連続関数と開集合・閉集合

後期第２講

4.2 連続関数と開集合・閉集合

ここでの目標は，閉区間[0,1]と開区間(0,1)が，Rの同相写像で移り合わ ないことを示すこと．

4.2.1 ε- 近傍

まず連続の概念を一般化する為に，ひとつ用語を導入しておこう．

定義4.2.1. 【ε-近傍（ε-neighborhood）】

xをR内の点とする．ε >0に対して，xの（Rにおける）ε-近傍とは，

(x−ε, x+ε)のこと．これをN(x, ε)で表す．つまり，次の集合のこと．

N(x, ε) ={y∈R| |x−y|< ε}

定義4.2.2. 【連続関数の定義の言い換え】

f :R→Rとし，a∈Rとする．このとき，

fがaにおいて連続⇔

∀ε >0,∃δ >0 s.t. x∈N(a, δ)⇒f(x)∈N(f(a), ε) さらに，∀a∈Rにおいてf が連続であるとき，fはR上で連続，

または，単に，f は連続関数であるという．

注意 4.2.1. 関数の定義域はR全体ではなく，その一部かもしれない（例え

ば，f(x) = ¹_xとかf(x) =√

xとか）．そのような場合どうするか，は次回．

4.2.2 開集合と閉集合

次に，閉区間[0,1]と開区間(0,1)についてだけでなく，より一般の場合に も適用できるように，「開／閉」の概念を明確に定義しておこう．

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4.2. 連続関数と開集合・閉集合 第4. ユークリッド幾何学と位相幾何学

定義4.2.3. 【開集合（open set）】

U ⊂Rが開集合であるとは，任意のa∈Uに対して，あるε >0が存在 して，N(x, ε)⊂U が成り立つこと．

注意 4.2.2. εはaに応じてとれれば良い．

注意 4.2.3. (0,1)は開集合だが，[0,1)は開集合でない．もちろん[0,1]も開 集合ではない．∅は開集合．Rも開集合．

定理4.2.1. 【開集合の性質】

(1) U1,· · ·, UmをRの開集合とすると，U1∩· · ·∩UmもRの開集合．

(2) Λを添字集合とした集合族{Uλ}λ∈Λに対して，全てのUλが開集 合ならば，∪

λ∈Λ

Uλも開集合．

定義4.2.4. 【閉集合（closed set）】

F ⊂Rが閉集合であるとは，R−Fが開集合であること．

注意 4.2.4. 閉集合を先に定義して，あとから開集合を定義するやり方もあ

る．ただ，先に開集合を定義する方が一般的．

注意4.2.5. ∅は閉集合．Rも閉集合．つまり，開かつ閉である集合というも

のがありえる．

注意 4.2.6. 開集合でないからといって閉集合になるとは限らない．どちら

でもない集合やどちらでもある集合も存在する．

第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.2. 連続関数と開集合・閉集合

4.2.3 連続写像と開集合・閉集合

定理4.2.2. 【連続関数と開集合】

関数f :R→Rに対して，f がR上の連続関数⇔ 終域Rの任意の開 集合V に対して，fによるV の逆像f⁻¹(V)がRの開集合．

この定理から，閉区間[0,1]と開区間(0,1)が，Rの同相写像で移り合わな いことが示される．

注意4.2.7. 連続関数f :X→Rにおいて，Xの開集合Uの像f(U)が開集 合にならない場合もある．例えば，f(x) =x²で定義されるf :R→Rは連 続関数だが，開集合(−1,1)の像は[0,1)なのでRの開集合でない．

定理4.2.3. 【連続関数と閉集合】

関数f :R→Rに対して，点a∈Rにおいてf が連続⇔終域Rの任 意の閉集合V に対して，fによるV の逆像f⁻¹(V)がRの閉集合．

練習問題 4.2.1. [0,1]が開集合でないことを示しなさい．

練習問題 4.2.2. (0,1)が閉集合でないことを示しなさい．

練習問題 4.2.3. (0,1]が開集合でも閉集合でもないことを示しなさい．

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