双直交ウェーブレット 2

nu:3; pnupi(w):=ps[nu](w+%pi)$

pnupi(w):=ratsubst(cos(w/2)^2,sin(w/2)^2,ps[nu](w));

pnupis(w):=ratsubst(1-sin(w/2)^2,cos(w/2)^2,pnupi(w));

pnupiz(z):=ratsubst(1/2-(z+1/z)/4,sin(w/2)^2,pnupis(w));

m0piz(z):=((1-1/z)/2)^(nu+1); m1z(z):=-z*pnupiz(z)*m0piz(z);

m1za(z):=expand(m1z(z)); idm:-2*nu; idx:nu+1; tm:-nu-1; tx:nu+2;

for i:idm-1 thru idx+1 do (dd[i]:coeff(m1za(z),z,i),print(i,dd[i]));

prog1133; (prerequisites:[prog931(a),prog932,prog1132])$

splinephi(x):=gtha(x);

上のプログラムの後に、節9.3 の prog935(c)を用いると、ψ(t)が計算される。

prog935(c); (prerequisite:[prog1133])$

11.4. 双直交ウェーブレット 2

145 Cohen, Daubechies and Feauveau

による次の定理を与える。

定理 11. 3 定理

11.2

の条件が満たされるとき、

q =

¹₂

(r + ˜ r) + 1, P (sin

^{2 w}₂

) = L(cos w) ˜ L(cos w)

と置くと、

P (y)

は

P (y) = P

₁

(y) + y

^q

P

₃

(y) (11.56)

で与えられる。ここで、

P

₁

(y) =

q−1

X

k=0

q + k − 1 k

!

y

^k

(11.57)

であり、

P

3

(y)

は

P

3

(y) + P

3

(1 − y) = 0

を満たす。これを満たす多項式

P(y)

で次数が最も低い ものは

q − 1

次で

P (y) = P

₁

(y)

で与えられる。このとき

ψ(t), ψ(t) ˜

の台の長さは共に

r + ˜ r + 1

となる。

ここで用いられているP1(y),P2(y),P3(y)は、節9.3のPν(w)とは全く異なるものである。

[証明]ここで、q=¹₂(r+ ˜r) + 1,P(sin^2w₂) =L(cosw) ˜L(cosw)と置くと、(11.54)は (cos²w

2)^qP(sin²w

2) + (sin²w

2)^qP(cos²w

2) = 1 (11.58)

となる。(11.58)の解を求めるために、ここで

(1−y)^qP(y) +y^qQ(1−y) = 1 (11.59)

を満たす多項式P(y)、Q(1−y)を求める問題を考える。(11.59)を満たすP(y)は、べき級数 P2(y),多項式P3(y)により、

P(y) = 1

(1−y)^q +y^qP2(y) =P1(y) +y^qP3(y) (11.60) と表される。(11.59)でy= 1−z と置くと、同様にして、Q(z)は、べき級数Q2(z),多項式 Q3(z)により、

Q(z) = 1

(1−z)^q +z^qQ2(z) =P1(z) +z^qQ3(z) (11.61) と表される。したがって、(11.59)は

(1−y)^q[P1(y) +y^qP3(y)] +y^q[P1(1−y) + (1−y)^qQ3(1−y)] = 1 (11.62) となる。この式のy の 2q 次以上の項の係数は0であるからP3(y) +Q3(1−y) = 0である。

(11.58)では、Q(y) =P(y)であるから、解は(11.60)で与えられ、P3(y)はP3(y)+P3(1−y) = 0 を満たさなければならない。最後のψ(t), ˜ψ(t)の台の長さは定理11.1の系による。 2 例 11. 4.1 ˜r = 1, r = 1, K = 2, K˜ = 4 と置くと、定理 11.3 により、最も簡単なものは q−1 = 1 次のP(y) =P1(y) = 1 + 2y を採用するもので、(11.55) は

m0(w) =e^−iwcos²w

2, m˜0(w) =e^−iwcos²w 2

1 + 2 sin²w 2

(11.63)

となる。(11.63) の m0(w) は、例 11.3.1, ν = 1 にたいする例 11.3.2 と同じで、φ(t) は1 次のスプライン θ2(t) である。ここで (8.36) によりm1(w) = −e^−iwm˜0(w+π) とすると、

m1(w) = sin^2w₂(1 + 2 cos^2w₂)となる。

これは、ν = 1 にたいする例 11.3.2 の ψ(t) にたいするm1(w) = ¹₃sin^2w₂(1 + 2 sin^2w₂) と異なっている。

この例と次の例にたいし、m1(w)の展開係数dn/√

2 =dd[n]を計算し、ψ(t) も求めるプ ログラムが前節の最後に与えられている。また、ψ(t)の図は、図 11.2(c), 図 11.3(c) に描か れている。

例 11. 4.2 ˜r= 3, r = 3, K = 4, K˜ = 10 と置くと、定理 11.3 により、最も簡単なものは q−1 = 3 次のP(y) =P1(y) = 1 + 4y+ 10y²+ 20y³ を採用するもので、(11.55)は

m0(w) = e^−2iwcos⁴w

2, m˜0(w) =e^−2iwcos⁴w 2

1 + 4 sin²w

2 + 10 sin⁴w

2 + 20 sin⁶w 2

(11.64) となる。このとき、φ(t) は3次のスプラインθ4(t)である。

例 11. 4.3 (11.55)でL(cosw) = 1,L(cos˜ w) =P1(sin^2w₂) を採用すると、φ(t) はr˜次のス プラインθ˜r+1(t)である。

Mallat

の本に、定理

11.3

による

φ(t), ˜ φ(t), ψ(t), ˜ ψ(t)

の例が多数載っている。

12

積分ウェーブレット変換

12.1 積分ウェーブレット変換による表式 1

φ(t), ˜ φ(t), ψ(t), ˜ ψ(t)

が双直交ウェーブレットのスケーリング関数、マザーウェーブレットで あるときのウェーブレットによる展開は節

10.1

の

(10.3) ∼ (10.8)

に与えられている。ここで、積 分ウェーブレット変換

( ˜ Φf )(a, b), ( ˜ Ψf )(a, b)

を

( ˜ Φf )(a, b) =

Z _∞

−∞

f (x) | a |

^−1/2

φ( ˜ x − b

a ) dx (12.1)

( ˜ Ψf )(a, b) =

Z _∞

−∞

f (x) | a |

^−1/2

ψ( ˜ x − b

a ) dx (12.2)

で定義すると、

(10.6)

で与えられる展開係数

a

^(m)n

, b

^(m)n は

a

^(m)_n

= ( ˜ Φf )(2

^−m

, 2

^−m

n), b

^(m)_n

= ( ˜ Ψf )(2

^−m

, 2

^−m

n) (12.3)

と表され、

(10.7)

は、

M

₀ を

M

とすると、

f (t) =

X∞ n=−∞

( ˜ Φf )(2

^−M

, 2

^−M

n)2

^M/2

φ(2

^M

t − n) +

X∞

m=M

X∞ n=−∞

( ˜ Ψf )(2

^−m

, 2

^−m

n)2

^m/2

ψ(2

^m

t − n) (12.4)

となり、

(10.8)

は

f (t) =

X∞ m=−∞

X∞ n=−∞

( ˜ Ψf )(2

^−m

, 2

^−m

n)2

^m/2

ψ(2

^m

t − n) (12.5)

となる。これらの式には、

n

と

m

についての和が現われる。これらを積分にした式が成り立つこ とを示す。

以下、本節ではφ(t)∈ L¹(R), ˜φ(t)∈ L¹(R)を仮定する。

147

定理 12. 1

φ(t), φ(t), ˜ ψ(t), ψ(t) ˜

が双直交ウェーブレットのスケーリング関数、マザーウェーブ レットであるとき、

L ∈

Z,

N ∈

N,

A ∈

R として

f (t) ∈ L

²

(R)

は次のように表される。

f (t) = 1 N

L+N−1

X

m=L

2

^m/N Z _∞

−∞

( ˜ Φf)(2

^−m/N

, b)2

^m/(2N)

φ(2

^m/N

(t − b)) db

+ 1

N

X∞

m=L

2

^m/N Z _∞

−∞

( ˜ Ψf )(2

^−m/N

, b)2

^m/(2N)

ψ(2

^m/N

(t − b)) db (12.6)

f (t) = 1 N

X∞ m=−∞

2

^m/N Z _∞

−∞

( ˜ Ψf )(2

^−m/N

, b)2

^m/(2N)

ψ(2

^m/N

(t − b)) db (12.7)

f (t) = 1 log 2

Z A A/2

1 a

²

hZ _∞

−∞

( ˜ Φf )(a, b)a

^−1/2

φ( t − b

a ) db

ⁱ

da

+ 1

log 2

Z _A

0

1 a

²

hZ _∞

−∞

( ˜ Ψf )(a, b)a

^−1/2

ψ( t − b

a ) db

ⁱ

da (12.8)

f (t) = 1 log 2

Z _∞

0

1 a

²

hZ _∞

−∞

( ˜ Ψf)(a, b)a

^−1/2

ψ( t − b

a ) db

ⁱ

da (12.9)

Fourier変換を用いない証明を先ず与え、それを用いる証明を定理12.2の後に与える。

[N = 1,L=M のときの(12.6)の導出] (10.1)の代わりに、座標の原点を任意のb∈Rだ けずらして、

φm,n(t) = 2^m/2φ(2^m(t−b)−n), ψm,n(t) = 2^m/2ψ(2^m(t−b)−n) としても、{φm,n(t)},{ψm,n(t)}により(12.4)のように展開できる。その式は、

f(t) =

∞

X

n=−∞

nZ ∞

−∞

f(x) 2^M/2φ(2˜ ^M(x−b)−n)dxo

2^M/2φ(2^M(t−b)−n)

+ X∞

m=M

X∞

n=−∞

nZ _∞

−∞

f(x) 2^m/2ψ(2˜ ^m(x−b)−n)dxo

2^m/2ψ(2^m(t−b)−n) となる。この式を b について 0 から 2^−M まで積分し、2^M をかけると、(12.6) で N = 1, L=M と置いた式が得られる。この計算で右辺第二項では、n= 2^m−Mk+lとおき、P_∞

n=−∞

をP∞ k=−∞

P2^m−M−1

l=0 と書き、kの和とbの積分P∞ k=−∞

R2^−M

0 dbはb+ 2^−Mkをbとする とR∞

−∞dbとなる。その後でb+ 2^−ml をbとするとl についての和は因数2^m−M となる。2 [N >1 にたいする(12.6)の導出] λ∈Rとし、N = 1,L=M にたいする(12.6) でt, x, bを 2^λt, 2^λx, 2^λbで置き換え、さらに、f(2^λt)を f(t)とすると、

f(t) = 2^M+λ Z ∞

−∞

nZ ∞

−∞

f(x) 2^(M+λ)/2φ(2˜ ^M+λ(x−b))dxo

2^(M+λ)/2φ(2^M+λ(t−b))db +

X∞

m=M

2^m+λ Z _∞

−∞

nZ _∞

−∞

f(x) 2^(m+λ)/2ψ(2˜ ^m+λ(x−b))dxo

2^(m+λ)/2ψ(2^m+λ(t−b))db (12.10) となる。(12.10)でλ=ν/N とし、ν についてν0∈Zからν0+N−1まで加え、N で割り、

M +λとm+λを m/N とし、L=M N+ν0 と置くと、N >1 にたいする (12.6)が得ら

れる。 2

12.1. 積分ウェーブレット変換による表式 1

149

[(12.8)の導出] 下記補助定理12.1を用い、(12.6)でN → ∞ にする。または(12.10)をλ についてλ0 からλ0+ 1 まで積分し、M+λとm+λをλとすると、

f(t) =

Z M+λ0+1 M+λ0

2^λhZ _∞

−∞

nZ _∞

−∞

f(x) 2^λ/2φ(2˜ ^λ(x−b))dxo

2^λ/2φ(2^λ(t−b))dbi dλ +

Z _∞

M+λ0

2^λhZ _∞

−∞

nZ _∞

−∞

f(x) 2^λ/2ψ(2˜ ^λ(x−b))dxo

2^λ/2ψ(2^λ(t−b))dbi dλ

となり、ここでa= 2^−λ, loga=−λlog 2,A= 2^−M−λ0 とすると(12.8)が得られる。 2

[(12.7)の導出] (12.6)でL→ −∞として、(12.7)が得られる。 2

[(12.9)の導出] (12.8)でA→ ∞として、(12.9)が得られる。 2

補助定理12.1 L, L1, M, X ∈ Z, X > M, λ0 ∈ R, 0 ≤ λ0 < 1, limN→∞ L

N = M +λ0, limN→∞L1

N =X+λ0,g(t)/t∈ L¹(0,∞)のとき、

Nlim→∞

1 N

L1

X

m=L

g(2^−m/N) = Z X+λ0

M+λ0

g(2^−λ)dλ= 1 log 2

Z A B

1 ag(a)da が成り立つ。ここで、λ0 = limN→∞ν0

N, λ1 = limN→∞ν1

N, A = 2^−M−λ0, B = 2^−X−λ0 で ある。

[証明]左辺でλ=m/Nとすると、第1の等式が得られる。ここで、a= 2^−λ, loga=−λlog 2

とすると右辺になる。 2

元の式

(12.4), (12.5)

では

2

^−m の整数倍の場所を特別扱いしているのに比べ、

(12.6) ∼ (12.9)

ではすべての場所を同等に扱っている。式

(12.4) ∼ (12.7)

では

2

^−m または

2

^−m/N のスケールを 特別扱いしているのに比べ、

(12.8), (12.9)

ではすべてのスケール

a

の値を同等に扱っている。

補助定理12.2 f(t) ∈ L²(R) たいし(12.6) が成り立つためには、φ(t), φ(t)˜ , ψ(t), ψ(t)˜ ∈ L²(R)が

1 N

L+N−1

X

m=L

φ(2ˆ˜ ^−m/Nw) ˆφ(2^−m/Nw) + 1 N

∞

X

m=L

ψ(2ˆ˜ ^−m/Nw) ˆψ(2^−m/Nw) = 1 (12.11)

を満たすことが必要十分である。さらに、この条件の下で(12.8) も成り立つ。

[証明] (12.6) のFourier変換をとると、左辺はfˆ(w)となり、右辺は fˆ(w)に(12.11)の左辺 を掛けた式になる。したがって、(12.6)が成り立つためには(12.11)が成り立つことが必要十

分である。 2

補助定理12.3 f(t)∈ L²(R)たいし(12.7) が成り立つためには、

1 N

∞

X

m=−∞

ψ(2ˆ˜ ^−m/Nw) ˆψ(2^−m/Nw) = 1 (12.12)

が満たされることが必要十分である。さらに、この条件の下で(12.9)も成り立つ。

[証明]補助定理12.2の証明で、(12.6), (12.11)を(12.7), (12.12)で置き換えればよい。 2

例 12. 1.1 節 9.5 の Meyer のウェーブレットは直交ウェーブレットであり、 N = 1にたい

する(12.12)を満たす。(9.44)で与えられるψ(w)ˆ は複素数値を取るが、これを絶対値で置き

換え、

ψ(w) =ˆ















0, |^w₂|< ^π₃

φ(wˆ + 2π), −^2π₃ ≤^w₂ ≤ −^π₃ φ(wˆ −2π), ^π₃ ≤ ^w2 ≤^2π3

φ(ˆ ^w₂), ^2π₃ ≤ |^w2| ≤^4π3

0, |^w2|> ^4π₃

(12.13)

としても、N = 1にたいする(12.12)は満たされる。

補助定理12.4 (12.8) が成り立つためには

1 log 2

Z 1 1/2

1

aφ(aw) ˆˆ˜ φ(aw)da+ 1 log 2

Z 1 0

1

aψ(aw) ˆˆ˜ ψ(aw)da= 1 (12.14) が満たされることが必要十分である。

[証明] (12.8)のFourier変換は次のようになる。

fˆ(w) = ˆf(w)h 1 log 2

Z A A/2

1

aφ(aw) ˆˆ˜ φ(aw)da+ 1 log 2

Z A 0

1

aψ(aw) ˆˆ˜ ψ(aw)dai

= ˆf(w)h 1 log 2

Z 1 1/2

1

aφ(Aaw) ˆˆ˜ φ(Aaw)da+ 1 log 2

Z 1 0

1

aψ(Aaw) ˆˆ˜ ψ(Aaw)dai したがって、(12.8)が成り立つためには、(12.14)が必要十分である。 2

補助定理12.5 (12.9) が成り立つためには

1 log 2

Z ∞ 0

1

aψ(a) ˆˆ˜ ψ(a)da= 1 (12.15)

が満たされることが必要十分である。

[証明] (12.9)のFourier変換は次のようになる。

fˆ(w) = 1 log 2fˆ(w)

Z ∞ 0

1

aψ(aw) ˆˆ˜ ψ(aw)da= 1 log 2fˆ(w)

Z ∞ 0

1

aψ(a) ˆˆ˜ ψ(a)da

したがって、(12.9)が成り立つためには、(12.15)が満たされることが必要十分である。 2

定理 12. 2

φ(t), ψ(t), φ(t), ˜ ψ(t) ˜ ∈ L

²

(R)

が、

φ(t) ∈ L

¹

(R), φ(t) ˜ ∈ L

¹

(R)

を満たし、スケール 関係

(8.12), (8.27)

とそれに対応するスケール関係を満たし、

φ(0) ˆ φ(0) = 1 ˆ˜

であり、さらに

(8.13), (8.28)

とそれに対応する式で定義される

m

0

(w), m ˜

0

(w), m

1

(w), m ˜

1

(w)

が

m

₀

(w) ˜ m

₀

(w) + m

₁

(w) ˜ m

₁

(w) = 1 (12.16)

を満たすとする。このとき、

m

0

(0) ˜ m

0

(0) = 1, m

1

(0) ˜ m

1

(0) = 0

であり、

(12.6) ∼ (12.9)

が成り 立つ。

この定理は、(12.6)∼(12.9)が成り立つためには、φ(t), ˜φ(t),ψ(t), ˜ψ(t)が双直交条件を満た さなくても、スケール関係と(12.16)を満たすことが十分であることを示す。

12.2. 積分ウェーブレット変換による表式 2

151

ドキュメント内 leb224w.dvi (ページ 151-158)