第四章

1. 互いに力を及ぼしあっている質点の集まりがある場合、その全運動量P は内 力には依存せず、外力Fextによってのみ決まる（4.4）。

P˙ =Fext

第9章 基礎物理コースのまとめ 72 2. 等速運動している系から見た座標をrとすると元の座標rとの関係は

r =r+V0t

である。これがガリレイ変換である。ニュートン力学はガリレイ変換に対して 不変である。一見解けそうもない問題もうまくガリレイ変換するととけること がある。

3. 重心は

RG =

im_iri

im_i で表される。2粒子の場合、

RG = m₁r1+m₂r2

m₁+m₂ である。

4. ２粒子の運動を考えた場合、その重心は等速直線運動をするのでその座標系か ら見るのはガリレイ変換となる。2粒子の衝突は重心系で見ると驚くほど簡単 になる。

a) (4.32)のように衝突前後で運動方向が平行

b) (4.33)のように各粒子の速さはおなじまま

5. 重心系と実験室系での散乱角は(4.39)のように tanθ= sinθ

cosθ+m₁/m₂ となる。

6. ポテンシャルがV(r) =V(|r|) =V(r)のとき、力はrと平行になる。これを 中心力という。中心力の場合、角運動量L= r ×pが保存する。これはケプ ラーの第2法則、面積速度一定の法則である。

7. 質点が２個だけの場合、あたかも問題が１粒子のポテンシャル中の運動のよう に扱える。この場合、重心は一定の速さで動いいるので、相対座標r =r1−r2

を考えれば良い。今、質点2から1へ働く力をF(r)とすると、

μd²r dt² =F

第9章 基礎物理コースのまとめ 73 となる(4.70)。μは換算質量で

μ^def=

1 m₁ + 1

m₂

₋₁

で与えられる。

8. 中心力の場合、角運動量ベクトルが一定である。これは角運動量の大きさだけ でなく方向も保存するので同一平面で運動していることを意味する。そこで この面をx−y面にとり、この面内の極座標を考える。極座標とは、(x, y) = (rcosθ, rsinθ)としたものである。極座標では角運動量保存則は(4.54)のよう になる。

r²θ˙=h

となる。これよりθの時間依存性が決定される。rの時間依存性は(4.58)のよ うに

md²r dt² − L²

mr³ =Fr

となる。

9. 重力は

F = GM m r²

という逆2乗則で与えられる。万有引力定数Gは6.67×10⁻¹¹N· m²/kg² で ある。

10. 重力や静電気力のように力が距離の２乗に反比例する、つまりポテンシャルが 1/rに比例して、かつ質量や電荷が球対称に分布している場合、中心の一点に 力の源が集中していると見なしてよい。また、考えている場所よりも外側の質 量や電荷は考えなくても良い。

11. 星の軌道は、楕円軌道、放物線軌道、双曲線軌道の3種類がある。楕円軌道は 力学的エネルギーが負の場合、放物線は0の場合、双曲線は正の場合に実現 する。

12. ケプラーの法則は、惑星の軌道は楕円で、面積速度は一定で、公転周期は楕円 の長径の3/2乗に比例するというものである。これらはすべてニュートンの法 則から導き出せる。

第9章 基礎物理コースのまとめ 74