エネルギー（フォック）基底での解

ハミルトニアン (6.1) のエネルギー固有値を代数的に求めるために、

(6.3)、(6.4)で割って無次元化された次のような一組の演算子 ˆaとˆa^† を 導入する。

ˆ

a= 1

√2mℏω(mωˆx+iˆp), ˆa^†= 1

√2mℏω(mωxˆ−iˆp) (6.5)

交換関係(6.2) ^は、

[ˆa,ˆa^†] = 1 (6.6)

が成立すれば満たされる。(6.5)を逆に解いた式 ˆ

x=

√ ℏ

2mω(ˆa^†+ ˆa), pˆ=i

√mℏω

2 (ˆa^†−ˆa) (6.7)

を(6.1)^{に代入し、交換関係}(6.6)を使って式変形すると次の結果が得ら

れる。

Hˆ =ℏω (

ˆ a^†ˆa+1

2 )

(6.8)

ˆ

a^† は生成演算子 (creation operator)、ˆa は消滅演算子 (annihilation

operator) と呼ばれる。その理由は次のとおりである。Hˆ ^{の固有エネル}

ギー En に対する固有状態を|n⟩^{と書くと定義により}

Hˆ|n⟩=E_n|n⟩ (6.9) 両辺の左からˆa^{†をかけ、交換関係}(6.6)^{を使って変形すると}

左辺 = ˆa^†Hˆ|n⟩=ℏωˆa^† (^ˆaˆz}|{^a†−1

ˆ a^†ˆa +1

2 )

|n⟩

= ℏω (

ˆ

a^†ˆaˆa^†−aˆ^†+1 2ˆa^†

)

|n⟩= ˆHaˆ^†|n⟩ −ℏωˆa^†|n⟩

右辺 = E_nˆa^†|n⟩ となるので

Hˆˆa^†|n⟩= (E_n+ℏω)ˆa^†|n⟩ (6.10) であることがわかる。従って、ˆa^†|n⟩ ^{はエネルギー固有値が}En+ℏω ^で 与えられる Hˆ の固有状態であることがわかる。このように ˆa^† はエネル ギー ℏω をもった量子を1個生成する役割をしている。 同様の計算をaˆ について行うと

Hˆaˆ|n⟩= (E_n−ℏω)ˆa|n⟩

が得られる。従って、ˆa^{はエネルギー量子}ℏω ^を1^{個消滅させる役割を果} たしていることがわかる。

6.1. 1次元調和振動子 79 系の最低エネルギー状態は真空状態 と呼ばれる。それを、|0⟩ ^と書く と、定義によりこれよりエネルギーが低い状態はないから

ˆa|0⟩= 0 (6.11)

でなければならない。従って、

Hˆ|0⟩=ℏω (

ˆ a^†aˆ+1

2 )

|0⟩= 1

2ℏω|0⟩ (6.12) これから、最低エネルギー状態のエネルギーが E0 = ¹₂ℏω ^{であることが} わかる。これを零点エネルギーという。

系の取りうる最低エネルギーが0にならない起源は交換関係(6.6) [ˆa, aˆ^†] = 1 にあることに注意しよう。実際、系のエネルギーE はハミルトニアン の量子力学的期待値で与えられることに注意すると、

E ≡ ⟨Hˆ⟩= ⟨pˆ²⟩

2m +mω²⟨xˆ²⟩

2 (6.13)

⟨xˆ⟩= 0,⟨pˆ⟩= 0なので⟨xˆ²⟩=⟨(ˆx−⟨xˆ⟩)²⟩ ≡(∆x)²、⟨pˆ²⟩=⟨(ˆp−⟨pˆ⟩)²⟩ ≡ (∆p)² とおくと(6.13)は

E= (∆p)²

2m +mω²(∆x)²

2 (6.14)

と書かれる。右辺で相加平均は相乗平均以上であることを使うと不等式 E≥2

√(∆p)² 2m

mω²(∆x)²

2 =ω∆p∆x (6.15)

が成立することがわかる。これに不確定性関係∆p∆x ≥ℏ/2^{を適用する} とエネルギーの最小値がℏω/2で与えられることがわかる。ここで使った 不確定性関係は、交換関係(6.2)から導かれたが、それは(6.6)と等価な 関係式である。

(6.10)より状態にˆa^†を作用させるごとに系のエネルギーはℏωだけ増加 するので、|0⟩ ^にaˆ^{† を} n 回作用させてできる状態|n⟩ ^{のエネルギー} En

は

H|n⟩ˆ =En|n⟩, En=ℏω (

n+1 2

)

(n= 0,1,2,· · ·) (6.16) で与えられる。このように量子化された調和振動子のエネルギーは、ℏω (エネルギー量子)を基本単位として等間隔に並ぶ。演算子

ˆ

n≡ˆa^†ˆa (6.17)

を数演算子(number operator)^、|n⟩^はn^{フォック状態}(Fock state) ^と呼

ばれる。(6.16)から、数演算子は次の固有値方程式を満足していることが

わかる。

n|n⟩ˆ = ˆa^†ˆa|n⟩=n|n⟩. (6.18) 消滅演算子ˆa^は量子を1つ消滅させる演算子だからˆa|n⟩^は |n−1⟩^に 比例する。

ˆ

a|n⟩=c|n−1⟩, (6.19) ここで、c ^{は比例定数である。}⟨n|aˆ^† =c^∗⟨n−1|^{に注意して} (6.19) ^のノ ルムを取ると

⟨n|ˆa^†ˆa|n⟩

| {z }

n⟨n|n⟩=n

= |c|²⟨n−1|n−1⟩=|c|² → c=√

ne^iφ=√ n

ここで、フォック状態が1に規格化されている(⟨n|n⟩= 1)ことを使った。

また、位相因子φは任意にとってよいので0とおいた。一方、生成演算子 ˆ

a^†は量子数を1個増加させる演算子だからˆa^†|n⟩^は|n+ 1⟩^{に比例する。}

ˆ

a^†|n⟩ = α|n+ 1⟩ (6.20) 両辺のノルムを取ると

⟨n|ˆaˆa^†|n⟩

| {z }

↓

= |α|²⟨n+ 1|n+ 1⟩=|α|² −→ α=√ n+ 1

⟨n|ˆaˆa^†+ 1|n⟩ = n+ 1 よって、次の結果が得られる。

ˆ

a|n⟩ = √

n|n−1⟩ (6.21)

ˆ

a^†|n⟩ = √

n+ 1|n+ 1⟩ (6.22)

(6.22)を繰り返し適用することにより次の等式が成立する事がわかる。

|n⟩ = 1

√n!(ˆa^†)ⁿ|0⟩ (6.23)