第 5 章 角運動量 55
5.3 角運動量の合成
(5.94)より波動関数のスピン部分χ は任意の軸i=x, y, z の周りに2π 回転させても元には戻らず
e−2i(2π)ˆσiχ=−χ (5.95)
のように反対符号となることがわかる。このようにスピン1/2の系は、与 えられた角度 θ に対して波動関数が ±e−2iθˆσiχ の二通り存在する。これ を2価表現(double valued) という。
スピンが半整数の波動関数を2π回転させると波動関数の符号が変わる という事実は、2個のフェルミオンを交換すると波動関数の符号が変わる というフェルミーディラック統計と密接に関連している。実際、一方の フェルミオンの周りに他方のフェルミオンを2π回転させることは、2個 のフェルミオンを交換することとトポロジカルには同じ効果を生む。
5.3. 角運動量の合成 69 が得られる。ここで、
Jˆi±≡Jˆix±iJˆiy, (i= 1,2) (5.101) である。
(5.100) の両辺をそれぞれを状態|M1=J1, M2=J2⟩ に作用させると Jˆ2|J1, J2⟩=ℏ2(J1+J2)(J1+J2+ 1)|J1, J2⟩ (5.102) が得られるので状態 |J1, J2⟩ の全角運動量は J =J1+J2 であることが わかる。よって、
|J =J1+J2, M =J1+J2⟩=|M1=J1, M2=J2⟩ (5.103) この両辺に Jˆ−= ˆJ1−+ ˆJ2− を作用させると
√2(J1+J2)|J1+J2, J1+J2−1⟩=√
2J1|J1−1, J2⟩+√
2J2|J1, J2−1⟩ これから
|J1+J2, J1+J2−1⟩ =
√ J1
J1+J2|J1−1, J2⟩ +
√ J2
J1+J2|J1, J2−1⟩ (5.104) が得られる。(5.104)の両辺に再びJˆ− = ˆJ1−+ ˆJ2− を作用させると全角 運動量が J1+J2 で磁気量子数がJ1+J2−2の状態
|J1+J2, J1+J2−2⟩= 1
√(J1+J2)(2J1+ 2J2−1)
×[√
J1(2J1−1)|J1−2, J2⟩+ 2√
J1J2|J1−1, J2−1⟩ +√
J2(2J2−1)|J1, J2−2⟩]
(5.105) が得られる。同様の操作を繰り返すことにより、全角運動量が J1+J2 の すべての状態が得られる。
全角運動量が J1 +J2−1 の状態のうち磁気量子数が最大の状態は、
(5.104) に直交する状態である。
|J1+J2−1, J1+J2−1⟩ =
√ J1
J1+J2|J1, J2−1⟩
−
√ J2
J1+J2|J1−1, J2⟩ (5.106)
実際、右辺に(5.100) を作用させると全角運動量がJ1+J2−1となって いることがわかる。(5.106)の両辺に Jˆ−= ˆJ1−+ ˆJ2− を作用させると、
|J1+J2−1, J1+J2−2⟩= 1
√(J1+J2)(2J1+ 2J2−3)
×[√
J1(2J2−1)|J1, J2−2⟩+ (J1−J2)|J1−1, J2−1⟩
−√
J2(2J1−1)|J1−2, J2⟩]
(5.107) が得られる。(5.107)の両辺に Jˆ−= ˆJ1−+ ˆJ2− を順次作用させることに より、全角運動量がJ1+J2−1のすべての状態が得られる。
全角運動量が J1 +J2−2 で同じ磁気量子数を持つ状態は (5.105) と
(5.107)の両方に直交する状態である。同様の操作を繰り返すことにより
全角運動量が1ずつ小さい状態が構成できる。この操作は J2 > J1 の場 合は全角運動量がJ2−J1 となるまで、逆の場合はJ1−J2 となるまで新 しい状態が作り出される。こうして、全角運動量が
J1+J2, J1+J2−1, · · · ,|J1−J2| (5.108) なるすべての状態が構成される。直感的には(5.108)のそれぞれの状態は 角運動量ベクトルJˆ1 とJˆ2 が平行から反平行までの離散的な相対角度を とることに対応していると考えられる。
角運動量がJ の状態は 2J+ 1個の成分を持つので全部で
J1∑+J2
J=|J1−J2|
(2J+ 1) = (2J1+ 1)(2J2+ 1) (5.109) 個の状態が構成される。これは、合成されたもとの状態 |J1, M1;J2, M2⟩ の状態数に一致している。
例題 スピン1/2の粒子が2個ある場合の合成系の状態をすべて求めよ。
解答 合成スピンの大きさは 1 または 0 であり、各状態は上記の方法に 従って次のように与えられる。
|1,1⟩=|1 2,1
2⟩
|1,0⟩= 1
√2 (
|1 2,−1
2⟩+| −1 2,1
2⟩ )
|1,−1⟩=| −1 2,−1
2⟩
|0,0⟩= 1
√2 (
|1 2,−1
2⟩ − | − 1 2,1
2⟩ )
5.3. 角運動量の合成 71 例題 スピン1/2の粒子が3個ある場合の合成系の状態をすべて求めよ。
解答合成スピンの大きさは3/2または 1/2である。前者は次のように与 えられる。
|3 2,3
2⟩=|1 2,1
2,1 2⟩
|3 2,1
2⟩= 1
√3 (
|1 2,1
2,−1 2⟩+|1
2,−1 2,1
2⟩+| − 1 2,1
2,1 2⟩
)
|3 2,−1
2⟩= 1
√3 (
|1 2,−1
2,−1
2⟩+| − 1 2,1
2,−1
2⟩+| −1 2,−1
2,1 2⟩
)
|3 2,−3
2⟩=| −1 2,−1
2,−1 2⟩
後者は |32,12⟩ に直交するように選ばれる。それを α|1
2,1 2,−1
2⟩+β|1 2,−1
2,1
2⟩+γ| −1 2,1
2,1
2⟩ (5.110)
と書くと、これが |32,12⟩と直交することからα+β+γ = 0、さらに、規 格化の条件より α2+β2+γ2 = 1 である(係数は実数に取る)。これから スピンが 1/2の状態は2組存在して、それぞれに対する係数(α, β, γ) の 大きさは
( α,1
2[−α+√
2−3α2],−1
2[α+√
2−3α2] ) (
α,−1
2[α+√
2−3α2],1
2[−α+√
2−3α2] )
で与えられる。ここで、α は|α| ≤√
2/3を満足する任意の実数である。
5.3.1 クレプシューゴルダン係数
一般に、2つの角運動量を合成してできた状態|J, M;J1, J2⟩:= |J, M⟩ に合成前の状態|J1, M1;J2, M2⟩:=|M1, M2⟩の完全系
J1
∑
M1=−J1
J2
∑
M2=−J2
|M1;M2⟩⟨M1;M2|= ˆI (5.111) を作用させると
|J, M⟩=
J1
∑
M1=−J1
J2
∑
M2=−J2
|M1;M2⟩⟨M1;M2|J, M⟩ (5.112)
この展開係数
C(J1J2J;M1M2M) :=⟨J1, M1;J2, M2|J, M;J1, J2⟩ (5.113) をクレプシューゴルダン係数という。磁気量子数の和は保存されるので、
(5.113)のうちでゼロでないものは
M =M1+M2 (5.114)
を満たすものに限られる。また、⟨J, M|J′, M′⟩=δJ J′δM M′に完全系を挿 入することで
∑
M1,M2
C(J1J2J;M1M2M)C(J1J2J′;M1M2M) =δJ J′δM M′ (5.115) が得られる。同様に、⟨M1, M2|M1′, M2′⟩ =δM1M′
1δM2M′
2 に完全系を挿入 することで
∑
J,M
C(J1J2J;M1M2M)C(J1J2J;M1′M2′M) =δM1M′ 1δM2M′
2 (5.116) が得られる。
重要な例として、2つの角運動量を合成した結果、合成系の波動関数が スカラー(すなわち、J = M = 0)になる場合を考えよう。(5.108)から J1 =J2 :=jでなければならず、また、(5.114)よりM1=−M2:=mで なければならないことがわかる。したがって、(5.112)は
|0,0⟩=
∑j m=−j
|m;−m⟩⟨m;−m|0,0⟩ (5.117) 両辺に昇演算子を作用させると
0 = Jˆ+|0,0⟩=
∑j m=−j
( ˆJ1++ ˆJ2+)|m;−m⟩⟨m;−m|0,0⟩
=
∑j m=−j
[√
(j−m)(j+m+ 1)|m+ 1;−m⟩ +√
(j+m)(j−m+ 1)|m,−m+ 1⟩]
×⟨m;−m|0,0⟩ (5.118)
最後の項でmをm+ 1に変数変換すると 0 =
∑j m=−j
√(j−m)(j+m+ 1)
×(⟨m;−m|0,0⟩+⟨m+ 1,−m−1|0,0⟩)|m+ 1,−m⟩
(5.119)
5.4. パリティ 73