部分集合と開集合・閉集合

4.5. 部分集合と開集合・閉集合 第4. ユークリッド幾何学と位相幾何学

注意 4.5.2. f が全単射で連続関数だけでは，変な例が作れてしまう．例え

ば，X = [0,1)∪[2,3]，Y = [0,2]とおき，写像f :X →Y を f(x) =





x (0≤x <1) x−1 (2≤x≤3)

で定義すると，これは全単射かつ連続だが，逆写像は連続にならない．この X とY が「同じ図形」だとは，さすがにトポロジーでも思いたくない．

一方で，実は新しい問題が生じてくる．4.2節で，

「閉区間[0,1]と開区間(0,1)が,Rの同相写像で移り合わない」

ことを証明した．これからすぐに，

「閉区間[0,1]と開区間(0,1)は同相でない」

ことが証明できるだろうか？

とりあえず，同じように証明できるかやってみよう．そのためには，定理

4.2.2と4.2.3，さらにその拡張である前節の定理4.4.1の拡張版をつくる必

要がある．

まず同様に，前節の定義（4.4.3，4.4.4，4.4.5） を拡張してみる．

定義4.5.3. 【ε-近傍（ε-neighborhood）】XをRⁿの部分集合（つまり X ⊂Rⁿ）とし，xをX 内の点とする（つまり，x∈X）．与えられた ε >0に対して，xのXにおけるε-近傍とは，次の集合のこと．

N(x, ε;X) ={y∈X|d⁽ⁿ⁾(x, y)< ε}

注意 4.5.3. つまり，N(x, ε;X) =N(x, ε;Rⁿ)∩X のこと．

定義4.5.4. 【連続写像の定義の言い換え】

X⊂Rⁿ，Y ⊂R^m，f :X →Y とし，a∈Xとする．

このとき，fがaにおいて連続であるとは，次が成り立つこと．

fがaにおいて連続⇔

∀ε >0,∃δ >0 s.t. x∈N(x, δ;X)⇒f(x)∈N(f(a), ε;Y) さらに，∀a∈X においてf が連続であるとき，fはX上で連続，また は，単に，fは連続写像であるという．

定義4.5.5. 【部分集合の開集合（relative open set）】

X ⊂RⁿかつY ⊂X のとき，Y がX 内で開集合であるとは，任意の

∈ ⊂

第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.5. 部分集合と開集合・閉集合 注意 4.5.4. 例えば，任意のx∈X ⊂Rⁿとε >0に対して，N(x, ε;X)は Xの開集合．

定義4.5.6. 【部分集合の閉集合（relative closed set）】

X⊂RⁿかつY ⊂Xのとき，Y がX内で閉集合であるとは，X−Y が Xの開集合であること．

注意 4.5.5. 全体集合ではなく，部分集合の開集合である，ことを特に明示

したいときは，「相対開集合」という言い方をする（この「相対」は relative の訳）．閉集合についても同様．

こうすると，確かに前節の定理4.4.1の拡張版が証明できる．

定理4.5.1. 【連続関数と開集合・閉集合】

X⊂Rⁿ，Y ⊂R^m，関数f :X→Y に対して，fがX 上の連続関数

⇔終域Y の任意の開集合V に対して，fによるV の逆像f⁻¹(V)が Xの開集合．

⇔ 終域Y の任意の閉集合W に対して，f によるW の逆像f⁻¹(W) がXの閉集合．

ところが，問題発生．この定理を使って「閉区間[0,1]と開区間(0,1) は 同相でない」ことを証明しようと思うと．．．

（背理法）X = [0,1]とY = (0,1)が同相だったとしよう．つまり，同相 写像f :X →Y が存在したとする．もし，

「閉区間[0,1]が開集合でない」かつ「開区間(0,1) が開集合で ある」

となれば，f⁻¹(Y) = X より，定理 4.5.1 に矛盾．しかし，これは正しい のか？？

次の定理を使ってみると．．

定理4.5.2. 【部分集合の開集合の特徴付け】

XをRⁿの部分集合，V をXの部分集合とするとき，

V がXの開集合 ⇔ ∃V˜ ⊂Rⁿ s.t. V˜はRⁿの開集合 かつV = ˜V ∩X

79

4.5. 部分集合と開集合・閉集合 第4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 練習問題 4.5.1. X ={x∈R|x >0} ⊂Rとする．f(x) = (x,^|x_x^|)で決まる 写像f :X →R²は連続写像であることを示しなさい．

（Hint: まずは写像fのグラフを図示してみよう）

練習問題 4.5.2. X = [0,1]⊂R，Y ={(x, y)|y=x,0≤x≤1} ⊂R²とす る．XとY は同相であることを示しなさい．

（Hint: f(x) = (x, x)で決まる写像f :X→Y を考える）

練習問題 4.5.3. X = [0,1]×[0,1]⊂R²とする．N((0,0),1;X)を図示しな さい．

練習問題 4.5.4. X = [0,1]×[0,1]⊂R²，Y =X−(0,0)⊂Xとする．Y が X 内で開集合であることを示しなさい．

第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.5. 部分集合と開集合・閉集合

【余談】トポロジーと位置と形

もうちょっと複雑な例．平面上の単位円周と，３次元空間内の結び目とか．

これは図形としては「同じ」ように思えるが，空間への入り方が違うことに よる．そのような分類基準を採用すれば，また違う幾何学ができて面白いが，

一般的な位相幾何学では，それらは「同じ」図形だと見なしたい．

図 4.1: 結び目 結び目理論

81

83