濃度の比較

2.10 濃度の比較

ここでは集合の“大きさ”を比べて，集合たちを分類してみよう．

（かなり大雑把にだけど）

定義2.10.1. 【濃度の大小】

２つの集合XとY に対して，単射f :X →Y が存在するとき，

Y の濃度はXの濃度以上であるといい，♯X≤♯Y とかく．

定理2.10.1. ２つの集合XとY に対して，♯X ≤♯Y かつ♯Y ≤♯Xの とき，

XとY は対等である，つまり，濃度は等しい

（つまり，全単射f :X →Y が存在する）

この定理は次の定理からわかる．

定理2.10.2. ベルンシュタインの定理（1897）

２つの集合XとY に対して，２つの単射f :X →Y とg:Y →Xが 存在するとき，

実は，全単射h:X→Y が存在する．

注意 2.10.1. このf とgそのものは全単射になるかわからない．証明は，f

とgから新しいhをつくり，それが全単射になることをいう．

次の定理もカントールが証明した．

この定理により，いくらでも濃度の大きな無限集合が存在することがわかる．

定理2.10.3. 任意の集合Xに対して，♯X≤♯2^Xである．

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2.10. 濃度の比較 第 2. 写像の基礎と集合の濃度

練習問題 2.10.1. 整数の集合Zが無限集合であることを示しなさい．

練習問題 2.10.2. 整数の集合Zが可算集合であることを示しなさい．

練習問題 2.10.3. X :={n|n= 3k−√

2, k∈Z}としたとき，♯X ≤♯Zを 示しなさい．

第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.10. 濃度の比較

【余談】関数とは

関数（かんすう，function）という用語を導入したのは，ゴットフリート・

ヴィルヘルム・ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）だと 言われています．

具体的には，1676年の論文「Methodus tangentium inversa（逆接線法）」

において「関数」という用語を導入したとされています．実際には，諸説あっ て，僕も原論文を読んでいないので，なんとも言えません．また彼のいう「関 数（functio，ラテン語）」は，今で言う「関数」の意味とは違ったものと言 われています．

次に，レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707 - 1783）による定義 に進みます．『無限小解析入門』(Introductio in Analysin Infinitorum : 1748 年)によると，

「変数と定数とから組み立てられた解析的な式」

となっていて，つまり，「式が関数」という，今で言う中学生風の定義になっ ています．（ちなみに，f(x)という記法を導入したのはオイラーだとされて います．）逆に言うと，式さえあれば良いので，今で言う「多価関数」（一つ の入力が与えられたときに一つあるいは複数の出力を得る）も含めて考えて います．これは今では写像といえないものなので，いわゆる「関数」とは言 わないことになっています．しかし「「多価関数」は関数でない」となったの は20世紀前半になってから，だそうです．

次に，オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy,

1789-1857）による定義になります．1823年の「解析学講義」によれば，

二つの変数xと yがあり，入力xに対して出力y の値を決定す る規則が与えられているとき，変数yを「xを独立変数とする関 数」あるいは簡単に「xの関数」という．

となっていて，これは今の中学／高校における定義とほとんど同じです．し かし，この時代にはまだ，「集合」「写像」という概念が浸透していなかった ため，なんらかの「統一的な」または「記述可能な」規則こそが関数だとさ れていたわけです．

最後に，ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805-1859)によって，

個々の独立変数と従属変数の対応そのもの（式による一定の法則 は必要ない）[1837]

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2.10. 濃度の比較 第 2. 写像の基礎と集合の濃度 とし，これがいわゆる「関数」もしくは「写像」の概念に到達したものだ と考えられています．

もちろんこの講義で扱っているような関数（写像）の定義のためには，集 合論の確立が必要不可欠で，それはカントール以降になってからと言われて います．

なお用語「関数」についてですが，古くは「函数」と書いていました．こ れは英語 「function」 の中国語訳（音訳）とされています（「代微積拾級」

（１８５９年））．これが日本に伝わったのですが，1950年頃，いわゆる当用 漢字に「函」が含まれないことになり，「関数」という表記になったというこ とです．

ちなみに未だに由緒正しいところでは「函数」の表記が使われています．例 えば，日本における数学者の集まりである「日本数学会」では，その分科会 の名称として「函数論」「函数方程式論」「実函数論」「函数解析学」などが使 われています．

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第 3 _{章 数とは}

この章では，幾何学とは少しずれてしまうが，集合としての「数」（自然 数，整数，有理数，実数）をきちんと定義してみよう．大事なのは，同値関 係とそれによる商集合の考え方である．これらは後々，重要になってくるの で，しっかり学ぶことにしよう．