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2‑10:「 階 段 パ タ ー ン 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,P.304)
「空 間 と形 」 の 問 題 例
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iあ 。繍 長、伽 の概 甑 伽 外わ、を徹 購 えて嚇 …
この 人 は巌 の よ うな デザ イ ンを考 えて い ます 。
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き る」 ま た は 「で きな い」 の どち らかを ○ で蜀 ん で くだ さい。1
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2‑11=「 花 壇 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,p.117) デザインの癒類 32メ ー トル の木 材 で、 で き るか で き ない か
デ ザ イ ンA. で き る/で きな い
デ ザ イ ンs で きる/で きな い
デ ザ イ ンC で きる/で きな い
デ ザ イ ンD で きる/で きな い
ー臨ーiき箋8⁝8重⁝
「変 化 と 関 係 」 の 問 題 例
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下 の グ ラ フ穏 、33kﾘの 平 らな サー キ ッ トで 、レ ー シ ング カ ー の 露周 紹 の趨 度 が ど の よ う に 変 化 した か を添 した も の で す ⇔
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A◎.5km 葦3ユ.5㎞
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2‑12=「 レー シ ン グ カ ー の 速 度 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2002,p.115)
「 不確実性」の問題例
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i 明 さ ん に お母 さ んが バ ッグ か らキ ャ ンヂ ィを1個 取 る よう に誉 い ま した
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2‑13:「 い ろ い ろ な 色 の キ ャ ン デ ィ 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,p .321)
② 「関 係 す る 能 力 」
PISAで は 、生 徒 が 数 学 の 問 題 を解 決 す る と き に 必 要 とす る 能 力 に つ い て 、以 下 の8つ の 要 素 が あ る と捉 え て い る。
1.思 考 と推 論
① 数 学 に 特 有 な 質 問 を す る こ と(「 … は あ ります か 」 「も しそ うな ら、 そ の数 は どの く らい で す か 」 「どの よ うに見 つ け る こ とが で き ます か 」)を 示 す こ と
② これ らの 質 問 に 対 して 数 学 が提 示 す る答 え の種 類 を知 る こ と
③ 異 な る種 類 の 言 明 を 区 別 す る こ と(定 義 、 定理 、 推 測 、 仮 説 、 例 、 条 件 付 き主 張)
④ 与 え られ た 数 学 的 概 念 の 範 囲 と限 界 を 理 解 し、 処 理 す る こ と 2.論 証
① 数 学 的 な 証 明 と は どの よ うな も の で 、他 の 種類 の 数 学 的 な 推 論 と ど う違 うか を知 る こ と
② 異 な る タ イ プ の 一 連 の 数 学 的 議 論 を た ど り、評 価 す る こ と
③ 発 見 法 に 対 す る感 覚 を 身 にっ け る こ と(「何 が起 こ り得 る か(得 な い か)」、 「な ぜ 起 こ り得 るの か(得 な い の か)」)
④ 数 学 的 議 論 を構 築 し、 表 現 す る こ と 3.コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン
① 様 々 な 方 法 で 、 数 学 的 な 内 容 を持 っ 事柄 に つ い て 口頭 あ る い は書 面 で 自分 を表 現 す る こ と
② これ ら の 事 柄 に 関 す る 、 他 の 人 の 書 面 ま た は 口頭 に よ る説 明 を理 解 す る こ と 4.モ デ ル 化
① モ デ ル 化 され る 場 や 状 況 を構 造 化 す る こ と
② 「現 実 」 を数 学 的 構 造 へ と翻 訳 す る こ と
③ 「現 実 」 とい う観 点 か ら数 学 的 モ デ ル を解 釈 す る こ と
④ 数 学 的 モ デ ル を 扱 う こ と
⑤ モ デ ル を 検 証 す る こ と
⑥ モ デ ル と そ の 結 果 に つ い て の 批 判 を熟 考 し、 分 析 し、 提 供 す る こ と
⑦ モ デ ル と そ の 結 果(結 果 の 限 界 を含 む)に つ い て 伝 達 す る こ と
⑧ モ デ ル 化 の 過 程 を 監 視 し、 統 制 す る こ と
5.問 題 設 定 と解 決
① 様 々 な種 類 の 数 学 的 問題(「 純 粋 」、 「応 用 」、 「自 由記 述 式 」、 「多 肢 選 択 式 」な ど)を 設 定 し、
定 式 化 し、 定 義 づ けす る こ と
② 異 な る 種 類 の 数 学 的 問題 を 様 々 な 方 法 で解 く こ と 6.表 現
① 表 現 形 式 が 異 な る数 学 的 な 対 象 物 と状 況 に つ い て 、 及 び 様 々 な表 現 の 間 の 相 互 関係 に つ い て 、 解 読 し、 コー ド化 し、 変 換 し、解 釈 し、 区別 す る こ と
② 状 況 や 目 的 に 応 じて 、 異 な る形 式 の表 現 の 中 か ら選 択 し、 切 り替 え る こ と 7.記 号 言 語 、 公 式 言 語 、 技 術 的 言 語 、 演 算 を 使 用 す る こ と
① 記 号 言 語 及 び 公 式 言 語 を解 読 し、解 釈 す る こ と
② 自然 言 語 との 関 係 を 理 解 す る こ と
③ 自然 言 語 か ら記 号 言 語/公 式 言 語 に 変換 す る こ と
④ 記 号 及 び 公 式 を 含 む 記 述 や 式 を 扱 うこ と
⑤ 変 数 を使 う こ と 、 方 程 式 を解 く こ と、 計 算 を行 う こ と 8.支 援 手 段 と 道 具 の 使 用
① 数 学 的 な 活 動 を支 援 す る各 種 支 援 手 段や 道 具(情 報 技 術 ツ ー ル を 含 む)に つ い て 知 り、 こ
れを利用す ることができること
② これ ら支援手段 な らびに道具の限界を知 ること
(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004a,p.31)
「関 係 す る 能 力 」 で は 、 「再 現 ク ラ ス タ ー 」・「関 連 付 け ク ラ ス タ ー 」 ・「熟 考 ク ラ ス タ ー 」 の3つ の 段 階 が 設 定 され て い る。 そ れ ぞ れ の 内容 は 、 以 下 の よ うに 述 べ られ て い る。
・「再 現 ク ラ ス タ ー 」: 比 較 的 よ く見 慣 れ た 、練 習 され た 知 識 の 再 現 を 主 に 要 す る 問題 を 解 く能 力 。 そ れ らは 、数 学 的 事 実 に つ い て の知 識 、 あ りふ れ た 問 題 の表 現 の 知 識 、等 しい も の の 知 識 、身 近 な 数 学 的 対 象 や 性 質 を 思 い 出 す こ と、決 ま り切 っ た 手 順 を 行 う こ と、 ア ル ゴ リ
ズ ムや 技 術 的 な 技 能 を そ の ま ま 適 用 す る こ と 、見 慣 れ た 標 準 形 式 の 記 号 や 公 式 を使 う こ と、 簡 単 な 計 算 を 行 う こ とで あ る。
・「関 連 づ け ク ラ ス タ ー 」:再 現 ク ラ ス タ ー の 上 に位 置 す る も の で 、やや 見慣 れ た場 面 、ま た は 、見 慣 れ た 場 面 か ら拡 張 され 発 展 され た 場 面 に お い て 、手 順 が そ れ ほ ど決 ま り き っ て は い な い 問題 を 解 く能 力 。 この 能 力 を 評 価 す る典 型 的 な 問 題 は 、解 釈 を 大 い に 要 求 し、異 な る表 現 を 結 び っ け 、解 を 求 め る た め に 、問 題 場 面 の 異 な る 面 を 結 び つ け る も の で あ る。
・「熟 考 ク ラ ス タ ー 」: 関 連 づ け ク ラ ス ター の さ ら に 上 に 位 置 つ く も の で 、洞 察 、反 省 的 思 考 、関 連 す る数 学 を見 つ け 出 す 創 造 性 、解 を 生 み 出 す た め に 関 連 す る知 識 を 結 び つ け る能 力 。こ の 能 力 を 評 価 す る 典 型 的 な 問 題 は 、 よ り多 く の 要 素 を含 ん で お り、結 果 の 一 般 化 や 説 明 や 正 当化 を要 求 す る。
(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2007b,p.211)
3つ の 能 力 群 の 特 徴 を[表2‑2]に ま とめ た 。
[表2‑2]:3つ の 能 力 群 の 特 徴
再 現 ク ラ ス ター 関 連 づ け ク ラ ス タ ー 熟 考 ク ラ ス タ ー
問題 状況 へ
の親 しみ の 程度
比 較 的 よ く見慣 れ た 問題
やや見慣れた、あるい は見 慣 れ た問題 を発 展 させ た 問題
全 く見慣れ ない問題
解法手順
決 ま り切 っ た 、簡 単 な 計 算 で 解 け る
そ れ ほ ど決 ま り切 っ て な く、複 雑 な 計 算 、 多 種 の 計 算 を して 解 く
全 く決 ま り切 っ て な く 、 自 分 で 熟 考 して 解 く
要求 され る 思考
記憶や知識の再現 利 用 で きる情報 を関連 づ ける
洞 察 、 反 省 的 思 考 、 創 造 、 正 当化 な ど
以 下 に 、 実 際 に 公 開 され た 、 調 査 問題 を 載 せ て お く。
「再 現 ク ラ ス タ ー 」 の 問 題 例
i理 科のテス ト}
i難 子さんの学校で1。 。点満点囑 のテストをし瓢 真野 さん㈱ 囎 のテ}
iス トで乎 均60点 を取 りま した。5回ﾘの テ ス トは80点 で した。l
iSQの テ ス トがす べ で 終 了 した時 点 で、真 理 子 さん の平 均 点 は何 点 に な り ます か。i
i}
i平均:5i
,駐{一巳̲卿̲̲̲甲 餌̲̲̲一̲一 禰騨一̲一 一一一一冒一 一 騨一 卿一 一 騨尋
図2‑14:「 理 科 の テ ス ト」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,p.322)
こ の 問題 は 、 過 去 の4回 の テ ス トの 平 均 点 と、5回 目 の テ ス トの 結 果 を 使 っ て 、5回 の 平 均 点 を 求 め る 問 題 で あ る。
解 法 と して 、(60×4+80)÷5を 計 算 す れ ば よ く、 答 え は64点 で あ る。
平 均 を 求 め る 問 題 は 、 小 学 校 で 学 習 して い る。 普 段 学 校 で 行 わ れ る テ ス トに あ る よ う な 問 題 で あ る た め 、 生 徒 た ち は 見 慣 れ て お り、 決 ま り切 っ た 手 順 で 解 け る。
「関 連 づ け ク ラ ス タ ー 」 の 問 題 例
…
i本 棚
…
1大 工 さ んが 本棚 を一 つ作 るの に必 要 な材 料 は次 の通 りで す。{
1
1長 い 板4枚
i短 い板 磁
ミi小 さ
い 金 具12・ 個
1火 きい銀 蠣1 ね じ1、本 i{
isia本 を 持 っ て い ま す 。:
li 答 、
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…
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…
あ る 大 工 さ ん は 長 い 抜26枚 、 短 い 抜33枚 、 小 さ い 金 具200偲 、 大 き い 金 具20個 、 ね じ
この大 工 さん は い くつ の本 棚 を作 る ・とがで きるで し、う 汎}
i
ili
一̲嚇̲̲̲均 〜̲̲̲̲̲̲̲̲舜̲一̲̲̲̲̲一̲̲̲̲̲̲̲̲̲鱒̲̲弊 軸̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲一̲̲̲‑」図2‑15=「 本 棚 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,p.305)
以下に、 この問題 に対す る代表的 と思われる解答例 を示す。
函
本 棚 の 数 とそ れ に 必 要 な材 料 の 数 に つ い て の 表 を つ く っ て 考 え る。
本棚 の数
1 2 3 4 5 6 曹 ・・長 い 板
4 8 12 16 20 24 ,9●短 い 板
6 12 18 24 30⑭
● ・●小 さい金具
12 24 36 .; 60 72 .○ ・大 きい金具
2 4 6 8 ro 12 ● ●●ね じ
14 m 42 56 70 84 ooo本 棚 を6つ 作 る と、 短 い板 は36枚 必 要 だ が 、 持 っ て い る短 い 板 は33枚 な の で 、 本 棚6つ は 作 れ な い 。 よ っ て 本 棚 は5つ ま で 作 る こ と が で き る。
「1つ の 材 料 で い くつ 作 れ る か 」 とい う問題 な ら、 簡 単 な 計 算 で 解 く こ とが で き 、 「再 現 ク ラ ス タ ー 」 に な る が 、 こ こで は 、5種 類 の材 料 そ れ ぞ れ に っ い て で き る 本 棚 の 数 を考
え 、 そ の 結 果 に 対 す る 関 連 づ け を して 考 え る こ とが 必 要 で あ る。
「熟 考 ク ラ ス タ ー 」 の 問題 例
① 「ゴ ミ」 の 問 題
「 講ミ 騨1
購 繋 剛
1
譲ミの種類 分解蒋間
バ ナ ナの皮1〜3隼
オLン ジの 皮 工〜3年
ダ ンボー ル箱05年 チ ュ ー イ ンガ ム20〜25年
新聞 数ﾘ
ポ リ ス チ レ ンの 雛 ッ ヅ1◎ ◎年 以 上 {あ る 亜 徒 は 、 この 結 果 を棒 グ ラ フ で表 す こ とに し ま した ゆ
iこ れ らのデ ー タ臓 す のに棒 グラブ欄 してい ない 舳 を0つ 挙 げて くだ さいa
君
i
……
,1
}
5
{
図2‑16:「 ゴ ミ 」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,P.328)
「デ ー タ の 開 き が 大 き い 」、 「ゴ ミの 種 類 に よ っ て デ ー タ の 変 動 が あ る 」、 「棒 グ ラ フ の 棒 の 長 さに 差 が あ りす ぎ る 」 と い うの が 正 答 例 で あ る。
この 問 題 で は 、 与 え られ た デ ー タ の 相 対 的 大 き さ に 対 す る 感 覚 と、 棒 グ ラ フ で 表 した と きの イ メ ー ジ、 そ して 、 自分 の 考 え を 文 章 化 す る こ とが 必 要 で あ る。
② 「為 替 レー ト」 の 問 題
峯
為讐 レー ト1
シンガポー磁 のメイリン楓 交朧 生として3ケ 月臥 南アフリ旙 学す測
! 備 を進 め
て い ます 。彼 女 は、 い くらか の シ ンガ ポ ール ドル(SGD)を 南 ア フ リ カ ・ラ ン ドi
(蜘1二 瀦 する蝦 があります。1
{
「""…"}一 一 一}㎜ 榊 … … … 「
1籍 讐 レー トに 関 す る 調3
こ の3ヶ 月 の 聞 に 、 為 替 レ ー トは 、 五SGDに つ き4̲27ARか ら4、OZARに 変 わ り ま し た。
現 在 、 為 替 レー トがa.zﾘで は な く4.OZARに な っ た こ と は 、 メ イ リ ン さん が 南 ア フ リ カ ・ラ ン ドを シ ン ガ ポ ー ル ドル に 両 替 す る と きv彼 女 に と っ て 好 都 合 で した か 。 答 え の 理 由 も 記 入 し て くだ さ いa
㌧●帥 順・ 醐 開 脚卿 酬㎜脚..一 一 。辱一 一 一 」
図2‑17:「 為 替 レ ー ト」 の 問 題(国 立 教 育 政 策 研 究 所,2004b,p.84,p.87)
「メ イ リ ン は 、1SGDあ た り4.2ZARを 受 け 取 っ て い た が 、 現 在 は1SGDを 手 に 入 れ る た め に4,0ZARを 支 払 え ば よ い か ら 、 彼 女 に と っ て 好 都 合 で あ る。」 と い う の が 正 答 例 で あ る 。
こ の 問 題 で は 、 レー ト換 算 の 関 係 の 理 解 や 、 量 的 な 比 較 、 そ して 、 自分 の 考 え を 文 章 化 す る こ とが 必 要 で あ る。