LQI 制御器（現代制御理論）によるシミュレーション

長頸竜類は四枚の鰭を持っており，それらを全て用いて，姿勢角を制御した可 能性もある．また，生物は，一入力一出力システムというよりかは，むしろ多入 力多出力システムであるとも考えられる．そこで多入力多出力も可能な現代制

御理論(LQI制御器)35, 36, 37, 38 )を用いて滑空遊泳シミュレーションを行う．

LQI制御器の設計には運動方程式の線形化が必要である．平衡点回りに運動方 程式を線形化する．長頸竜類モデルの運動方程式は非線形方程式であるが，この 線形化には MATLAB/Simulink 組み込み関数の linmod 関数とその他の必要な MATLAB関数 39, 40, 41) を用いる．

状態空間表現として，(4.4)～(4.6)式が得られる，𝒖は操作入力である．𝒚_𝑴は 観測出力であり，[𝐶_𝑀]を変更することで(4.7)式を得る．添え字の 0 は平衡状態 時の値であることを示している．(4.6)式は鰭角や姿勢・速度・角速度などのほと んどの状態が分かる（センサーにより観測できる）とする場合，(4.7)式は鰭角と 姿勢しか分からない（センサーにより観測できない）とする場合に使用される．

「長頸竜類は生物なのでほとんどすべての状態が把握できている」とするのが

(4.6)式の示すところであり，「長頸竜類を水中ビークルなどの機械とみなし，姿

勢などの最低限の情報しかセンサーにより観測できない」とするのが(4.7)式の 示すところである．

被制御変数を𝑦とし，定置目標を添え字𝐶をつけて，𝑦_𝐶とする．この時，制御 目的は(4.8)式で表される．被制御変数𝑦はセレクター行列𝐶_𝑆を用いて(4.9)と (4.10)式のように表せる．(4.10)式は𝜃と𝜓を制御して縦方向滑空や旋回滑空を行 うための制御器を設計する際に使用される．(4.9)式は𝜙を制御して旋回滑空を行 うための制御器を設計する際に使用される．(4.9)式と(4.10)式のように被制御変 数を分けたのは，長頸竜類は指令としてヨー角を与えてもロール角を与えても 旋回が可能であり，どちらの方式が有利であるかをわかりやすく検証するため である．

{𝒙̇ = 𝐴𝒙 + 𝐵𝒖

𝒚_𝑴= 𝐶_𝑀𝒙 (4.4)

𝒙̇ =

[

̇𝑅

̇𝐿

̇𝑅

̇𝐿

𝛾̇

̇ ̇ ̇ 𝜙̇

𝜃̇

𝜓̇

̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ]

= [𝐴]

[

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0 𝛾 − 𝛾₀ − ₀ − ₀ − ₀ 𝜙 − 𝜙₀ 𝜃 − 𝜃₀ 𝜓 − 𝜓₀

− ₀ − ₀ − ₀

− ₀ − ₀

− ₀ ] + [𝐵]

[

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0]

(4.5)

𝒚_𝑴 =

[

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0 𝜙 − 𝜙₀

𝜃 − 𝜃₀ 𝜓 − 𝜓₀

− ₀ − ₀ − ₀

− ₀ − ₀

− ₀ ]

= [𝐶_𝑀]

[

𝑅− _𝑅0

𝐿− _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿− _𝐿0 𝛾 − 𝛾₀ − ₀ − ₀ − ₀ 𝜙 − 𝜙₀ 𝜃 − 𝜃₀ 𝜓 − 𝜓₀

− ₀ − ₀ − ₀

− ₀ − ₀

− ₀ ]

(4.6)

𝒚_𝑴 =

[

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿 − _𝐿0 𝜙 − 𝜙₀

𝜃 − 𝜃₀ 𝜓 − 𝜓₀ ]

= [𝐶_𝑀]

[

𝑅− _𝑅0

𝐿− _𝐿0

𝑅− _𝑅0

𝐿− _𝐿0 𝛾 − 𝛾₀ − ₀ − ₀ − ₀ 𝜙 − 𝜙₀ 𝜃 − 𝜃₀ 𝜓 − 𝜓₀

− ₀ − ₀ − ₀

− ₀ − ₀

− ₀ ]

(4.7)

𝒆 = 𝒚_𝑪− 𝒚 → 𝟎  (𝑡 → ∞) (4.8)

𝒚 = 𝐶_𝑆𝐶_𝑀𝒙 = 𝐶𝒙 = [𝜙 𝜃] (4.9) 𝒚 = 𝐶_𝑆𝐶_𝑀𝒙 = 𝐶𝒙 = [𝜃 𝜓] (4.10) 以上のように，状態空間表現を得たうえで，LQI制御器を設計する．(4.4)式で 得られた状態空間表現からセレクタ行列𝐶_𝑆を用いて被制御変数𝒚を(4.9)と(4.10) 式のように定義する．𝐴と𝐶が可観測対になるように，𝐶_𝑆を設定する．LQI制御の 概念図をFig. 4.15に示す．

(4.8)式に示した制御目的を達成するために，(4.11)式のような積分動作を加え

た状態フィードバックを考える．

𝒖 = −𝐹𝒙 − 𝐹_𝐼∫ (𝒚(𝜏) − 𝒚_𝑪)𝑑𝜏

𝑡

0

(4.11) 第2項に含まれる積分を𝒙_𝑰と置き換えることで，(4.12)式が得られる．

𝒖 = −𝐹𝒙 − 𝐹_𝐼𝒙_𝑰 (4.12)

いま[𝒙 𝒙_𝑰]^𝑇を状態変数とすると積分動作を含む LQI 制御器は(4.13)式と

(4.14)式のように表される．ただし，行列𝐼は単位行列であり，以下同様とする．

𝑑 𝑑𝑡[𝒙

𝒙_𝐼] = [𝐴 − 𝐵𝐹 −𝐵𝐹_𝐼 𝐶 0 ] [𝒙

𝒙_𝑰] + [ 0

−𝐼] 𝒚_𝑪 (4.13)

[𝒚

𝒖] = [ 𝐶 0

−𝐹 −𝐹_𝐼] [𝒙

𝒙_𝑰] (4.14)

(4.13)式の状態[𝒙 𝒙_𝑰]^𝑇から(4.14)式の出力[𝒚 𝒖]^𝑇までのインパルス応答を

G(t)とし，

𝐺(𝑡) = [ 𝐶 0

−𝐹 −𝐹_𝐼] exp ([𝐴 − 𝐵𝐹 −𝐵𝐹_𝐼

𝐶 0 ] 𝑡) (4.15)

次式で表される2次形式評価関数を最小化する𝐹，𝐹_𝐼を求める．

𝐽 = 𝑡 (∫ 𝐺^𝑇(𝑡) [𝑄 0

0 𝑅] 𝐺(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

) (4.16)

𝑄は被制御変数に対する重み行列，𝑅はアクチュエータ（鰭の動き）に対する重 み行列で，こららの対角要素の値を調節することで制御器をチューニングする．

チューニングはシミュレータを使用して，制御性能が向上するように，試行錯誤 で行った．

解は周知のように(4.17)式で得られる ^{38 )}．

[𝐹 𝐹_𝐼] = 𝑅⁻¹[𝐵^𝑇 0]Π (4.17) ここで，Πは(4.18)式で示すリッカチ方程式の解である．

Π [𝐴 0

𝐶 0] + [𝐴^𝑇 𝐶^𝑇

0 0 ] Π − Π [𝐵𝑅⁻¹𝐵^𝑇 0

0 0] Π + [0 0

0 𝑄] = 0 (4.18) 本研究では，観測できない状態変数は，(4.19)式に示した全状態オブザーバー を用いて推定することにする．

𝒙^′̇ = (𝐴 − 𝐻𝐶_𝑀)𝒙′ + 𝐻𝒚 + 𝐵𝒖 (4.19) この時，積分動作を加えたオブザーバーベース制御器は(4.20)と(4.21)式のよう に表すことができ，

[𝒙′̇

𝒙̇_𝑰] = [𝐴 − 𝐻𝐶_𝑀− 𝐵𝐹 −𝐵𝐹_𝐼

0 0 ] [𝒙′

𝒙_𝑰] + [𝐻 0 𝐶_𝑆 −𝐼] [𝒚

𝒚_𝑪] (4.20)

𝒖 = −𝐹𝒙′ − 𝐹_𝐼𝒙_𝑰 (4.21)

状態オブザーバーゲイン𝐻は(4.22)式で得られる．

𝐻 = (𝑉𝐶_𝑀Γ)^𝑇 (4.22)

Γは(4.23)式で表すリッカチ方程式の解である ^{38 )}．本研究では，𝑊と𝑉の対角要 素はすべて1としている．

Γ𝐴^𝑇+ 𝐴Γ − Γ𝐶_𝑀^𝑇𝑉⁻¹𝐶_𝑀Γ + 𝑊 = 0 (4.23) 本研究では以下の二つのLQI制御器を設計し，比較する．

LQI制御器 1： 観測出力として(4.6)式を用いる．

LQI制御器 2： 観測出力として(4.7)式を用いる．

Fig. 4.16, Fig. 4.17にL型とS型のLQI制御器1を使用したステップ指令によ るピッチ角制御結果を示す．横軸は時間であり，縦軸については左側にそれぞれ 示している．黒色の実線は𝜃_𝐶 = −25degのステップ指令に対する応答を，灰色の

破線は𝜃_𝐶 = −35 deg のステップ指令に対する応答を示している．シミュレーシ ョン開始時は平衡状態とし，鰭角も平衡状態時のものに設定している．シミュレ ーション開始後10秒で指令を与えている．ほとんどオーバーシュートなくよく 指令に追従していることが分かる．PID 制御器による制御結果（Fig. 4.13，Fig.

4.14）と比較するとL型の制御性能はほとんど同じであるが，縦安定性が無かっ たS型の制御性能はオーバーシュートが格段に減少し制御性能が向上している．

多入力多出力系の制御器であるLQI制御器の優位性が明らかとなった．

Fig. 4.18, Fig. 4.19はL型とS型のLQI制御器2を使用したステップ指令によ るピッチ角制御結果である．黒色の実線は𝜃_𝐶 = −25 deg のステップ指令に対す る応答を，灰色の破線は𝜃_𝐶 = −35 deg のステップ指令に対する応答を示してい る．Fig. 4.16, Fig. 4.17に示す，長頸竜類はほとんどの状態変数の状況を把握しな がら遊泳しているとした制御結果と比較すると，観測できる状態変数が減って もピッチ角制御にはほとんど影響がないことが分かる．

Fig. 4.20～Fig. 4.23では，ヨー角変更ステップ指令を与え場合の，LQI制御器 1とLQI制御器2の制御性能の違いが比較されている．Fig. 4.20，Fig. 4.21はL 型の結果，Fig. 4.22，Fig. 4.23はS型の結果で，黒色の実線がLQI制御器1によ る制御であることを，灰色の破線は LQI 制御器 2 による制御であることを示し ている．シミュレーション開始後10秒で𝜓_𝐶 = 20degと𝜓_𝐶 = 40 degのステップ 指令値を，その後，110秒で𝜓_𝐶 = −20degと𝜓_𝐶 = −40 degのステップ指令値を 与えて針路を元に戻している．どの制御器を使用しても長頸竜類は指令値に追 従しオーバーシュートもほとんど見られない．しかし，LQI制御器2を使用した 場合は LQI 制御器 1を使用した場合に比べて制御性能が若干劣化し，鰭角の動 き（アクチュエータの動き）が振動的になっている．この現象は指令値が大きい 場合に顕著である．やはり，状態を観測するセンサーが限られる水中ビークルの ような機械類よりも，ほとんどの状態を観測している（把握している）と思われ る生物の方が，制御性能が優れていると言える．