合成関数

[証明の準備]f(x)がx > Rおよびx <−Rで0に等しく、C(R)に属するときの証明を行う。

このとき、f(x)は一様連続であるから、任意の ǫ >0 にたいしδ >0が存在して 0< r < δ を満たす任意のr にたいし, |f(x+r)−f(x)|<p

ǫ/(2R)となる。したがって、(4.38) が成

り立つ。 2

[証明]与えられたǫ >0にたいし、R >0をR_∞

R |f(x)|²dx+R₋R

−∞|f(x)|²dx < ǫ/18となるよう に選ぶ。さらに、C(R)の関数g(x)を、x > Rおよびx <−Rで0に等しく、||f−g||²< ǫ/9 となるように選ぶ。x∈Rの関数fr(x),gr(x)をfr(x) =f(r+x),gr(x) =g(r+x)とする。

証明の準備により、δを 0< r < δのとき||gr−g||²< ǫ/9となるように選ぶことができるの で、このとき、

||fr−f|| ≤ ||fr−gr||+||gr−g||+||g−f||<2ǫ^1/2/3 +ǫ^1/2/3 =ǫ^1/2 (4.39) となる。すなわち、||fr−f||²< ǫとなる。 2

4.4. 合成関数

55

[証明]f(x)が階段関数{φn(x)}の非減少列の極限であり、g(t)が正値（非負値）のL¹(R)の 関数である場合の証明をする。ここで、g(x)を、正値（非負値）の連続関数ψ(x)で||g−ψ||1= R_∞

−∞|g(x)−ψ(x)|dx が小さくなるように近似する。このとき、

hn(x) = Z ∞

−∞

φn(y)g(x−y)dy, h^∗_n(x) = Z ∞

−∞

φn(y)ψ(x−y)dy (4.44)

とすると、いずれもxの連続関数となる。証明の準備のg(x)をψ(x)とすると、(4.43) によ り、有限区間(a, b)にたいし

Z b a

h^∗_n(x)dx≤ ||φn||¹||ψ||¹≤ ||f||¹(||g||¹+||ψ−g||¹) (4.45) が得られる。Cn= sup_{y∈(−∞,∞)}|φn(y)|と置くと、(4.44)により|hn(x)−h^∗_n(x)| ≤Cn||g−ψ||1

が成り立ち、

Z b a

hn(x)dx− Z b

a

h^∗_n(x)dx

≤(b−a)Cn||g−ψ||1 (4.46)

となる。||g−ψ||¹は任意に小さく取れるので、(4.45)と(4.46)から(4.44)で定義されるhn(x)

にたいし(4.43) が、任意の(a, b)にたいして得られる。

ここで、証明の準備の(4.43)以下の議論を適用して証明を終える。 2 定理 4. 9

f (x)

と

g(x)

はR で局所可積分であり、次の

3

つの条件のいずれかを満たすとする。

(1) f (x)

または

g(x)

がコンパクトな台をもつ。

(2) f (x)

と

g(x)

がともに左側で有界な台をもつ。

(3) f (x)

と

g(x)

がともに右側で有界な台をもつ。

このとき、

(4.40)

で与えられる合成関数

h(x)

はR で局所可積分である。すなわち、その関 数

h(x)

は任意の有限区間

(a, b)

で可積分である。さらに、

h(x)

は、条件

(1), (2), (3)

に応じ、

コンパクトな台、左側で有界な台、右側で有界な台をもつ。

[条件(1)の場合の証明] 有限区間(a, b)でのh(x)にたいし、定理4.8の証明に従う。f(x)の 台が有限区間[c, d]であるとするときには、(4.44)の被積分関数のg(x−y)が0 でない範囲 はa≤x≤b, c≤y≤d, a−d≤x−y≤b−c のみである。したがって、(4.43)で ||g||1 を Rb−c

a−d|g(x)|dxとした式が得られる。また、g(x)の台が有限区間[c, d]であるとするときには、

||f||¹ をRb−c

a−d|f(x)|dxとした式が得られる。

これからは、証明の準備の(4.43)以下で、hn(x),h(x),φn(x)g(x−y)を、それぞれに区 間 (a, b)の特性関数χ(a,b)(x) を掛けたもので置き換えることにより、h(x) を (4.40) として

h(x)χ(a,b)(x)が可積分であることが示される。 2

[条件(2)の場合の証明] f(x),g(x)の台がそれぞれ[cf,∞), [cg,∞)であるとする。このとき f(y)g(x−y)が 0でない範囲はa≤x≤b, cf ≤y,cg ≤x−y ≤b−cf, y≤b−cg のみであ る。したがって、(4.43)で||f||¹を Rb−cg

c_f |f(x)|dx とし、||g||¹ をRb−cf

c_g |g(x)|dx とした式が

得られる。以下は、前の証明と同様である。 2

次の例でガンマ関数Γ(z)とHeaviside の階段関数 u(x) を用いる。Γ(z)はRez >0 の複

素数zにたいしEulerの積分表示

Γ(z) = Z _∞

0

t^z−1e^−tdt (4.47)

で与えられる。u(x)は x∈Rの関数で u(x) =

1, x >0,

0, x≤0 (4.48)

である。なお、任意の関数f(x)にたいし、x≤0のときf(x)u(x) = 0 とする。

例 4. 4.2 f(x)u(x−a) が R で局所可積分であるとき、正の実数 q にたいして、q 次の Riemann-Liouville非整数回積分(fractional integral) aD_R^−qf(x)が、x > a にたいして

aD_R^−qf(x) = 1 Γ(q)

Z x a

(x−y)^q−1f(y)dy (4.49)

で定義される。右辺は _Γ(q)¹ x^q−1u(x)とf(x)u(x−a)の合成関数である。定理4.9 (条件(2))によ り、この積分は局所可積分である。また、正の実数pにたいして、p次のRiemann-Liouville非 整数回微分(fractional derivative)aD_R^pf(x)が、x > aにたいしてaD_R^pf(x) = _dx^dmmaD^p_R^−mf(x) で定義される。ここで、m はpより小さくない最小の整数である。

例 4. 4.3 例 4.4.2で α >−1,f(x) = _Γ(α)¹ (x−a)^α−1 と置くとp∈R にたいし

aD_R^pf(x) = 1

Γ(α−p)(x−a)^α−p−1 (4.50)

[証明] 積分にさいして、すなわちp=−q <0 のとき、(4.49) の右辺に上記f(x)を代入し、

積分変数 y をt = ^y_x⁻₋^a_a として、ベータ関数 B(p, q) についての次の公式を用いる。p, q が Rep >0, Req >0の複素数のとき

B(p, q) = Z 1

0

t^p−1(1−t)^q−1dt=Γ(p)Γ(q)

Γ(p+q) (4.51)

整数回微分にさいし、ガンマ関数の漸化式Γ(z+ 1) =zΓ(z)を用いる。 2

5

Fourier _{級数、直交多項式}

5.1 基底、完全正規直交系

線形空間

E

^{の可算個の要素の集合}

{ f

_n

}

は、その任意の有限個の一次結合が０となるのは係数 のすべてが０のときに限られるときに、一次独立

(linearly independent)

であるという。そうでな いときに、一次従属

(linearly dependent)

であるという。

例 5. 1.1 E は l¹, l², l^∞ のいずれかであるとする。n∈N にたいし、e⁽ⁿ⁾ ∈ E が、そのn 番目の成分が1であり、それ以外の成分はすべて 0であるものとして与えられているとする。

すなわち、e⁽¹⁾= (1,0,0,0,· · ·),e⁽²⁾= (0,1,0,0,· · ·),e⁽³⁾= (0,0,1,0,· · ·),· · · とする。この とき、E の要素の列{e⁽ⁿ⁾}^∞n=1 は一次独立である。

[証明]最初のK 個の一次結合は

x1e⁽¹⁾+x2e⁽²⁾+· · ·+xKe^(K)= (x1, x2,· · ·, xK,0,0,· · ·)

と表される。これが0 ならば、右辺からx1=x2=· · ·=xK= 0 となり、係数のすべてが0

となる。 2

集合

A

の部分集合

A

₀ が可算個の要素からなり、それが

A

で稠密であるとする。このような 部分集合

A

0 が存在するような集合

A

を可分

(separable)

であるという。

例 5. 1.2 n次元ベクトル空間Rⁿ と Cⁿ は、その要素xのノルム||x||を (4.7)のいずれと しても、可分なノルム空間である。

[証明へのヒント] E が Rⁿ であるとする。このとき、E の要素x={xk}ⁿk=1 で xk がすべて 有理数であるものの集合が可算集合であり、E で稠密であることを確かめればよい。[ヒント終 わり]

例 5. 1.3 数列空間l¹,l² は、いずれも可分なノルム空間である。

[証明]E は l¹, l² のいずれかであるとする。K ∈N とし、E の要素 x={xk}^∞k=1 でk≤K の xk がすべて有理数であり、k > K のxk がすべて0 であるものの集合をAK とする。節 1.1の例1.1.2と定理1.1により集合AK は可算集合であり、定理1.1 (節 1.1)により、その 可算個の和集合∪^∞K=1AK も可算集合である。以下で、この和集合 がE で稠密であることを 確かめる。

E の任意の要素を x={xk}^∞k=1 とする。任意の ǫ >0 にたいして、K∈N とE の要素 y={yk}^∞k=1を、k≤Kでyk=xk となり、k > Kでyk= 0となり、しかも、||y−x||< ǫ/2 なるように選ぶ。次に、AK の要素z={zk}^∞k=1 を、k≤K で|zk−xk|< ǫ/(2K)となるよ うに選ぶと、||z−x|| ≤ ||z−y||+||y−x||< ǫとなる。 2

57

ノルム空間

E

の可算個の一次独立な要素の集合

{ f

_n

}

^は、

E

の任意の要素がその一次結合によ り表されるときに、基底

(basis,

複数は

bases)

であるという。

例 5. 1.4 E はl¹,l² のいずれかであるとする。例 5.1.1で与えられた要素の列{e⁽ⁿ⁾}^∞n=1 は E の基底である。

[証明]E の任意の要素x={xk}^∞k=1 は x=

∞

X

k=1

xke^(k)

と表される。 2

{fn}^∞n=1がノルム空間E の基底であるとする。級数P∞

n=1anfn がE の要素f に収束すると き、この級数P∞

n=1anfn を f の {fn}^∞n=1による展開といい、an を展開係数という。

この節の以下の部分では、

Hilbert

空間

H

に属する一次独立な要素の可算無限個の列

{ f

_n

}

^∞n=1

が存在する場合を考える。

Hilbert

空間

H

^{の要素の列}

{ f

n

}

^∞n=1 が、条件

(f

_n

, f

_m

) = 0, n 6 = m (5.1)

を満たすときに直交系

(orthogonal system)

であるという。この条件を直交条件

(orthogonal

con-dition)

という。それは、条件

(f

_n

, f

_m

) = δ

_nm

(5.2)

を満たすときに正規直交系

(orthonormal system)

であるという。この条件を正規直交条件

(or-thonormal condition)

という。ここで

m ∈

Zのとき、

δ

_nm は

n = m

のときに

1

となり、それ 以外では

0

である

n ∈

Z の関数で、

Kronecker

のデルタ

(Kronecker’s delta)

と呼ばれる。等式

δ

_nm

= δ

_mn が成り立つ。

{ f

_n

}

^∞n=1 が直交系であるが、正規直交系でないときには、

e

_n

= f

_n

|| f

n

|| (5.3)

とすると、

{ e

n

}

^∞n=1 は正規直交系になる。ここで、

1/ || f

n

||

^{を正規化定数という。}

例 5. 1.5 n ∈ N にたいし fn(x) = sinnx とする。この関数の集合 {fn}^∞n=1 は L²(−π, π) の直交系である。区間(−π, π) で ||fn||=√

π であるから、{^√1_πsinnx}^∞n=1 は正規直交系で ある。

例 5. 1.6 n∈N にたいしfn(x)を fn(x) =χ[n,n+1)(x) =

1, n≤x < n+ 1

0, otherwise (5.4)

とする。この関数の集合{fn(x)}^∞n=1 はL²(R)の正規直交系である。

5.1. 基底、完全正規直交系

59

定理 5. 1

{ f

_n

}

^∞n=1 は

Hilbert

空間

H

の正規直交系であるとする。級数 ^P∞_n=1

c

_n

f

_n が

H

^の要素

f

に収束するときには、係数

c

_n は

c

_n

= (f, f

_n

) (5.5)

で与えられる。その級数が

f

に収束するか否かにかかわらず、不等式

∞

X

n=1

| (f, f

_n

) |

²

≤ || f ||

²

(5.6)

が成り立つ。

不等式

(5.6)

をBessel の不等式

(Bessel’s inequality)

という。この不等式により

(5.5)

で与 えられる係数

c

_n の列

{ c

_n

}

^∞n=1 は数列空間

l

² に属し、

lim

_n→∞

c

_n

= 0

が成り立つ。

[(5.5)の導出]級数P∞

n=1cnfnのn=N の項までの部分和PN

n=1cnfn をgN で表すと、それ はf に収束するので、N → ∞で||gN−f|| →0となる。Schwarzの不等式(節4.1)により

|(gN −f, fn)| ≤ ||gN −f|| × ||fn||

が成り立つ。N → ∞で右辺は0、したがって左辺も0となる。したがって、cn= limN→∞(gN, fn) =

(f, fn)が得られる。 2

[(5.6)の導出]cn = (f, fn)とすると、

0≤ ||f−

N

X

n=1

cnfn||²= (f−

N

X

n=1

cnfn, f−

N

X

n=1

cnfn) =||f||²−

N

X

n=1

|cn|² となり、したがって、

N

X

n=1

|cn|²≤ ||f||²

となる。このとき、左辺の級数は収束し、(5.6)が成り立つ。 2 定理 5. 2 任意の正整数

N

にたいし、正規直交系

{ f

_n

}

^Nn=1 の一次結合 ^PN_n=1

a

_n

f

_n の中で

|| f −

PN

n=1

a

n

f

n

||

^{を最小にする}

{ a

n

}

^は

a

n

= c

n

= (f, f

n

)

で与えられる。

[証明]cn = (f, fn)とすると、

||f−

N

X

n=1

anfn||² = ||f||²−

N

X

n=1

[an(fn, f) + ¯an(f, fn)] +

N

X

n=1

|an|²

= ||f|| −

N

X

n=1

|cn|²+

N

X

n=1

|cn−an|²

となる。これは、an=cn のときに最小になる。 2

f

₁

, f

₂

, ..., f

_N の一次結合で表される要素の集合を

f

₁

, f

₂

, ..., f

_N が張る空間という。これを

V

_N とするとき、

{ f

n

}

^∞n=1 が正規直交系ならば、^PN_n=1

c

n

f

n は

f

の

V

N への正射影である。すなわち、

(

N

X

n=1

c

n

f

n

, f −

N

X

n=1

c

n

f

n

) = 0 (5.7)

が成り立つ。

ノルム空間

E

^{の要素の列}

{ f

_n

}

^∞n=1 は、

E

^{の任意の要素}

f

に収束する級数 ^P∞_n=1

a

_n

f

_n が存在 するときに、完全

(complete)

であるという。

定理 5. 3

{ f

_n

}

^∞n=1 が

Hilbert

空間

H

の完全正規直交系であるとき、

H

^{の任意の要素}

f

にたいし

c

_n

= (f, f

_n

)

を係数とする級数^P∞_n=1

c

_n

f

_n は

f

に収束し、等式

X∞ n=1

| (f, f

n

) |

²

= || f ||

²

(5.8)

が成り立つ。さらに、

f ∈ H

,

g ∈ H

^ならば、

X∞

n=1

(f, f

_n

)(f

_n

, g) = (f, g) (5.9)

が成り立つ。

等式

(5.8)

を Parseval_{の等式という。}

[証明] (5.9)を証明する。{fn}^∞n=1は完全であるから、f,gに収束する級数P∞

n=1cnfn,P∞ n=1dnfn

が存在する。定理5.1により、このとき、cn = (f, fn),dn= (g, fn)となり、Schwarzの不等 式により

|(f−

N

X

n=1

cnfn, g−

N

X

n=1

dnfn)| = |(f, g)−

N

X

n=1

cndn|

≤ ||f−

N

X

n=1

cnfn|| ||g−

N

X

n=1

dnfn|| →0, N → ∞ となる。これから(5.9)が従う。(5.8)は(5.9)で gを f として得られる。 2 {fn}^∞n=1がHilbert空間Hの完全正規直交系であるとき、Hの要素f にたいしcn= (f, fn) を係数とする級数P_∞

n=1cnfn がf の {fn}^∞n=1 による展開であり、cn が展開係数である。こ のときの展開は、またFourier級数といい、展開係数は、また Fourier係数という。

L² では、完全正規直交系 {fn(x)}^∞n=1 による関数 f(x) ∈ L² の展開 (Fourier 級数) は P_∞

n=1(f, fn)fn(x)となる。この級数は f(x)に平均収束する。

定理 5.3 の系 1

{ f

_n

}

^∞n=1 が

Hilbert

空間

H

の完全正規直交系であるとき、すべての

f

_nに直交する

H

^の要素 は零要素

0

のみである。

[証明] (5.8)より明らか。||f|| 6= 0ならば(f, fn)6= 0となるn∈N が存在する。 2 定理 5.3 _の系 2

Hilbert

空間

H

は、完全正規直交系が存在するときには可分である。

[証明へのヒント]定理5.3により、完全正規直交系が存在するときには、任意の要素f は、そ

の完全正規直交系による展開の極限に等しく、(5.8)により展開係数は l² に属する。例5.1.3 によりl²は可分である。[証明へのヒント終わり]

5.2. FOURIER級数

61

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