円運動

一定の速さで円周上を一方向に動く運動のことを, 等 速円運動という。

平面内の円運動を考えてみよう。xy座標系の中に質 量mの質点があり,何かの機構によって,原点の方向に,

5.3 円運動 59 一定の大きさF の力でひっぱられているとしよう(図

5.4)。うまく条件が揃えば,この質点は,原点を中心とす

図5.4 等速円運動

る半径rの円周上を等速円運動する。そのことを証明し よう。

まず,時刻tにおける質点の位置,速度,加速度をそれ ぞれ

r(t) = (x(t), y(t)) (5.24) v(t) = (vx(t), vy(t)) (5.25) a(t) = (ax(t), ay(t)) (5.26) とし^*9, t= 0で質点はx軸上の点(r,0)にあるとする。

すなわち,

r(0) = (x(0), y(0)) = (r,0) (5.27) である。

● 問86 (1) 質点が実際にこの円周上を一定の角速度 ωで回転するならば次式が成り立つことを示せ(ヒ ント: 極座標)：

r(t) = (rcosωt, rsinωt) (5.28) v(t) = (−rωsinωt, rωcosωt) (5.29) a(t) = (−rω²cosωt,−rω²sinωt) (5.30)

a(t) =−ω²r(t) (5.31)

(2) 時刻tのとき質点に働く力F(t)は,次式になること を示せ：

F= (−Fcosωt,−Fsinωt) (5.32)

*9前章でも述べたが,位置ベクトルは,rと書くことも多い。

(3) 質点の運動方程式は,次式のようになることを示せ：

−Fcosωt=max(t) (5.33)

−Fsinωt=may(t) (5.34)

(4) 式(5.30)で表されるax(t), ay(t)は,次式が成り立 つときに限って上の運動方程式を満たす, というこ とを示せ。

F =mrω² (5.35)

(5) 質点の速度vの大きさvは次式となることを示せ。

v=rω (5.36)

(6) 式(5.35)は,次式のようにもできることを示せ：

F = mv²

r (5.37)

(7) 質量と半径はそのままで,速度の大きさvが2倍に なると,力は何倍になるか?

(8) 質量と速度はそのままで,半径rが1/2倍になると, 力は何倍になるか?

● 問87 前問の最後の結果から,車を運転する時に,な ぜカーブの手前で減速せねばならないか,述べよ。

実は, 単振動と円運動は, 密接な関係がある。等速円 運動の方程式のひとつである式(5.31)を考えよう:

a(t) =−ω²r(t)

この左辺はd²r/dt²であり, さらに, r = (x, y)とおけ ば,上の式は,

d²x

dt² =−ω²x (5.38)

d²y

dt² =−ω²y (5.39)

となる。これらは, 式(5.17)と同じ形,すなわち単振動 の微分方程式だ。従って, 等速円運動は, 2つの単振動 (x軸方向とy軸方向)の組み合わせと考えることがで きる。実際,等速円運動

(x(t), y(t))

= (rcosωt, rsinωt) (5.40) について, そのx座標だけを取り出した関数

x(t) =rcosωt (5.41)

は, 式(5.3)にそっくりだし, y 座標だけを取り出した

関数

y(t) =rsinωt (5.42)

60 第5章 さまざまな運動 は, 式(5.9)にそっくりだ。従って, 角速度,周期などの

概念は,円運動と単振動で共通だ。ただし,「角速度」の

「角」は,円運動の場合は幾何学的な意味が直感的にわか りやすい。

● 問88 ハンマー投の世界記録樹立時(問85参照)に, 投擲者の腕にはどのくらいの力がかかっただろうか? そ れは何kgの物体を持ち上げる力に相当するだろうか? 回転の半径を1.5 mと仮定せよ（有効数字2桁で十分）。

ヒント：式(5.37)。mやvの値は問85から流用する。

● 問89 太陽のまわりをまわる地球の円運動を考えよ う。地球を質点とし, 地球の公転軌道を半径rの円とし (厳密には楕円だが),その中心に太陽があるとし,太陽は 動かないと仮定する。太陽と地球の質量をそれぞれM, mとする。万有引力定数をGとする。

(1) この円運動を維持するために地球が太陽から受ける 力の大きさを,r,ω,mであらわせ。

(2) この力は万有引力によって実現される。このことか ら,次式を示せ。ただしωは角速度である。

ω=

√GM

r³ (5.43)

(3) この円運動の周期T は, 次式のようになることを 示せ：

T= 2π

√ r³

GM (5.44)

(4) r, G, M に具体的な数値を代入してωの値を求め, 周期を求めよ。それは何日に相当するか? （計算に 必要な数値は,各自,調べよ）

● 問90 以下の宇宙飛行体は, それぞれ何時間で地球 のまわりを一周するか? 地球の半径を6400 kmとし,地 球や以下の飛行体を質点とみなす。（）内は地表から飛 行体への距離である。

(1) 国際宇宙ステーション（約400 km） (2) 気象衛星ひまわり（約36000 km）

気象衛星ひまわりは, 赤道上空の宇宙空間を, 地球 の自転と同じ角速度で地球のまわりをまわっているの で, 常に地表の同じ場所の雲の様子を時々刻々と観測で きる。

よくある質問65 自然界には,円運動だけでなく楕円運動も あるのですか? もしあるなら, やはり運動方程式で表せるの

ですか? ... はい。惑星の公転は,一般には円ではなく楕円で

あり,やはり運動方程式に従います。特に火星の楕円軌道は,

「天体は真円運動をする」というオカルト的な中世の思い込み から脱皮してニュートン力学が生まれるための,重要な手がか りでした。また, GPS衛星を補完して測量精度を上げるため の「みちびき」という日本の人工衛星(その信号が農地のトラ クターの自動運転などで使われている)は,気象衛星ひまわり の近くだけど楕円の軌道を動いています。

よくある質問66 公式がごちゃごちゃになってしまいま す。。。 ... どの式がどの法則から派生するのか, という体 系性を意識することが重要。物理学は公式の羅列ではなく,法 則の体系ですから。

よくある質問67 高校の物理の先生が「物理ができるかどう かは絵が上手に描けるかどうかで決まる」と言っていました。

確かに絵が上手に描けるとちょっとやる気もでます。。。...絵 や文など,自分を表現するツールを豊かに持っている人は,知 的な成長が早いと思います。

よくある質問68 そもそも物の動きとか,わかって何が嬉し いのですか? そういうのって,病気を治す薬とか,バイオ燃料 を作る微生物とか,乾燥に強い植物とかの研究開発に関係ある のでしょうか? ... そう短絡的に考えてはダメです。薬の働き 方はタンパク質の構造や, それが酸性度や温度でどう変わる か,などで決まります。それを知るには,結局は分子を構成す る原子の「動き」が大事なのです。微生物の中の生体反応も同 じ。植物が水を吸い上げるときは,結局は水分子が「どう動く か」が大事でしょ。結局,科学の本質は「動き」に代表される 物理現象に帰着するのです。ここで学んでいるのは,それらの 基礎中の基礎です。

よくある質問69 そんなの屁理屈にしか聞こえませんが...

屁理屈ではありませんよ。実際,薬の分子の動態を,膨大な数 の方程式で表してコンピュータで解析することが,既に行わ れています。そうすることで,試験管で実験するよりも効率的 に,たくさんの分子を調べることができるのです。

演習問題 12  

5.4 解答 61