n 次元ユークリッド幾何学

第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.3. N次元ユークリッド幾何学

定義4.3.4. 【R³における距離】

R³ 内の２点P(x1, x2.x3)と Q(y1, y2, y3)に対して，P とQとの距離 d⁽³⁾(P, Q)を√

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)²+ (x₃−y₃)² と定義する．

注意 4.3.2. つまり，平面幾何学におけるいわゆる「ピタゴラスの定理（三

平方の定理）」は，この講義では（解析幾何学の立場では），定理ではなく定 義に近い．

さて，これをふまえて，n≥4の場合を考えてみよう．こうなると，これ までに学んだ「図形的な直観」には頼れなくなる．．．が，しかし，そこには 深く（哲学的に）悩まないで，以下のように（自然に）定義することにする．

定義4.3.5. 【Rⁿにおけるユークリッド距離（Euclidean distance）】

n を 自 然 数 と す る ．Rⁿ 内 の ２ 点 P(x1,· · · , xn) と Q(y1,· · ·, yn) に 対 し て ，P と Q と の ユ ー ク リッド 距 離 d⁽ⁿ⁾(P, Q) を

√(x1−y1)²+· · ·+ (xn−yn)² と定義する．

正確には，d⁽ⁿ⁾は，

d⁽ⁿ⁾((x₁,· · · , x_n),(y₁,· · ·, y_n)) :=√

(x₁−y₁)²+· · ·+ (x_n−y_n)² で決まる関数d⁽ⁿ⁾:Rⁿ×Rⁿ→Rのこと．よって，特にd⁽ⁿ⁾のことを，

（n次元）ユークリッド距離関数ともいう．

注意 4.3.3. n= 1の場合は，

定義4.3.2にちゃんと一致する．

注意4.3.4. 「ユークリッド」とはもちろん紀元前のギリシャのユークリッド

のこと．上のような距離をユークリッド自身が考えた訳ではないけれど，考え ている空間が，いわゆる数直線や平面の拡張であることから，特にこう呼ぶ．

4.3.3 ユークリッド空間とユークリッド幾何学

以上をあわせて，次のように「n次元の空間」を定義する．

定義4.3.6.【n次元ユークリッド空間（n-dimensional Euclidean space）】

集合Rⁿとユークリッド距離関数d⁽ⁿ⁾の組，(Rⁿ, d⁽ⁿ⁾)を，n次元ユーク リッド空間という．

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4.3. N 次元ユークリッド幾何学 第4. ユークリッド幾何学と位相幾何学

注意 4.3.5. 自然数から実数までを定義したのと同様に，単なる集合ではな

く，追加の写像を組にして考えることが重要．「数」のときは，集合と演算．

このような演算を代数構造といったりする．集合と代数構造の組を研究する のが代数学だとすれば，集合と距離関数などの「幾何的」な構造の組を研究 するのが幾何学だとも言える．

注意4.3.6. 単純に集合Rⁿのことを「ユークリッド空間」といってしまうこ

とも多い．また多くの場合，Rⁿとかいたら，ユークリッド距離が自然に定義 されているとみなして，Rⁿをユークリッド空間とよんでいる．

これで準備は終わり．いよいよ（n次元）ユークリッド幾何学を定義しよう．

定義4.3.7. 【Rⁿの等長写像】

n次元ユークリッド空間(Rⁿ, d⁽ⁿ⁾)（ただし，d⁽ⁿ⁾はユークリッド距離 関数）を考える．写像f :Rⁿ→Rⁿが

d⁽ⁿ⁾(x, y) =d⁽ⁿ⁾(f(x), f(y))

を任意のx, y∈Rⁿに対してみたすとき，fをRⁿからRⁿへの等長写像

（もしくは合同変換）という．

注意 4.3.7. 一般に，写像f :Rⁿ→R^mが

d⁽ⁿ⁾(x, y) =d^(m)(f(x), f(y))

を任意のx, y∈Rⁿに対してみたすとき，fをRⁿからR^mへの等長写像とい う．さらに一般の場合については，（たぶん）最後の節で触れる．

定義4.3.8.【n次元ユークリッド幾何学（n-dimensional Euclidean Ge-ometry）】

全体の空間としてRⁿを考えて，その中の図形（要するに部分集合のこ と）を合同という規準で研究する（つまり，Rⁿのある等長写像fが存在

して，f(A) =Bとなるような二つの図形AとBは「同じ」とみなす）

学問をユークリッド幾何学という．

注意 4.3.8. 集合Rⁿに対して，ユークリッド距離d⁽ⁿ⁾ではない距離を考え

ることもできる．詳しくは4.6節で学ぶ（はず）．

第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.3. N次元ユークリッド幾何学

練習問題 4.3.1. 平面R²上のユークリッド距離d⁽²⁾が次を満たすことを示

しなさい．

d⁽²⁾(P, Q) = 0⇒P =Q

練習問題 4.3.2. R²上のx軸に沿った平行移動は等長写像になることを示し

なさい．

練習問題 4.3.3. F((x, y)) =xで定義される写像F :R²→Rは等長写像で ないことを示しなさい．

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