－高橋喜一郎(2005)，高淵千香子(2012)の先行研究と比較してー
第 １章で拡 張による 統合 を行うこ とで，意味を 拡張した ととらえ ることにつ いて述べ た．
第 ３ 章で は ，そ の 拡張 に よる 統 合を 創 造 的 な学 習 指導 に ふさ わし い 形 で行 う 必 要がある こ と を 述べ ， その 授 業設 計 の重 点 を考 え た ． 以上 の 考察 を 基に ，本 実 践 にお け る 乗法の意 味 の 拡 張を 整 理す る と， 図 ３－ 13に な る． 本 節で は ， ここ に 示 した 本 実践 に おけ る乗法の 意 味 の 拡張 に つい て の特 徴 を明 ら かに す る た めに ， 乗法 の 意味 の拡 張 を 取り 扱 っ た二つの 先 行研 究と比較 を行う．
こ の授 業 設計 と 先行 研 究の 実 践を 比 較 し てみ る ．ま ず は， 高橋 喜 一 郎（ 2005）の実践 と の比 較である ．
高 橋 喜一 郎 （2005） は， 小 数の か け算 の 学習 に お いて 問 題 文を つ くっ た り立 式の根拠 を 書 い たり す る「 小 数の か け算 問 題辞 典 」 を 作る 活 動を 取 り入 れて い る ．意 味 の 拡張とし て 用い ていると 考えられ る再 体系化に 関して ，次 の記 述が ある．枠 内に引用す る．
「 (1)小 数のかけ 算の 問題辞典 を作ろ う
「こ れ から や っ てい く 小 数の か け算 の学 習 で は， 問 題 文を つ くっ た り， 立 式 の 根 拠を 書 い たり す る 『小 数 のか け算 辞 典 』を つ く って 学 習し て いき ま せ んか ？」と投 げか けると， 子ども たち はつ くっ てみたい 」と答えた ．
話 し 合 い に よ り ，「 小 数 × 整 数 」「 整 数 × 小 数 」「 小 数 × 整 数* 1」 の 順 番 に学 習を進め て行 くことに なった 」」（高橋 喜一 郎,2005,p.75）
《意味を拡張した》
「５．評
価 解決の確
認 と その 真価の
感 得、
残された問題への発展の思考」
「 ２
． 仮 想 的 な 対 象 の 設 定 と そ の 実 在 化 の た め の 手 法
問題場面から，小数でもかけ算に書きたいという心情で課題を捉え る．まずは，既習をいかして代金を求める．0.1ｍ８円と求めること ができるのは，比例の関係があるためだと確認し，比例の関係の存在 を意識付けさせる．
80×2.3＝184という仮想的な対象を設定し，その実在化の手法を行 う．ここでの実在化の手法は，これまでの整数の乗法のもっている性 質に当てはめてみることで行わせる．具体的には，「交換法則」と，「か ける数をn倍にすると，積はn倍という整数のかけ算のきまり」と，「乗 法と除法の関係」である．その活動から，小数をかけ算の仲間に入れ ても不都合が起きないことが確認されたので，小数を仲間に入れて，
×小数と書くことにする．
数直線から，それまでの整数の乗法と小数の乗法の共通点（「構造」）
を見出させる．そして，それまでの「同数累加」という意味を含んだ，
新しい意味「もとにする数を１とみたときに，その何にあたるを求め る計算」を規定する．
「 １ ． 課 題 を ， 簡 潔 ， 明 確， 統 合 な ど の観 点 を ふ まえ て 把 握 すること」
「３．数学的なアイデアの存在とその実在化」
「４．構造の認識と保存」
拡 張 に よ る 統 合
図３－13 本実践における拡張による統合を行う乗法の意味の拡張
「 (2)あ れ？ 整 数 ×小 数 の 説明 が でき ない ぞ ． どう 説 明 した ら いい ん だろ う 」
（ 内容は，略） （ 高橋喜 一郎,2005,p.75）
「 (3)数 直線モデ ルを 使うと説 明でき たよ 」（高橋喜一 郎,2005,p.76）
（ 高橋喜 一郎,2005,p.77）
「 (4)整 数のかけ 算も 同じよう に説明 でき るん だ
由 紀 恵 さ ん は ， 自 分 の 作 っ た 問 題 に つ い て も ， 数 直 線 モ デ ル を 使 い ， 乗 法 の 立 式 の 根 拠 を 説 明 す る こ と が で き る よ う に な っ た ． そ し て ， 最 初 に 作 っ た 「 小 数× 整 数 」の 問 題「 高さ が 7.2ｍ の 箱が あ り ます ． その 箱 で， お も ち ゃ を 作 り た い の で ． そ の 箱 を ３ つ 重 ね る と 全 部 で 何 cmで し ょ う か ．」 に つ い て も 数 直 線 モ デ ル を か き ， 同 じ よ う に ，「 も と に な る 7.2cmの ３ 倍 」 の 考 え で 説 明 す る こ と が で き た 」 乗 法 の 立 式 の 根 拠 を ， 乗 数 が 整 数 で あ る 乗 法 の 根 拠 と か か わ ら せ て 見 直 し ， 乗 法 を 基 準 の □ 倍 （ 膨 ら ん だ り 伸 び た り す る イ メ ー ジ ） と 再 体 系 化 し た 由 紀 恵 さ ん で あ る 」（ 高 橋 喜 一 郎 ,2005,p.7 7）
高 橋 喜 一 郎 （ 2005） の 先 行 研 究 で は ，「 40× 2.3」 と い う 式 に つ い て ， 数 直 線 上 で 比 例 の 関 係を 読 み取 ら せ， そ れを 説 明さ せ る こ とで ， 意味 を 拡張 をし た と 捉え て い ることが 読 み 取 れ る （ 高 橋 喜 一 郎 ,2005）． こ れ は ， 本 実 践 の 授 業 設 計 で 取 り 上 げ て い る ， 中 島 健 三 の拡 張による 統合と同 様の ものと考 えられ る． しか し， 次の違い を見ること ができる ．
そ れ は ，「 創 造 の 論 理 」 の 「 ２ ． 仮 想 的 な 対 象 の 設 定 と そ の 実 在 化 」 が 行 わ れ て い る か どう かという ことであ る．高橋喜一 郎の先 行研 究では，演 算決定の 根拠を説 明させる際 に，
「 整 数 × 小 数 」 と い う 乗 法 を 書 け る こ と が 前 提 と な っ て い る ． そ の た め ，「 整 数 × 小 数 と い う 式 を 仮 に 考 え て み よ う 」 と い う 児 童 の 反 応 は 実 践 の 中 に 見 ら れ な い ． つ ま り ，「 ２ 」 が 行 われ て いな い とい う こと で ある ． 記 述 に鑑 み ると 「 整数 ×小 数 」 をど の よ うに説明 さ せる かという ことに重 点を おいてい ると見 られ る．
ま た ，「 整 数 × 小 数 」 の 説 明 を し た 後 に は ，「 (4)整 数 の か け 算 も 同 じ よ う に 説 明 で き る ん だ 」（ 高 橋 喜 一 郎 ,2005,p.77） の 部 分 に ， × 整 数 も 同 じ よ う に 倍 の 考 え 説 明 さ せ た と い
う 記 述 が あ る が ， こ こ に ， 新 た な 「 基 準 の □ 倍 （ 膨 ら ん だ り 伸 び た り す る イ メ ー ジ 」（ 高 橋 喜 一郎 ,2005,p.77） とい う 意味 に ，そ れ まで の 同 数累 加 が 含ま れて いるとい う確認を し て い る 記 述 は 見 ら れ な い ． 本 研 究 で は ，「 創 造 の 論 理 」 の 「 ４ ．「 構 造 」 の 認 識 と 保 存 」 も 重 点を お いて 取 り扱 う よう 授 業を 設 計 す る． そ こで ， 新し く規 定 し た意 味 が それまで の 同 数 累加 の 意味 を 含む こ とを 確 認す る こ と で， 比 例の 関 係と いう 「 構 造」 を 保 存するこ と を目 指してい る．高橋 喜一郎の 先行研究 には，「構造」の保存 に関する 記述は見ら れない．
こ の二点が ，本研究 と高 橋喜一郎 （2005）の 先行 研究 との大き な違いであ る．
次 に， 高 淵千 香 子（ 2012） の 先行 研 究 と の 違 い を 見 て い く ． 高 淵 千 香 子 と 本 研 究 の 授 業 設 計 との 違 いの 一 つは ， 拡張 し たと 考 え る タイ ミ ング ， つま り， ど の よう な 活 動をもっ て 意 味 を拡 張 する と して い るか の 捉え に つ い てで あ る． 本 研究 では 図 ３ －13のよ うに，実 在 化 の ため の 手法 を 行い ， さら に それ に 基 づ いて ， それ ま での 「同 数 累 加」 と い う意味を 含 んだ 新しい意 味を規定 する ことで，意味を 拡張した とと らえてい る．一方，高淵千香 子は，
こと ばの式に あてはめ て80×2.3とい う式 を出すこ とで，意味 を拡 張し たとして いる．
高 淵 千 香 子 は ， 小 数 の 乗 法 の 意 味 の 拡 張 に つ い て ，「 乗 法 の 意 味 を 同 数 累 加 か ら 割 合 の 考 え に拡 張 させ る こと は 児童 に とっ て 困 難 であ っ ても 算 数科 にお い て 重要 な 学 習である 」
（ 高 淵 千 香 子 ,2012,p.140） と 述 べ ， 具 体 的 な 実 践 に お い て 次 の ３ つ の 活 動 を 取 り 入 れ て いる ．
「（活動１ ）児童に 既習 の同数累 加では 意味づけ でき ないこと を意識さ せる活動
（活動２ ）その上 に立 って小数 の乗法 の意 味を 割合 の考えで 構成する活 動
（ 活 動 ３ ） 整 数 ， 小 数 の 乗 法 の 意 味 を 比 較 し 統 合 的 に ま と め て い く 活 動 」
（以 上，高淵千 香子,2012,p.143）
こ れ ら の 活 動 の 中 で ，（ 活 動 １ ） は 「 創 造 の 論 理 」 の 「 １ 」，（ 活 動 ２ ） と （ 活 動 ３ ） は 「 創造 の 論理 」 の 「４ 」 に 関連 の ある 活動 で あ ると い え る． し かし ， 先述 の ように 意 味 の 拡張 の 捉え に つ いて は ， 相違 が 見ら れる ． 意 味の 拡 張 につ い ての 記 述を ， 枠内に 引 用 する．
問 １ｍ のねだん が80円のリボ ンがあ りま す．
①３ ｍではい くら でしょう ． ② 2.3mでは いく らでしょ う．
①に つい ては， 動的な操 作を取り 入れ 80の３つ 分を確認し た．
T： ②番 の式は ．
なら 80×2.3にな ると 思 いま す ．つ ま り ，３ ｍ が かけ る 数だ か ら， 2.3も …３ ｍが2.3に成 ったよう な感じで ，数 字がかわ っただけだ から ．
T： つ ま り ， 整 数 が 小 数 に な っ た だ け だ か ら ． と て も よ い 考 え 方 で す ． で は こ れが5.2ｍな ら？
C３ ：80×5.2にな ると 思います ．
T： お そ ら く こ う か な と い う 考 え で す ね ・ １ ｍ の ね だ ん × り ぼ ん の 長 さ だ ね ． 整数で いけたか ら小 数でもい けるだ ろう です ね． いい考え ですよ．
C２の児童 の考え方 を認 め，②の 式につ いて 言葉 の式 での拡張 を行った.
（以上 高淵千香 子,2012,p.143 下線は 引用 者による ）
この 活 動 の後 ，先 述 の（ 活 動１ ） か ら （活 動 ３） を 行っ て いる ． 記述 を 基 にま とめ る と ，次の学 習の流れ にな る．
・ １ｍ 80円 の リボ ン を 2.3ｍ買 う 場 面 の② の 式に つ いて ，こ と ば の式 で の 拡張 を行う ．
↓
・ 同数 累加で は処理で きないこ とを 意識付け る（活動１ ）
↓
・ 小数 の乗法 の意味を 割合の考 えで 構成する （活動２）
↓
・ 整数 ，小数 の乗法の 意味を比 較し 統合的に まとめてい く（ 活動 ３）
以上 の 記 述か ら， 高 淵千 香 子は ， こ と ばの 式 にあ て はめ て おそ ら くこ う だ ろう とい う 式 を たて る こと で ， 意味 の 拡 張を し たと 捉え て い るこ と が 示唆 さ れる ． この 学 習の流 れ に お いて は ，高 橋 喜 一郎 （ 2005） 同様 ， 本実 践 で の「 創 造 の論 理 」の 「 ２」 にあたる 部 分 も記述に 見られな い．
ま た ， 創 造 の 論 理 の 「 ４ 」 と 関 連 を も つ と 見 ら れ る （ 活 動 ３ ） で は ，「 整 数 ， 小 数 の 乗 法 の意 味 を比 較 し 統合 的 に まと め てい く」 と し てお り ， ここ で の活 動 の様 子 として 示 さ れている のは，次 のも のである ．
（ 活動 ３）整 数と小数 の乗法の 意味 の比較
T： 整 数 のと きは ， １個 ず つき れ た よ ね． だ から ， それ を たし 算 で４ 個 も ５個 もで き た ． で も ， 小 数 を 習 っ た よ ね ． 小 数 を 習 っ た ら ， こ れ だ け し か （ 数 直 線 で 分 離 量 を 示 す ） か け 算 が で き な か っ た ら 小 数 の か け 算 は で き な い っ て こ と に な る で し ょ ．