忌るから，．M乞，〈バグ，Mゴ〉の一
様連続性を用いれば
ノム ノバソノ ワコ
廻しμδ…L1占「］→o・1△1→o
がいえる．一方，
賜議か・！卿〈賦・［△1→・一 （3・6）
であるが，∫！△） ，Σる一1階傷！（X、）4〈M乞，Mゴ〉，は有界だから有界収束定理により（3。16）は 五1の意味でも収束している．従って
牟）→鎗か・燭蹴M制△國認
以上から（3．15）は各オに対してa．s．に成り立つことが分かった．この際，測度0の除外集合 は孟に依存するが，両辺は診について連続であるので，除外集合は全てのオについて共通に
とれる．ゆえに，（3．15）は確率1ですべての孟に対して成り立つ． ■ 系3．3．3．M∈嘱，z。。と．4，．4∈厩に対して次が成り立つ．
〈ハ4，孟〉ε＝〈孟，M＞孟＝〈・4，・4＞t＝0
【証明】定理3．15の証明の中の（3）で示したことにより明らか． 嘘
以下，伊藤の公式の応用について述べる．尚M1，＿，．MN∈鴻， 。，のとき，ベクトル値マ ルチンゲールに対しても．M＝（M1，＿，．MN）∈鴻，z。。と表すことにする．
補題3．3．4！＠，の：R×［0，00）→（Cはωについて2回，孟について1回連続的微分可能とす る．！が霧＋岩募＝0を満たすとき，M∈鴻，z。．に対して！（M，〈M＞）∈鴻ノ。。である．
【証明】〈M＞は区間［0，司で一様連続となるから、〈．M，〈．M＞＞．＝＜＜M＞，〈M＞＞，＝0，∀8∈［0，司
である．このことに注意して伊藤の公式を用いれば，次が成り立つ。
！（一A4あ，〈M＞の一1「（ハ4b，〈ハ4＞o）
一点（嶋くM臓＋鷹（砿，〈Mル）d〈M＞・＋1ズ券（砿・〈M＞・）d〈M＞・
条件より，！（雌，〈M＞∂一！（輪，〈M＞o）＝鳶霧（．M。，〈M＞。）d砥となる．右辺は局所マルチン ゲールだから！（砿〈M＞）∈％，z。、． □
例3．3．5命題2．2．3および2．1．12は本質的にBrown運動のマルチンゲール性によることが，
補題3．3．4を用いて確かめられる．
！（切一♂一門λ∈Cとすると！は補題3．3．4の条件を満たす．またB一（B・，＿，BN）
をN次元斜一Brown運動とし」・Ml：＝ξ＊島＝Σ窪1ξβ1，ξ∈RNとするとき，〈M＞孟＝iξ1％
である．なぜなら
妬2−1ξi2オ ＝ （ξ＊（B孟一B8）→一ξ＊B5）2−iξ12オ
＝Σ紬（Bl−Bl）（砂Bl）＋2Σξ爵（Bl−Bl）Bl＋Σξ乞韓Bl■ξ12孟
乞，ゴ ￠，ゴ ￠，ゴ
であり，補題2．3．10より珂（Bl−Bl）（Bl一一Bl）lj瑚＝δ乞ゴα一5）だったから E［妬2■ξ12舌囚＝Σξ〜（オー5）＋Σξ癒BIBI−1ξ［2孟＝砿2−1ξ［25 1 ￠，ゴ
となり，｛ハ42−1ξ12昌がマルチンゲールとなるからである．
従って！（切一・褥峠に対して補題3．3．4を用いれば，｛・・肩ξ＊…穿・｝・一｛瓦｝「は局 所マルチンゲールになる．すなわちσπ／OQなる停止時刻の列があって｛x払σπ｝はマルチ
ンゲールとなるが，1・傷ξ＊・・＋割≦・登1・12・から有界収束定理を用いれば｛珊がマルチン ゲールとなっていることが分かる．これが命題2．2．3のマルチンゲールによる解釈である．
さらにマ・レチンゲールの定義からE［・融・導囚一・滞撫學となるが，
E［・郡ξ＊・汁4「み一E・・肩ξ＊（B・一及）・荷ぐ噛司
・》鶏蜘［・V㍗閾1乙］
も成り立つから，上と併せて
E［・再ξ＊（B・一咽一・」程2（・一・），・＜孟
を得る．これが命題2．1．12で示した」『一Brown運動の定旧式である．
次の定理はBrown運動をマルチンゲールによって特徴づけるもので，第5章で有効に働く。
定理3．3．6（L6vyの定理）X＝（X1，＿，XN）を，連続局所∫1一マルチンゲールとする．
このとき〈X6，Xゴ〉一・δ磁であるならば， XはN次元二一Brown運動である．
【証明】仮定よりくX㌦＝舌く○○となるからX信∈あ，．であり，従ってX∈あ，．である。
またξ∈RNに対して
ハダ ノ
〈ξ＊X古〉一〈Σξ講〉一Σξ・ξゴ〈x乞，xゴ〉・一1ξ【2オ 乞＝1 乞，ゴ
がいえ，これと補題3．3．4からe碑ξ＊x什穿古はマルチンゲールである．従って例3．3．5の計 算と同様にして
E［・勘欄1三一・写（孟一5），・d
が示される．このことはXが」弓一Brown運動であることを示している． ■