が成立することを使えば
吻μ∂μψ＝1V・ツμ∂μ2V1＋N27μ∂μ2V2 NIN1＝（1／2）［ψ灸ψL十ん・c・］
N2碗＝（1／2）［ψ￡ψR十ん・c．］
2VIN2＋N2！V1＝ψ五ψE＋ん．c．
（5．12）
（5，13）
（5．14）
（5．15）
が示せるので、ラグランジアンは
一∬＝N・乞ツμ∂μN・＋N2御μ∂μ1V2
＋物（ノV・N2＋N21V1）＋mLN1．N・＋mEN2N2
一直嚇N・＋酬幟＋（N1，N2）［鴛ち烈銑］
と書き直せる。ここに、
（5．16）
［M］一
m篇潔］
（5ユ7）はニュートリノ質量行列と呼ばれる。
b．シーソーメカニズム
（5．16），（5．17）のニュートリノ質量行列を対角化して得られる2つの場を、〆，1＞，その固
有質量をそれぞれmレ，mNとする。この質量固有解はL成分とR成分の混合であり、決 まったカイラリティ固有状態にない。いまレRを導入する以外は、標準理論の枠内で考え るようにしよう。そうすると、アイソスピン1のヒッグスがないから、μLは質量をもて ず（mL＝0）、ディラック質量皿Dは通常のクォークもしくは荷電レプトンの質量を表す
ことになる。したがって、
γηL≒0， mR》γηD，mL （5．18）
という条件が設定されるので、質量固有解はmLを無視する近似で次のように表される。
質量が負であることは問題ではない。〃≡75〆と変換すれば、質量を正にできるからで ある。上式から
2
mガmR＝mD
（5．21）となり、mRを大きくすることによりmレを小さくすることができる。これがシーソー機 構という名の由来である。
mD≒物とおき、ニュートリノ質量を実験に矛盾しない範囲に入るように鵬Rを設定
すると、
観（〃。）：m（μμ）：m＠）〜m舞：m忽：m孕
＝ 1 ：4×104：2×107 （単位eV）
＝10−10：4×10一6：2×10−3 ＝10｝13：4×10−9：2×10−6
mR＝200GeV mR＝2×1012GeV
lm．R＝2×1015GeV （5．22）
となる。すなわち、ニュートリノ質量だけからは、鵬Rは0（1015GeV）から〜200GeV くらいまでの可能性がある。ただし、（5．2）の宇宙論による制限を信じるならば、mRは 相当に大きく（≧108GeV）とならなければならない。
以上に述べたように、マヨラナニュートリノであれば、ニュートリノの質量を小さくす るメカニズムが考えられる。ディラックニュートリノの場合は、小さい質量を自然に導入 することが難しく、恣意的に手で入れなければならない。この理由で、ニュートリノはマ
ヨラナ粒子であるとする考え方が有力である。
5．2 ニュートリノ振動
5．2．1 真空中でのニュートリノ振動
ニュートリノには3種類のフレーバーの状態好げ＝e，μ，丁）がある。これは一般には 質量固有状態レゴσ＝1〜3）と一致しないから、異種ニュートリノ間の混合が起こる可能 性がある。
レノ〉＝Σσノゴ1〃ゴ〉 （5．23）
ここに、σガはニュートリノ問の混合を表す混合行列である。この場合、フレーバー の固有状態の質量は各質量の加重平均で表される。またあるフレーバーの状態が現れ るときは、それと結合している質量固有状態がすべて現れることを意味するので、フ レーバーの固有状態が時間的に変化するような現象が期待できる。これは例えば、レμ が生成されても時間がたつと〃。になったりする現象であり、ニュートリノ振動と呼 ばれている。ニュートリノ振動では、質量そのものは、測定できないが、質量の自乗
差（△m易＝瞬ヨー鰐Dが観測量として入ってくる。シーソーメカニズムを信じれば、
m（レe）《m（レの《m（μ7）であるから、△m2を決めることは質量を決めることと同等で ある。二重ベータ崩壊や、トリチウムベータ崩壊による質量の直接測定では、到達質量 下限がたかだか0．1〜1eV程度であるが、ニュートリノ振動では、実、験条件を適当に設定 することにより、△m2≒1（eV）2〜10『11（eV）2の領域で測定可能である。理論の予想値
（5．22）は非常に小さい質量値を与えることから、1eVよりはるかに小さいと考えられる。
このとき、質量検出に使える現象は、ほぼユニークにニュートリノ振動に限定される。
異種ニュートリノ間の振動現象を正確に扱うには、3種間の遷移を同時に解く必要があ るが、通常は実験データを2種間の遷移のみを仮定した公式を使って解釈する。簡単のた め怖とμ．の間の遷移のみを考える。この場合独立な混合行列要素はただ1個のみとな るので、混合角θを使って次のように表すことができる。
11／e＞＝＝ COSθ1レ1＞十sillθ1王ノ2＞
1レμ〉＝一sinθ1ン1＞十COSθlz／2＞
（5．24）
（5．25）
レゴはエネルギーEり
m辱
瓦＝P2＋m多≒P＋参
（5．26）をもっとき、時間とともに
レゴ（の〉＝1〃ゴ（0）＞e一乞E・孟 （5．27）
のように変化する。したがって、孟＝0でμ。であったものが、時刻孟でレμに変化する確 率P（レe→μμ）は簡単に計算できて、
P（・。→・。）＝1〈・。（0）レ。（孟）＞12
＝＝（1／2）sin22θ｛1−cos（五71−E2）孟：｝ （5．28）
となる。
iE1−E21＝ Im室一m舞1△m2
P2＋m室一P2＋m霧〜 2E 2E （5．29）
を使えば、
P（z／e→レμ）＝sil122θ・si112（1．27・∠玉m2・五／一石7） （5．30）
と書ける。ただし、ここで一L＝c孟はニュートリノ発生点より測定点までの距離をメート ル（m）で、△m2は（eV）2で、エネルギーEはMeVの単位で表した。また振動の波長λ
は
表5．1ニュートリノ振動によるムm2探索領域の目安4 ニュートリノ源
エネルギーE
@ （MeV）
距離L
@ （m）
質量差△鵬2
@ （eV）2 加速器 103〜105
102〜106
10−3〜100π中間子工場 〜30
10〜102
10−2〜0．1原子炉
1〜2
〜20 10『2〜0．1宇宙線 〜1000 〜107☆ 〜10−4
太陽 〜1 〜1011 〜10−11
★：地球の直径
λ（ητ）＝27「／1五71−1ヲ21≒4πE／∠玉γγ乙2
＝2．5−E（MeV）／△ηz2（eV）2 （5．31）
となる。μ．が〃。のままで残る確率は、
P（レe→μe）＝1−P（〃。→〃μ） （5．32）
で与えられる。この式からわかるようにニュートリノ振動は、混合があり（θ≠0）かつ質 量差があって（△m2≠0）はじめて起こる現象であることがわかる。測定にかかる質量の
目安は、
L／λ〜△m2・五／E〜1 （5．33）
で与えられるので、E／五をうまく選ぶことにより、△m2の小さい領域の探索が可能とな る。表5．1に主なニュートリノ源と測定できる△m2の目安を与える。
実験的には、最初〃。ビームをつくっておいた上で、下流でレμが現れるかをみる 出現 の実験 と、2ヶ所以上の地点で〃．の数の変化をみる 消滅の実験 との2種類の方法が ある。技術的には出現の実験の方が容易であるが、測定数値が混合行列要素を含むので、
仮に振動が存在しても混合が小さいと測定にかからないという難点がある。一方、消滅実 験は、技術的にはより困難であるが、混合行列の大小やニュートリノ種の数、またニュー トリノが振動によって変化する先のニュートリノの種類（例えば、ここでは考慮しなかっ た砺→レR，レ→ρの可能性を含む）にもよらずに、ニュートリノ振動の有無を一般的に 決定できるという利点がある。
ニュートリノ振動が存在すれば、混合比sin22θと△m2を同時に決めること可能であ るが、振動が観測されないときは通常sin22θと△m2の値の除外される領域を2次元プ
ロットで表す。長波長近似（L《λ；△観2の小さい領域）では、（5。30）は
1）（zノε→zノμ）…＝…sin22θ（1．27・∠玉m2・五／E）2
となる。ニュートリノ振動が見つからないときは、実験誤差をδとして、上限値
（5．34）
、i。2θ．△m・〈互〉τ
五
（5．35）
が与えられる。
逆の短波長近似（五》λ；△m2の大きい領域）では、 Eが幅をもつこと、ニュートリノ 源や測定地点が広がっていることなどを考慮すると、振動は平均化されて、
1）（〃e→μμ）；sin22θ〈sin2（1．27・∠玉ηz2・一Zン／E）〉
≒（1／2）sin22θ〈δ （5．36）
となり、混合比の上限値のみ求められる。加速器実験ではδ≒0（10−3〜1r4）まで可能 であるが、原子炉や宇宙線を使う方法ではδ＞0．1であり、混合角に対する感度は大きく 〜
ない。
△m2の小さい領域を調べるには、 E／しが小さいほど有利である。表5．1より太陽 ニュートリノを測定するのが最も感度がよいことがわかる。加速器や原子炉での振動実験 の結果、探索可能な領域は、わずかな例外を除きほぼつきたので△m2の小さな領域に進 出したい場合は、宇宙線もしくは太陽ニュートリノに求めざるを得ない。
5．2．2 物質中でのニュートリノ振動 a．物質中でのシュレディンガー方程式
塩素反応（2．37）は、ニュートリノがμ。であるならば検出できるが、砺もしくは砺で あるならば検出はできない。ニュートリノ電子散乱はμμ、〃γでも可能であるが、断面積 が小さく感度が悪い。レ。がレμ、砺に遷移するならば測定にはかからないので、見かけ上 μ。が消滅することになる。太陽までの距離が振動波長λに比べて十分大きければ、△m2 の値に関係なく式（5．36）によって、
1）（z／e→z／e）斜1一（1／2）sin22θ （5．37）
となるので、sin22θ駕1くらいの大きな混合が存在すればほぼ1／2になる。一般にN種 のニュートリノが存在するときは、P（〃，→〃。） は1／Nになるので、 N＝3とすれば、
太陽ニュートリノの謎はうまく説明できる（後の物質振動解に対して真空振動解という）。
しかし、このように大きな混合比は、理論的には考えにくい。クォークの混合行列との類 推を考えると、混合角はたかだかカビボ角くらいと考えられるからである。
1986年にミケエフとスミルノブは混合比が10−3くらいに小さい場合でも、太陽物質 の影響により共鳴振動が起こり、実験データを説明しうる可能性を示した。現在、太陽 ニュートリノの謎を解決する有力な候補として注目されているのがこの物質振動解である ので、少し詳しく述べることにする。
物質の振動解は次のようにして求められる。まず、真空中での質量固有状態〃2が満た すシュレディンガー方程式
乞dìの〉一（ m3P場）1り（オ）〉
（5．38）
を考慮すれば、i〃。〉とレμ〉が（5．24），（5．25）で与えられるとき、質量項を与える行列は〃。、
〃μ表示で
馨一諺Ψ，Ψ一品…α（孟）レ。（0）〉＋β（卿）〉 （5．39）
諺＝ 逆読1］一［M蒲2㌦窯2θ］
（5．40）M−P＋
ﾅm禦舞，δm一毒（ 2 2m2−m1）一誓〉・（5．41）
2Meμ tan 2θ＝
．M μμ一1脇。
となる。これらの式は真空中で成立する式である。
（5，42）
物質中では〃。、μμともに物質との相互作用があるので上式が変更される。中性カレン トによる相互作用は、レ。、砺に同じ影響を与えるので、質量（一M）を変えるが、質量差
（△m，2）は変えず、したがって振動には影響は与えない。一方荷電カレントは、μ．と電子 との問の相互作用は引き起こすが、〃μには効かない。物質との可干渉な相互作用の影響 は、屈折率11の形でとりいれることができる。このとき、平面波〜exp（2p∬一沼のの空 間部分がp→ηpと変化するので、もとの波動との差をエネルギー部分に取り入れるため
。孟→コじとすると、
1〃＠）〉一1μ＞e信・（・一1）・e一￠（m2／2・）・ （5．43）
と表せる。光学でよく知られているように、屈折率を散乱振幅で表す式を使うとエネル ギーの変化は
P＠一1）ニ 2πηe ！（0）＝一〉僖σFη．
P
（5．44）