線形汎関数

|| T || = sup

x∈X x6=0

|| T x ||

|| x || (7.3)

で定義される。

このノルムが、ノルムの満たすべき条件の中の三角不等式を満たすことを示す。他の条件は明 らかである。S と T が線形作用素であるとする。このとき、x6= 0ならば

||(S+T)x||

||x|| = ||Sx+T x||

||x|| ≤||Sx||+||T x||

||x|| ≤ ||S||+||T||

が成り立つ。したがって、左辺の最大値||S+T||は右辺を越えることはない。

定理 7. 2 有界線形作用素の空間

B ( X , Y )

は、

Y

^が

Banach

空間のときには、

(7.3)

をノルムとし

て

Banach

空間である。

B(X,Y)の零要素は、任意のx∈ X に Y の 0を対応付けるものとする。これを零作用素と いう。

[完備性の証明]任意の ǫ >0にたいして、||Tn−Tm||< ǫ のとき、||Tnx−Tmx||< ǫ||x|| と なり、TnxはY で収束するので、その極限をT x とする。nを十分大きくすれば、

||Tnx−T x||< ǫ||x||

となる。したがって、||Tn−T||< ǫとなり、Tn→T が示される。これは、Tn−T ∈B(X,Y) を示すので、これからT =Tn+T−Tn∈B(X,Y)が従う。 2 ここで、

I

は恒等写像で、線形空間

X

^での

I

は

B( X )

の要素で、任意の

x ∈ X

^{にたいして}

Ix = x

である。

7.3 線形汎関数

線形空間

X

^{から数の空間} Cまたは Rへの線形作用素を線形汎関数

(linear functional)

とい う。線形汎関数

f

が

x ∈ X

^{に作用して与える数を}

h f, x i

^で表す。

ノルム空間

X

^{の任意の要素}

x

に有限の数

h f, x i ∈

Cを与える線形汎関数

f

の集合は

B ( X ,

C) と表される。この空間を

X

^{′ で表す。}

X

^{′ を}

X

の双対空間

(dual space)

_{または共役空間}

(conjugate space)

という。

数の空間 C は

Banach

空間であるから、定理

7.2

により、共役空間

X

^{′ は}

Banach

空間で

ある。

例 7. 3.1 t ∈Rの関数 g(t) が g(t)∈ C(R) であるとする。関数 g(t) に t= 0 での値 g(0) を対応付ける汎関数を δと書くと、hδ, gi =g(0) となる。g(t)∈ C(R)のノルムを ||g||∞ と すると、||δ||= 1 となり、δ∈ C^′(R)となる。

例 7. 3.2 g(t)∈ C(R) とし、uf(t)∈ L¹(R) とする。関数 g(t)に、(g, uf) =R

g(t)uf(t)dt を対応付ける汎関数を f と書くと、hf, gi = (g, uf) となる。g(t)∈ C(R) のノルムを||g||∞

とすると、|(g, uf)| ≤ ||g||∞R

|uf(t)|dt であるから||f|| ≤ ||uf|| となり、f ∈ C^′(R) となる。

例 7. 3.3 Hilbert空間 H を考える。uf を H の要素であるとする。x ∈ H に作用して数 (x, uf)∈C を与える作用素は線形汎関数である。この汎関数をf で表すと、hf, xi = (x, uf) となり、その汎関数としてのノルム||f||はuf∈ Hのノルム||uf||に等しく、f ∈ H^′ となる。

実際、f, g∈ H^′,a, b∈C のとき、

haf+bg, xi = (x, auf+bug) =a(x, uf) +b(x, ug) =ahf, xi +bhg, xi, x∈ H となり、これはH^′ が線形空間であることを示す。

定理 7. 3

Hilbert

空間

H

^{の線形汎関数}

f

に対応する

H

^の要素

v

_f

∈ H

,

u

_f

∈ H

^{が存在して、任} 意の

x ∈ H

^{にたいして、}

h f, x i = (x, v

_f

) = (x, u

_f

) (7.4)

が成り立ち、

|| v

_f

|| = || u

_f

|| = || f ||

^となる。

補助定理7.1 Hilbert空間Hの線形汎関数をf ∈ H^′ とする。このとき、hf, xi = 0を満た す x∈ H の集合をNf とすると、この集合Nf は Hの閉部分空間である。

[証明]{xk}^∞k=1 は Nf の収束する要素の列であり、その極限がxであるとする。このとき、

|hf, xi|=|hf, xki − hf, xi| ≤ ||xk−x|| × ||f||

が成り立つので、xk→xで hf, xi = 0 となり、x∈Nf が示される。したがって、Nf は H

の閉部分空間である。 2

補助定理7.2 Nf の直交補空間N_f^⊥ に属し、ノルムが１である要素をx0とする。このとき、

Hの任意の要素 xにたいし

hf, xi = (x, x0)hf, x0i (7.5)

が成り立つ。

この等式は(x, x0) = 0ならば hf, xi= 0であり、N_f^⊥ にはx0 に一次独立な要素は存在しな いことを示している。

[証明]Hの任意の要素xにたいし y=hf, x0ix− hf, xix0

とすると、hf, yi = 0 となるので、y は Nf に属する。したがって、y と x0 ∈ N_f^⊥ の内積

(y, x0)は 0である。すなわち、(7.5)が成り立つ。 2

[定理7.3の証明]Hの任意の要素xにたいし(7.5)が成り立つので、vf =hf, x0ix0とすれば、

hf, xi = (x, vf)となる。uf =vf とすれば、hf, xi = (x, uf)となる。このとき、Schwarzの 不等式により

|hf, xi|

||x|| =|(x, vf)|

||x|| ≤ ||vf||

であり、x=vf のときに、左辺=||vf||となるので、左辺の最大値すなわち線形作用素f の ノルム||f|| は||vf||に等しい。 2

7.3. 線形汎関数

87

Hilbert

空間

H

^{の任意の線形汎関数}

f

を定理

7.3

の

u

_f

∈ H

で表すことにすると、任意の

x ∈ X

^にたいし

h f, x i = (x, u

_f

)

が成り立ち、汎関数

u

_f の空間

H

^{′ は例}

7.3.3

により線形空間を なす。

線形汎関数

f

を定理

7.3

の

v

_f

∈ H

で表すことにすると、任意の

x ∈ H

^{にたいし、}

h v

_f

, x i = (x, v

_f

)

が成り立つ。このときの汎関数

v

_f の空間を

H

^{∗ で表す。}

v

_f

, v

_g

∈ H

^∗

, a, b ∈

Cのとき、

(x, av

_f

+ bv

_g

) = ¯ a(x, v

_f

) + ¯ b(x, v

_g

) , x ∈ H

となり、厳密には線形性が成り立たないが、この場合も線形と呼ぶことにする。しかも、

Hilbert

空間では、線形汎関数の空間として、

H

^{′ ではなく、}

H

^∗ を使うのが普通である。

{ f

_k

}

^∞k=1 が

Hilbert

空間

H

の完全系であるとする。このとき、

H

^{の任意の要素}

f

は、この完 全系により

f =

X∞

k=1

c

_k

f

_k

(7.6)

と一意的に表される。ここで、係数

c

k は

f

により定まる。

f ∈ H

^に

c

k を対応付ける作用素は 線形であるから、それぞれの

k

にたいして線形汎関数

g

_k

∈ H

^{∗ が存在して、}

c

_k

= (f, g

_k

)

と表さ れる。

f = f

_n のときには、

c

_k

= δ

_kn となるべきであるから、

(f

_n

, g

_k

) = δ

_nk

(7.7)

が成り立つ。

例 7. 3.4 {ek}^∞k=1 が正規直交完全系であるとき、定理 5.3 (節 5.1) により、H の任意の要 素 f は

f = X∞

k=1

(f, ek)ek (7.8)

と一意的に表される。

定理 7. 4

X

,

Y

^{はノルム空間とし、}

T

は

B( X , Y )

に属する有界線形作用素とする。このとき、

Y

^′ の要素に

X

^′ の要素を対応付ける有界線形作用素

T

^′ が存在して、

h T

^′

f, x i = h f, T x i , x ∈ X , f ∈ Y

^′

(7.9)

が成り立つ。

T

^′ のノルムは

|| T

^′

|| = || T ||

^となる。

X

,

Y

^が

Hilbert

空間のときには、

T

が

B( X , Y )

に属する有界線形作用素であるとき、

Y

^{∗ の} 要素に

X

^∗ の要素を対応付ける有界線形作用素

T

^∗ が存在して、

(x, T

^∗

f ) = (T x, f ), x ∈ X , f ∈ Y

^∗

(7.10)

が成り立つ。

T

^∗ のノルムは

|| T

^∗

|| = || T ||

^となる。

T

^′ を

T

_{に共役な作用素}

(dual operator, conjugate operator)

という。

T

^∗ を

T

_{に共役な作用} 素

(adjoint operator)

という。

[証明] Hilbert空間のときの証明を与える。

線形汎関数f ∈ Y^∗ にたいして、汎関数h∈ X^∗ を

(x, h) = (T x, f), x∈ X (7.11)

で定義する。このとき、汎関数hは線形汎関数であり、

|(x, h)|=|(T x, f)| ≤ ||T x|| × ||f|| ≤ ||x|| × ||T|| × ||f||

が成り立つので、

||h|| ≤ ||T|| × ||f|| (7.12)

となり、h は有界である。したがって、h ∈ X^∗ である。f ∈ Y^∗ にh ∈ X^∗ を対応付ける 作用素をT^∗ と書くと、h=T^∗f となり、T^∗ ∈B(Y^∗,X^∗) である。これを (7.11)に代入し て (7.10)が得られる。h=T^∗f を(7.12) に代入して||T^∗|| ≤ ||T||が得られる。(7.10) から

|(T x, f)| ≤ ||x|| × ||T^∗f|| ≤ ||x|| × ||T^∗|| × ||f||であるから、||T|| ≤ ||T^∗||が得られる。した がって、||T^∗||=||T||が得られる。 2 S,T,T⁻¹ がHilbert空間Hの B(H)の作用素であるとき、次の関係が成り立つ。

(T^∗)^∗=T, (ST)^∗=T^∗S^∗, I^∗=I, 0^∗= 0, (T^∗)⁻¹= (T⁻¹)^∗ (7.13) [(7.13)の導出] 任意のf, g∈H にたいして、

(T f, g) = (f, T^∗g) = (T^∗g, f) = (g,(T^∗)^∗f) = ((T^∗)^∗f, g), (ST f, g) = (f,(ST)^∗g), (ST f, g) = (T f, S^∗g) = (f, T^∗S^∗g), (f, g) = (If, g) = (f, I^∗g), 0 = (0f, g) = (f,0^∗g),

I= (T T⁻¹)^∗= (T⁻¹)^∗T^∗, I= (T⁻¹T)^∗=T^∗(T⁻¹)^∗.

が成り立つ。これから、(7.13)を得る。 2

ドキュメント内 leb224w.dvi (ページ 92-95)