整数全体の集合を Z と書きます。実数 x に対して、
D(x) = 1 2π
X
n∈Z
einx という関数を考えると、
Z π
−π
dx D(x) = 1, D(x+ 2π) =D(x) が簡単にわかります。また、少しテクニカルですが、
2πD(x) = 1 + 2 X∞
n=1
cos(nx) = 1 + 2 X∞
n=1
cos(nx) sin(x2) sin(x2)
= 1 + X∞
n=1
sin((n+12)x)−sin((n−12)x)
sin(x2) = lim
Λ→∞
sin(Λx) sin(x2)
と展開され、これは x = 2πn (n ∈ Z) に特異性を持ち、他で無限に高周波な関数 であることがわかります。すなわち超関数論的(∗)に D(x) = 0 (x 6= 2πn). 以上の 事柄から、
D(x) = X
n∈Z
δ(x−2πn)
とみなせます。
そうすると、n∈ Z, および x ∈ (−π, π) に対して、
φn(x) = 1
√2π einx で定義される関数は、規格直交性および完全性 :
Z π
−π
dx φ∗n(x)φn0(x) =δnn0, X
n∈Z
φn(x)φ∗n(x0) =δ(x−x0) を満たすことがわかります。このため、
f˜n = Z π
−π
dx φ∗n(x)f(x)
で関数 f(x) のフーリエ変換(フーリエ係数)を定義すると、もとの関数は、
f(x) =X
n∈Z
f˜nφn(x) と展開されます。このとき、
Z π
−π
dx |f(x)|2 = X
n∈Z
|f˜n|2 が確かめられ、やはりパーセバルの等式と呼ばれます。
こちらのパーセバルの等式は右辺が級数のため、級数に関する面白い式を生じ ることがあります。例えば f(x) = x とすると、フーリエ係数は、
f˜n = i√
2π(−1)n
n (n 6= 0), f˜0 = 0 と計算されますが、これをパーセバルの等式に入れると、
X∞
n=1
1
n2 = π2 6
を得ます。これは初等的には評価の難しい級数です(バーゼル問題)。 ちなみに、n = 1,2,· · · に対し、ユニタリ変換、
µ φ0n(x) φ0−n(x)
¶
= 1
√2
µ 1 1
−i i
¶ µ φn(x) φ−n(x)
¶
= 1
√π
µcos(nx) sin(nx)
¶
を行っても規格直交性は保たれます。よって、
φ00(x) =φ0(x) = 1
√2π
として、φ0n(x) (n∈ Z) もまたx ∈ (−π, π) における完全規格直交系です。こちら の系は実関数を展開するときに便利です。また、x ∈ (0, π) のときは、仮想的に偶 関数もしくは奇関数であることを仮定して、
{cos(nx)|n = 0,1,2,· · · } および {sin(nx)|n= 1,2,· · · } がそれぞれ完全系とみなせることになります。
(*注) 区間 (a, b) で連続な任意の関数 φ に対し、Rb
a dx φ(x)f(x) = 0 ⇔ ∀x ∈ (a, b) (f(x) = 0) を容認(仮定)する数学は超関数論と呼ばれます。
3 ニュートン力学
ニュートン力学のまとめです。ユークリッド幾何学や大学教養程度の応用数学 を既知とします。運動の法則を出発点とし、そこから順に実用的な定理を導いて いきます。例題として、落下運動、ロケットの推進、立てかけられた棒、回転ゴ マ、単振り子、段差を乗り越える回転体、惑星の運動を取り上げます。
3.1 運動の法則
質量を持つ点を質点といい、これが多数あるものとし、物質の構成要素と考え ます。質点 a の質量を ma, その質点の位置ベクトルを ra, その質点に働く力のベ クトルを Fa と書きます。また、時間 t による微分をドットで表すことにします。
位置ベクトルの時間微分 r˙a を速度、時間2階微分 r¨a を加速度といいます。
(1) 力の働かない全ての質点の速度が一定となる系、すなわち、
Fa = 0 ⇔ ¨ra = 0
を満たす系が少なくとも1つ存在するものとします。このような系を慣性系とい います。この要請を慣性の法則といいます。
(2) 慣性系においては、各々の質点は、
Fa = ma¨ra
に従います。これを運動方程式といいます。つまり各々の質点に関し、力は質量 と加速度の積に等しくなります。
(3) 質点は互いに力を及ぼし合い、質点 a が質点 b から受ける力をFab と書き ます。このとき、
Fab = −Fba//(ra−rb).
すなわち、質点が及ぼしあう力は大きさが同じで互いに逆向き、また、2質点を結 ぶ線分と平行になります。これを作用反作用の法則といいます(図1)。
(4) 質点aに働く力 Fa は他の質点から与えられる力の和になります。すなわち、
Fa = X
b
Fab. これを合力の法則といいます。
図 1: 作用反作用の法則
以上を公理とし、時間、質量、力の概念とします。この公理を用いる物理理論 を、ニュートン力学といいます。
(余談) 力や質量や時間の定義を気にする人をたまに見かけますが、公理をもってそれが定義さ れていると考えます。公理には無定義語が含まれるのが常で、それらの用語は公理により関連や 運用が示されることで初めて意味を持つと考えるわけです。例えば上の公理において、力を”ハニ タラ”、質量を ”ガテマク”などと適当に置き換えても、別に構いません。ここでの公理以前には 力や質量という用語には何の意味もないと考えているからです。これはヒルベルトのビールジョッ キ思想と形式主義(公理主義)に代表される、数理科学における大事な考え方です。かつてマッハ がニュートン力学を批判したことは有名ですが、この種の批判は形式主義に対する無理解による ものと今日ではみなすことができます。
3.2 慣性系とガリレイ変換