荷電粒子の速さが光の速さより十分遅い場合を考えると、vn の高次項が無視で き、リエナール・ヴィーヘルトポテンシャルの時間成分、すなわちスカラーポテ ンシャルは、
A0 = X
n
qn 4π
µ 1
|Rn| + Rn·vn
|Rn|2
¶¯¯
¯¯
tn=t−|Rn|
です。これを tn = t において展開すると、
A0 = X
n
qn 4π
X∞
k=0
(−|Rn|)k k!
µ d dtn
¶kµ 1
|Rn| + Rn·vn
|Rn|2
¶¯¯
¯¯
tn=t
ですが、
d dtn
1
|Rn| = drn
dtn ·∇n 1
|Rn| = Rn·vn
|Rn|3 に注意して、やはり vn の高次を無視すると、
A0 = X
n
qn 4π
µ 1
|Rn| − Rn·v˙n
2|Rn| + Rn·v¨n
3 +· · ·
¶¯¯
¯¯
tn=t
と計算されます。同様に、ベクトルポテンシャルについて、
A = X
n
qnvn 4π|Rn|
¯¯
¯¯
tn=t−|Rn|
= X
n
qn 4π
µ vn
|Rn| −v˙n+ · · ·
¶¯¯
¯¯
tn=t
ですから、これらの式から、
∇A0 = X
n
qn
4π µ
− Rn
|Rn|3 − v˙n
2|Rn| + RnRn·v˙n
2|Rn|3 + v¨n
3 +· · ·
¶¯¯
¯¯
tn=t
および ∂A
∂t = X
n
qn 4π
µ v˙n
|Rn| −v¨n +· · ·
¶¯¯
¯¯
tn=t.
よって、電場 E は、
E = −∇A0 − ∂A
∂t = X
n
En, En = qn
4π
µ Rn
|Rn|3 − v˙n
2|Rn| − RnRn·v˙n
2|Rn|3 + 2¨vn
3 +· · ·
¶¯¯
¯¯
tn=t
となります。
En の式は、n番目の荷電粒子が周囲に作る電場を意味していますが、荷電粒子 自身の位置 r = rn においては、第1項、第3項、そして実は · · · の部分も、特異 性は強いものの、ベクトル場の“つむじ”になっていて、0 とみなされます。しか し一方、第2項の −v˙n/2|Rn| は真に発散し、第4項の 2¨vn/3 も 0 にはなりませ ん。遅延効果によって、荷電粒子がそれ自身の位置に無限に大きな電場を作って しまうわけです :
En(tn,rn) =− qnv˙n
8π|0| + qnv¨n
6π.
このような自己に影響を及ぼす無限大の電場は、一見まずいようですが、無限大 部分は粒子の加速度 v˙n に比例しているため、運動方程式 mnv˙n = qnE+qnvn×B の質量にくりこむことが可能です。すなわち、
m(r)n v˙n = qn(E−En) +qnvn×B + qn2v¨n
6π, m(r)n = mn + qn2 8π|0|
とすることができるわけです。m(r)n はくりこまれた質量と呼ばれ、実際に観測さ れる質量と考えられます。対してもとの質量 mn は裸の質量と呼ばれ、これはマ イナス無限大と考えます。マイナス無限大 + プラス無限大で、結果有限というわ けです。
一方、qn2v¨n/6π はローレンツ摩擦力と呼ばれ、加速度の時間微分に比例した力 です。例えば荷電粒子が振動や円運動等をすると、これに伴って電磁波が遠方に 伝わり、このとき電磁波がエネルギーを持ち去るため、荷電粒子はその分のエネ ルギーを失うはずです。このような現象を放射減衰といいますが、実際に荷電粒 子はローレンツ摩擦力を通じてエネルギーを失うわけです。
ここで、原点に静止した荷電粒子の系のエネルギーを考えてみましょう : Pn0 = mn +
Z
d3rTem00 = mn+ Z
d3r 1 2|E|2
= mn + lim
²→+0
Z
|r|>²
d3r 1 2
µ qn 4π|r|2
¶2
= mn+ lim
²→+0
qn2 8π².
後ろの項はやはり無限大で、Pn0 はくりこまれた質量 m(r)n と同定できるように思 われます。しかしきちんと評価するには何らかの正則化が必要です。電磁気学の 正則化についてはスカラー場と正則化の章で述べることにします。
9 一般相対論
特殊相対論を拡張し重力を含むようにした理論はいくつかありますが、その中 で観測と矛盾がなく、もっとも簡単な理論が、特殊相対論の創始者アインシュタ イン本人による一般相対論です。ここではニュートンの重力理論について簡単に 復習した後、一般相対論の基礎事項について解説します。後半では少し難しいか もしれませんが重力場のエネルギーについて詳しく触れます。
9.1 ニュートンの重力理論
まず、ニュートンの重力理論の復習です。
空間のデカルト座標を xi (i = 1,2,3), n番目の粒子のデカルト座標を xin, 重力 ポテンシャルを φ(x) として、ニュートン理論のラグランジアンは、
L = 1 2
X
n
mn|x˙n|2 −X
n
mnφ(xn)− 1 8πG
Z
d3x|∂φ(x)|2 と表されます。ここでドットは時間微分、|A| = √
AiAi は3元ベクトルの大きさ、
G は万有引力定数で、
G ∼6.67×10−11m3/(kgs2) ∼ 6.71×10−57eV−2. このとき、
∂L
∂x˙in = mnx˙in, ∂L
∂xin = −mn∂iφ(xn) ですから、粒子の運動方程式(ラグランジュ方程式)は、
¨
xin = −∂iφ(xn)
となります。これは粒子に作用する重力が、Fni = −mn∂iφ(xn) で与えられること を意味しています。
一方、 δL
δφ(x)˙ = 0, δL
δφ(x) = 1
4πG 4φ(x)−X
n
mnδ3(x−xn) ですから、重力ポテンシャルの運動方程式(場の方程式)は、
4φ(x) = 4πGρ(x), ρ(x) = X
n
mnδ3(x−xn)
となります。これはポアソン方程式と呼ばれます。ρ(x) は質量密度を意味してい ます。
ラプラシアン 4 の逆が −1/(4π|x|) であることに注意すると(電磁気学の章参 照)、ポアソン方程式は、
φ(x) = Z
d3x0 −1
4π|x−x0| 4πGX
n
mnδ3(x0−xn) =−GX
n
mn
|x−xn|
と解けてしまいます。ラグランジアンに時間微分項がなく独立な力学的自由度を 持たない場は、一般に補助場と呼ばれ、遠隔力を表すことになります。上式をラ グランジアン L に代入し、重力ポテンシャルを消去すれば、
Z
d3x|∂φ(x)|2 = − Z
d3x φ(x)4φ(x)
= − Z
d3x φ(x) 4πGX
n
mnδ3(x−xn) = −4πGX
n
mnφ(xn) に注意して、
L = 1 2
X
n
mn|x˙n|2 − 1 2
X
n
mnφ(xn) = 1 2
X
n
mn|x˙n|2 + 1 2
X
nn0
G mnmn0
|xn−xn0| となります。これは解析力学の章で紹介した形式に他なりません。
重力のポテンシャルエネルギーが、
Ug = −1 2
X
nn0
G mnmn0
|xn−xn0| = 1 2
X
n
mnφ(xn) =− 1 8πG
Z
d3x|∂φ(x)|2
であり、負定値であるのに対し、重力場のエネルギーと呼ぶべきものは、元のラ グランジアンからわかるように、
Eφ = 1 8πG
Z
d3x|∂φ(x)|2
であり、これは正定値になることに注意してください。重力場のエネルギーに、相 互作用エネルギー EI = P
mnφ(xn) を加えたものが重力のポテンシャルエネル ギー Ug になるわけです。