底辺
(鈍角三角形)
⇒ 乙篇 レざ
底辺
図3‑1=三 角 形 の 面 積圖
い くっ か の デ ー タ か らき ま りや 方 法 を 見 つ け た り、 予 想 した りす る 力 、 い わ ゆ る 「帰 納 的 に 考 え る カ 」 や 「類 推 的 に 考 え る 力 」 で あ る。
例 え ば 、 「多 角 形 の 内 角 の 和 」 を 考 え る 学 習 に お い て 、 三 角 形 か ら順 に い くつ か の 多 角 形 の 内 角 の 和 を 調 べ て い く。 そ の 結 果 を ま とめ た 表 を 見 て 、 辺 の 数 が1つ 増 え る と内 角 の 和 が1800増 え て い る とい う考 え が で き る 力 が推 論 力 に あ た る。
(三 角 形)
180°
膨 ﹁ 藁 醐 く ハ 旨
(六角 形)
720°
辺の数 三角形 四角形 五角形 六角形
内角 の和
180°V
360°V
540°V
720°V
図3‑2・ 多 角 形 の 内 角 の 和
麺
数 学 的 な 命 題 が 正 しい か 正 し く な い か を 示 す 力 の こ とで あ る。
例 え ば 、「三 角 形 の 内 角 の 和 は180。 」で あ る こ と を 示 す た め に 、図 に あ る よ うな 方 法 で 、 紙 に か い た 三 角 形 を折 っ た り、 切 り取 っ た りす る こ とで 、 三 角 形 の3つ の 角 を集 め て 、 一 直 線 に な っ て い るか ら180Qで あ る と示 す こ と、 こ れ が 論 証 力 に あ た る。
図3‑3=三 角 形 の 内 角 の 和 が180。 で あ る こ と を 確 か め る 方 法(清 水 ら,2005,p57)
國
状 況 や 目的 に応 じて 、 い ろい ろ な形 式 の表 現 の 中 か ら選 択 した り、表 現 を変 え て 問 題 を解 決 した りす る力 で あ る。 以 下 に具 体 例 を 示 す 。
・状況や 目的に応 じて、いろいろな形式の表現の中か ら選択す る力の例(割 合のグ ラフ)
小 学 校 で は 、 割 合 を 表 す グ ラ フ で 円 グ ラ フ と帯 グ ラ フ を 学 習 す る。円 グ ラ フ の 特 徴 は 、全 体 と部 分 の 割 合 が 関係 と して 視 覚 的 に 見 や す い こ とで あ る。ま た 、 二 っ の 円 で 大 き さ を 同 じ に して 内 訳 を 比 較 す る こ と もで き る(図3‑4)。
図3‑4=円 グ ラ フ(佐 々 木 ら,2002,P.95)
ま た 、 帯 グ ラ フ の 特 徴 は 、 形 が 長 方 形 で あ る の で 、 全 体 と部 分 が か き や す い こ と で あ る 。 ま た 、 図3‑5の よ うに 、 時 間 の 経 過 に よ る 各 項 目の 構 成 比 の 比 較 が しや す い 。
図3‑5:帯 グ ラ フ(佐 々 木 ら,2002,p.ﾘ)
そ れ ぞ れ の 特 徴 を 理 解 し、 グ ラ フ に表 す と き に ど ち らの グ ラ フ の 方 が 分 か りや す い か を 考 え る 力 、 これ が 状 況 や 目的 に 応 じて 、 い ろい ろ な 形 式 の 表 現 の 中 か ら選 択 す る力 で あ る 。
・表現 を変 えて問題 を解決す るカの例(数 の大小関係)
11
,0.2,一 を 、 左 か ら 小 さ い 順 に な ら び か え を し ま し ょ う。」 と 例 え ば 、 「0.3,‑34
い う 問 題 が あ っ た と き に 、⊥ を0.33…,⊥ を0.25と し て 、 「0.3,0.33…,0.2,0.25」
34
の4つ の 小 数 で 大 小 関 係 を 考 え る こ とが 、 表 現 を 変 え て 問 題 を 解 決 す る力 で あ る。
1コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン カ
「自分 の 考 え を 図 や 式 な ど を 用 い て 相 手 に わ か りや す く説 明 す る カ 」 や 「算 数 で 話 し合 っ て お 互 い の 意 見 を交 流 し合 い 、 よ り よい 考 え を作 り上 げ て い く力 」 の こ とで あ る 。
例 え ば 、 以 下 の よ うな 、 お は じき を 工 夫 して 数 え る課 題 を設 定 す る。
OO 0000 000000 000000
0000 00
図3‑6=お は じき を数 え る 問 題
A君 は 、 左 の 図 の よ う に 丸 で 囲 み 、
「6つ の か た ま り が4つ で き た の で 、6×4=24で 、 お は じ き の 個 数 は24個 で す 。」 と 答 え た 。
00 000
00 000
00000 0
OOO O
一 方、Bさ ん は 、 左 の 図 の よ う に 三 角 で 囲 み 、
「6っ の か た ま り が4つ で き た の で 、6×4=24で 、 お は じ き の 個 数 は24個 で す 。」 と 答 え た 。
他 に も 、 い ろ い ろ な 囲 み 方 で 、 お は じ き を 数 え る 方 法 を 出 し合 っ た 。
そ の 後 、 教 師 が 、 「同 じ仲 間 に で き る考 え 方 は あ りま す か。」 と発 問 を し、C君 が 、
「A君 の 考 え 方 と、Bさ ん の 考 え方 は 、6つ の か た ま りが4つ で き て い て 、 式 も 6×4=24と な っ て い る の で 、 同 じ仲 間 と して 考 え て も よ い と思 い ま す 。」
と発 言 した 。
こ の よ うに 、 自分 の 考 え を 図 や 式 を使 っ て 相 手 に 分 か りや す く説 明 した り、 出 た 意 見 か ら交 流 し た りす る こ と が 、 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンカ に あ た る。
[式や公式の活用力1
式 や 公 式 を 利 用 して 、 問題 が 解 決 で き る 力 の こ と で あ る。
例 え ば 、 あ る池 の 面 積 を 求 め る と き に 、 そ の 形 を長 方 形 と見 て 、 長 方 形 の 面 積 公 式 (た て)×(横)に あ て は め て 、 お よそ の 面 積 を 求 め る こ とが 、 これ に あ た る 。
1道具の使用
算 数 ・数 学 の 問 題 を解 決 す る手 助 け をす る道 具 を使 っ た り、 そ の 道 具 の 特 徴 を理 解 した りす る カ の こ と で あ る。
例 え ば 、 あ る 点 か ら一 定 の 距 離 に あ る点 を か く こ と が で き る と い う 「コ ン パ ス 」 の 特 徴 を 生 か して 、2点 を 通 る線 分 の 垂 直 二 等 分 線 が か け る こ とや 、 そ の か き方 を 知 っ て い る こ とが 、 こ れ に あ た る。
中 原 は 、 上 で 挙 げ た7つ の 能 力 に 、 い わ ゆ る 読 解 力(数 学 の 問 題 を解 く上 で の 文 章 を理 解 す る た め の 力)を 加 え 、 そ れ らの 関係 を 以 下 の 図 の よ うに ま と め て い る。
図3‑7:算 数 科 ・PISA型 学 力(算 数 活 用 型 学 力)の 構 造(中 原2008,p.18)
《これ ら3者 は 図 の よ うに 相 互 に 作 用 し合 う関 係 に あ る。 ま た 、 相 互 に 作 用 させ る こ と に よ り、 そ れ らが 活 性 化 して 生 き て 働 く こ とに な る 。 しか し、 これ ら3者 の 中 で 、最 も重 要 な の は や は り活 用 力 で あ り、 推 論 力 や 読 解 ・表 現 力 は 活 用 力 を 支 え る役 割 を果 た して い る 関係 に あ る。》(中 原,2008,p.19)
図3‑7は 、 活 用 力 を 意 識 した 学 力 構 造 を 示 した 図 で あ る。 こ の よ うな 構 造 を 持 っ 学 力 を 、 中原 は 「算 数 科 ・PISA型 学 力 」 あ る い は 「算 数 活 用 型 学 力 」 と呼 ん で い る 。
(2)「 算 数 科 ・PISA型 学 力 」 の 意 義
「算 数 科 ・PISA型 学 力 」 で 必 要 と され る能 力 は 、 前述 した よ うに 、
○ 推 論 力(P1)
○ 読 解 ・表 現 力(P2)
○ 活 用 力(P3)
で あ る。 こ の3つ の 能 力 の 育 成 を ね らい とす る 教 材 を 開 発 し、 授 業 を構 築 し、 実 践 を積 み 重 ね て い く こ とが 大 切 で あ る。 中原 は 、算 数 科 に お い て 、 こ の よ うな 「算 数 科 ・PISA型 学 力 」 を育 成 す る 授 業 を実 践 す る こ と の 意 義 に っ い て 、 以 下 の よ う に ま と め て い る。
① 「活 用 力 」 「推 論 力 」 「読 解 ・表 現 力 」 を培 う こ と に よ り、実 生 活 で 生 き て 働 く学 力 を 育 成 す る こ と が で き る。
② 知 識 な ど を 「習 得 」 す る意 義 や 有 用 性 を感 得 す る こ とが で き る。
③ 現 実 性 、 具 体 性 の あ る 授 業 に よ り、楽 しい 学 び と な る。
④ 算 数 ・数 学 へ の 興 味 ・関 心 を 喚 起 す る こ とが で き る。
(P.19)
ま た 、 現 実 の 世 界 で 起 こ る 問 題 に つ い て 、 算 数 を 用 い て 解 決 して い くカ 、 っ ま り、 算 数 を 活 用 す る力 の 育 成 は 、 実 生 活 で 生 き て 働 く学 力 を 育 成 す る だ け で は な く、 児 童 が 算 数 を 学 ぶ こ と の 有 用 性 を感 じ だ り、 算 数 に 対 す る興 味 ・関 心 を 持 っ た りす る とい う観 点 か ら も 有 効 で あ る 。
(3)「 算 数 科 ・PISA型 学 力 」 育 成 の た め の 教 材 例
以 下 で は 、 「算 数 科 ・PISA型 学 力 」 を育 成 して い く た め の 具 体 的 な 教 材 例 を 示 す 。
国 推論力(P1)に 力点を置いた教材例
【カ レ ン ダ ー の し くみ を さ ぐ ろ う(3年:あ ま りの あ る わ り算)】
1週 間 は7日 あ る。 カ レ ン ダ ー を 曜 日ご と の 縦 の 列 で み た と き 、 ど の 列 も7ず つ 増 えて い る。 ま た 、 ど の 列 も7で わ っ た と き の あ ま りが 同 じで あ る 。 「日に ち 」 を7で わ っ た 「あ ま り」 が 「曜 日」 と対 応 して い る。 これ を も と に 、 次 の よ うな 問題 を設 定 す る。
な お 、 教 材 は 、 中 原(2008)のp.53を 参 考 に した 。 そ れ を も と に して 、 筆 者 は 日付 を最 近 の も の に 変 更 を した り、 具 体 的 な 問題 の 設 定 を行 っ た り した 。
2008年10月 の カ レ ン ダ ー が あ りま す 。
日 月
火 水 木 金 土
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
問 題1:カ レ ン ダ ー の き ま り を 見 つ け ま し ょ う。
(曜 日 と 日に ち の 関 係 を 見 つ け ま し ょ う。)
問 題2:他 の 月 の カ レ ン ダ ー も 問 題1で 考 え た カ レ ン ダ ー の き ま りに な っ て い る で し ょ う か 。
問 題3:[10月3日 が 金 曜 日 な ら 、10月22日 は 何 曜 日で し ょ う。]
ま た 、[]と 似 た よ うな 問題 を 作 っ て 、 友 達 と問 題 を 出 し合 い ま し ょ う。
こ の 問 題 解 決 に 必 要 とな っ て く る力 は 、 以 下 の よ うで あ る 。
[表3‑1]:カ レ ン ダ ー の 問 題 で 必 要 と さ れ る 力
推論 力(P1)
読 解 ・表 現 力(P2) 活 用 力(P3)・「縦 の 列 で 見 た と き 、7ず ・カ レ ン ダ ー か ら、 問 題 を 作 ・○ ÷7=口 … △ つ 増 え て い る」「どの 列 も っ た り、 解 い た りす る 力 (△=0の と き は 火 曜 日 、
7で わ っ た と き の あ ま り △ ニ1の と き は 水 曜 日 、
が 同 じ」 で あ る とい う よ … 、 △=6の と き は
う な 、 カ レ ン ダ ー の き ま 月 曜 日)の よ う に ○ に 数
りを 考 え る カ
字 を入 れた ときの△の値
・他 の ,月も考 え た き ま りが
で曜 日が分か る式 をたて
あてはまるか ど うか を考 る能力
える力
こ の 問 題 は 、 カ レ ン ダ ー を 見 て 、 何 か の き ま りを 見 つ け 出 す 活 動 が 中 心 と な っ て く る。
し た が っ て 、 こ の 問 題 は 、 特 に 推 論 力(P1)に 力 点 を 置 い て い る。
回 読解 ・表現力(P2)に 力点を置いた教材例
【ペ ン キ ぬ りの 計 画 を た て よ う(4年:面 積 、 か さ)】
こ の 教 材 は 、 中 原(2008)のp.73で 取 り上 げ られ た 問題 で あ る。
物 を 買 う と き 、 必 要 な 分 量 だ け を 買 っ て く る こ とが 重 要 と な る場 合 が 多 い。 足 りな い 状 態 だ とま た 買 い に 出 か け な けれ ば な ら な い し、 た く さん 余 っ て しま う と 「も っ た い な い 」 と思 うの で 、 あ る 程 度 どの く らい の 分 量 が 必 要 か を 見 積 も る こ と が 問 題 とな る。
こ こ で は 、 パ ネ ル に ペ ン キ を ぬ る とい う状 況 を設 定 し、 どれ だ け の ペ ン キ の 量 が 必 要 に な る か を 考 え させ て い る(図3‑8)。
かず お さんは パネ ル にペ ンキ で色 をぬ るお手 伝 い を します。
パ ネル にペ ンキ をぬ るた め にペ ンキ のか んを どれ だけ 買 って くれば よ
い か 考 え る こ と に な り ま し た 。この問題 解 決 のた め の条 件 と して次 の よ うな条件 を提示 す る。
○ かず お さん が ぬ る パ ネル の大 き さは,た てが2m,横 が1.5mの 長 方 形 で
す 。 こ の パ ネ ル を10枚 ぬ り ま す 。(図1)○ ペ ン キ を ぬ る ロ ー ラ ー の は ば は20cmで す 。(図2)
○ ぬ り 残 し が な い よ う に す る た め に,2cmず つ 重 ね て ぬ り ま す 。
○ ペ ン キ1か ん で5m2ぬ る こ と が で き ま す 。
2m
1.5m
図1バ ネルの大 きさ
画
魎
圃
λ画 一 画
騰ー
諮
匡図2ペ ンキのぬ り万
図3‑8:ペ ン キ ぬ り の 問 題(中 原,2008,p.73)
こ の 問 題 解 決 に 必 要 とな っ て く る カ は 、 以 下 の よ うで あ る。
[表3‑2]:ペ ン キ ぬ りの 問 題 で 必 要 と され る 力
推 論 力(P1) 読 解 ・表 現 力(P2) 活 用 力(P3)
・2cmず っ か さ ね て ぬ る ・パ ネ ル の 大 き さ、 ロ ー ラ ー ・パ ネ ル10枚 で33m2 こ と を 考 慮 して 、 パ ネ ル の は ば 、ぬ り残 しが な い よ 使 う の で 、
1枚 をぬ るの に必要なぺ
う に 、重 ね て ぬ る こ と 、ぺ 33÷5・=6…3と なン キ の 量 を 考 え 、 パ ネ ル ン キ の量 、の よ うな 問題 解 り、余 りが あ る 場 合 は も う 10枚 で は どれ だ け の ぺ
決 の ための条件 を読 み 取
1本 必 要 で あ る とい う、あンキの量 が必要 かを考 え
る力 ま り の あ る わ り算 に っ いる力
・単 位 をそ ろ え て 考 え る 力て理解 してい るカ
こ の 問 題 は 、 問 題 解 決 の た め の 条 件 を適 切 に 理 解 す る 活 動 が 中 心 とな っ て く る。
した が っ て 、 こ の 問 題 は 、 特 に 読 解 ・表 現 力(P2)に 力 点 を 置 い て い る 。