剛体

質点が集まった系というのは実の世の中のほとんどの物を指す。気体も液体も固 体もそうである。このうち、固体のように各質点の相対的な距離が不変な物を剛体 とよぶ。

質点の場合、位置を表すには3N の変数が必要であった。剛体の場合は剛体の一 点P₁がどこにあるかを指定するのに3個、もう一つの点P₂がどの方向を向いてい るのか指定するのに変数が2個、さらにP₁P₂を結ぶ直線の周りに何度回せばよいか を指定するのに１個で、合計たったの６個の変数を指定すればよい。これは大変な 簡単化である。

6.3.1 ^{剛体の運動方程式}

剛体は質点から出来ているがこれらは強固に固定されている。この固定の原因は 質点間の相互作用である。これは作用・反作用の法則を満たすので、

P˙ =F , L˙ =N (6.16)

が成立する。これは６個の方程式なので、先に述べた６個の変数がすべて決まる。

6.3.2 ^{固定軸のまわりの回転}

簡単な場合として軸が固定されている場合を考えよう。この回転軸をz方向にと ると、

L˙_z =N_z (6.17)

となる。

L_z =

i

(ri×m_ir˙i)_z (6.18) なので

rⁱ =rize^z+ri⊥e⊥i (6.19) r˙i =r_i⊥θ˙_ieθi (6.20) より

L_z =ω

i

m_ir_⊥²_i (6.21)

が得られる。そこで慣性モーメント I_z =

i

m_ir_⊥²_i (6.22)

第6章 質点系・剛体 54 とおくと、

L_z =I_zω (6.23)

I_zdω

dt =N_z (6.24)

となる。

回転の運動エネルギーはどうなるか？運動エネルギーは T = 1

2

i

m_ir˙i

となる。(6.20)よりこれは

T = 1 2

i

m_ir_⊥²_iθ˙= 1

2Iω² (6.25)

となる。

このように剛体の場合、通常の質点の場合と以下のような対応関係がある。

質点  剛体 質量 m I_z

速度 v ω

加速度 α ω˙ 運動エネルギー mv²/2 Iω²/2

Problem 6.1 スケート選手が回転中、手を縮めると回転が速くなる。なぜか？

6.3.3 ^{慣性モーメントの性質}

ここで慣性モーメントのいくつかの性質を考えよう。

1.

I =I_G+M d² (6.26)

ここでI_Gは重心を通るある軸の周りの慣性モーメントで、Iはそれと平行に dだけ離れた軸の周りの慣性モーメントである。なぜならばx_i, y_iを重心から 測った座標として

I =

i

m_i[(x_G+x_i)²+ (y_G+y_i)²]

= M(x²_G+y_G²) +

i

2mi(x_Gxi+y_Gyi) +

i

mi(x²_i +y_i²)

= M d²+I_G

第6章 質点系・剛体 55 であるから。

慣性質量が動かしづらさを表していたように、慣性モーメントは回りにくさを 表している。つまり重心を通る軸が一番回しやすいということがわかる。

2. 薄い板の場合

I_z =

i

(x²_i +y_i²)m_i (6.27) Ix =

i

y_i²mi (6.28)

I_y =

i

x²_im_i (6.29)

となるので、

I_z =I_x+I_y (6.30)

である。

Problem 6.2 質量M、長さlの細い一様な棒の中心を通り、これに垂直な軸の回 りの慣性モーメントは？

Problem 6.3 円板の中心を通る軸（２種類ある）のそれぞれのまわりの慣性モー

メントは？

Problem 6.4 球の中心を通る軸の周りの慣性モーメントは？これより地球の慣性

モーメントを求めよ。

Problem 6.5 ２原子分子の運動エネルギーを慣性モーメントを使って表せ。

6.3.4 ^{実体振り子}

剛体の軸を固定して軸を地面に平行にして微小振動をさせる。このとき(6.24)より Id²θ

dt² =−M ghsinθ (6.31)

となる。振れ角が小さいとすると周期は T = 2π

I

M gh (6.32)

となる。I =I_G+M h²なので T = 2π

I_G+M h² M gh = 2π

h g

1 + I_G M h²

(6.33)

第6章 質点系・剛体 56 となる。このように単なる振り子の場合の2π

h/g よりも周期が延びることがわか る。つまり振り子の長さが

h→ I M h =h

1 + I_G M h²

(6.34) と実効的になるわけである。

Problem 6.6 周期が一番短くなるのはどのような場合か？