4耐3
第3節 教育的アナロジーを利用した具体的指導の提案
1．代数和の理解
第1学年で学習する，正負の数の加法・減法において生徒が混乱を起こしやすいと 思われる学習内容の一つに，代数和の計算がある。
例えば，一3＋7，一10−4，といった計算は，
一3＋7＝（一3）十（十7）＝4 −10−4＝（一！0）十（一4）＝一14
といったように，二数の和を表している。ところが，それぞれ，一10，一6と答える 誤りが多く見られる。これは，小学校から馴染みのある3＋7，王O−4が目に留まるこ
とで，
一3＋7＝一（3＋7）
一！0−4＝一（10−4）
といった誤った解釈をしているためであると思われる。
また，代数和の理解によって，三つ以上の数の代数和の計算において，例えば，次 のような工夫が可能になる。
一13＋2−6＋18＝（一13）十（十2）十（一6）十（十18）
＝（十18）十（十2）十（一6）十（一13）
＝｛（十18）十（十2）｝十｛（一6）十（一13）｝
＝（十20）十（一19）
＝20−19 ＝1
このように，交換法則や結合法則を用いて，計算の工夫ができるという，代数和の 良さにも生徒に気付かせることも大切であると考える。
そこで，トランプカードをソース，代数和をターゲットとして，教育的アナロジー を利用した学習指導を考えた。これは，第1節で挙げた二つのアナロジー利用のタイ プとしては「理解のためのアナロジー利用」に該当する。
トランプカードは，スペード・クラブの黒とハート・ダイヤの赤があり，黒を正，
赤を負として，例えばハートの4は「一4」，スペードの7は「十7」とみることがで きる。そして，この二枚のカードの合計は「十3」と考えることは，比較的理解しや すいように思われる。一4＋7という表示を二枚のカードの合言十と対比させることで，
代数和の理解につながると考えられる。
授業の流れ
導
入
開
学習活動 トランプゲームを行う。
＜トランプゲームのルール＞
トランプカードの得点を，次のように決める。
クローバー，スペード（黒色）→正の数の得点 ダイヤ，ハート（赤色）→負の数の得点 例えば，
□、．、点團⇒十、点
・隣同士で二人ずつのペアをつくり，ゲームをする。
・52枚のカードからそれぞれが2枚すっ引き2枚の 合計得点を二人で勝負する。
く1＞ クラス全員の中で，2枚のカードの合計得点 が最大・最小だった人とその得点及びカード を全員で確認する。
く2＞ クラス全員の中で，2枚のカードの合豆ヒ鉱
幽曇∠Lだった人とその得点及びカ
ードを全員で確認する。
＜3＞ 同様にして，3枚を引いてく1〉，〈2＞を行う。
①カードの合計得点を考える過程を式で表す。
（1）
團
（／）
菇ﾚ
（ウ）
国
⇒ （ 2）十（十5） ＝十3
＝≒ （・2）十（・7） ＝ ・9
團圃⇒帖）舳）＝イ
（一）
ﾚロー㈹）1㈹）一・
指導上の留意点
掲示用の大きなカー
ドで示す。
ジョーカーは除いて
考える。
楽しみながら，行わ せ，二つの数の和を求 めようとする意欲を高
める。
自分たち以外のカー ドについても得点を計 算させる。
得点が0になる場合
も考えさせる。
時間があれば4枚の
場合も行う。
（ア）を全体で行い，残
りは生徒にワークシー トを配布して記入させ
る。
カードの横に既習の 十（）を用いた式を示 して答え（合計得点）を
書く。
掲示用の大きなトラ ンプカードで赤黒の色 を付けたものを用意し て掲示する。（視覚的に 分かりやすいソース）
開
学 活動
（オ）
図團團
＝÷（・3）十（・8）十（一5）＝0
（1）
}團圃團
⇒ （ 3）十（十6）十（ 13）十（十8）＝．2
②代数和の式表現
記号「十」と「（）」を省いた式で表す。
（ア）
口国一舳二胡
岬
王
＝弄 一2 ＋5 ＝十3
（イ）（ウ）（工）についても同様に代数和の式で表す。
③加法と減法の混じった計算を考える。
（カ）
□回1＝1□⇒練；1㌃8
（並びかえて考える）
＝一
P0＋8
＝一Q
□□日1］⇒二〃・
＝一2
（注）
一3＋6−13＋8
＝（・3）十（十6）十（・13）十（十8） ≡
＝（一3）十（・13）十（斗6）十（十8）
＝｛（．3）十（一13）｝十｛（十6）十（十8）｝
＝・16＋14
： ・2
指導上の留意点 3枚，4枚の場合も同 様に行う。
カードを置く順番に 関係なく同じ得点にな
ることにも気付かせ
る。
黒板上及びワークシ ートにおいて，①の右
側に並列に書いてい
く。（ターゲットの指導 中にソースが見えるこ と）（ソースとターゲッ トの視覚的な配置の工
夫）
丸で囲むことで代数 和の見方を理解しやす
くする。
代数和の表示の丸で 囲んだ数と一致するト ランプカードを指し示 す。（比較のための教師 のジェスチャー）
交換法則，結合法則 といった計算法則を用 いることにより，工夫 した計算が行えること にも触れる。また，そ
の仕組みが，（注）のよう
に表現されることを確 認させる。
展
ま
と
め
学習活動
⑤代数和で表された計算問題を解く。
〈1〉一3−8 〈2〉5−10 〈3〉 2−8＋10 〈4〉一3＋6−17＋4 ＜5〉 一25＋17＋23−15
代数和の計算問題を解く（25間）。
〈1〉一4＋6
〈2〉一7＋2
＜3〉5−10 く4〉2−8 く5〉一3−7
〈6〉 一2−15
〈7〉 19−35
〈8〉 一28＋28
〈9〉 一15＋24
〈10〉 一29−16
〈11〉 一6＋8−4
〈12〉 一5−17−2
〈13〉 15−28−6
〈14〉 2−8＋10−4
〈15〉 一3＋6−7＋4
〈16〉 5−7−6−8
〈！7〉 一12−7＋3−2 ．
〈18〉 3−18＋12−9
〈19〉 一5＋14＋6−10
〈20〉 10−24−13＋26
〈21）一3．3＋2．6
〈22〉 一2．8＋2．3−1．7＋1．2
1 1
〈23〉一一一 5 2 2 1 3
〈24〉 一一 十一一一
5 3 10 5 3 2
〈25〉 一一寺1一一十一
6 4 3
指導上の留意点 全体で行い，代数和 の理解の定着を図る。
黒板の対比と共に，
丸で囲む数を意識させ
る。
〈3〉〜〈5〉について は工夫した解法も考え
させる。
プリントを準備して おき，各自で解かせた 後，答え合わせをする。
机間指導を行い，必
要に応じて助言をす
る。
小数や分数の場合も 考えさせる。
時間内に解けなかっ た問題は課題とする。
2．標準的な平均（相加平均）と調和平均
前節第2項の（2）で挙げた平均の問題について，1時間の授業としての指導を提 案する。ソースとなる「標準的な平均（相加平均）」を求める解法は，提示した問題に おいては誤った解法となる。このことを，生徒自身に考えさせて，例えば，既習事項 の距離・速さ・時間の関係式を利用して具体的数字を代入して確かめて，誤りである 理由を説明させるなど，数学的活動を取り入れた展開を考えた。
授業の流れ
導
入
展
学習活動 標準的な平均の問題を考える。
問題
自転車レースの練習で400m走を2回行い，タイ ムを計った。1回目は47．5秒，2回目は45．1秒で あった。A君の2回の平均タイムを求めよ。
（47．5＋45．1） ÷2 ＝ 46．3
盟
①誤りを起こしやすい平均の問題を考える。
問題
自転車でA地点からB地点を往復するのに，行き
は時速40km，帰りは時速10kmで走った。平均
往復の平均時速は何kmか。Aミ数時速40km
。誤った解法。 帰り時速い
（40＋10）÷2＝25
平均 時速25㎞
どこが間違っているかを考える。
例えば，A，B間の距離が40kmとすると
指導上の留意点 単純に二つの数を加
えて，2で割るといった 標準的な平均の問題を
扱う。
あまり考える時間を とらずに発表させて答
え合わせを行う。
図を提示して題意を 理解しやすくする。
加えて2で割るといっ た相加平均を求める解 法を提示する。（視覚的 に分かりやすいソース）
気付いたことを発表
させる。
具体的な距離で考え て上記の解法が誤りで あることを確認する。
展
学習活動
＜正しい解法＞
A地点からB地点の距離をαkmとする。
A αkm
B Aαkm
時速40km
2αkm
時速10km
全体でかかった時間 （一L＋一L）時間
40 1．O
全体の平均時速ご（全体σ）距離）÷（全体でかかった時間）
＝2α÷（」」十」二）
40 ユ0
5a
＝2α÷一 40
a ＝2α ÷一8
＝16 平均 時速16㎞
②速さに関する文脈の問題で標準的な平均の問題を
解く。
練習間題
自転車でP地点からQ地点を通ってR地点へ行 くのにPからQは時速40km，QからRは時速 10kmで走った。PからQ，QからRにかかった
時間が全く同じであるとき，全体の平均時速は何 kmか。
＜解法＞
PからQ，QからRにかかった時間をα時間とする
P
α時間
Q R
α時間時速40km
日、
時速10km
全体の距離 （40α斗10α）krn
指導上の留意点 距離・速さ・時間の関 係については苦手とす る生徒が多いことが予 想されるため，丁寧に全 体で確認をしながら線 分図を完成させていく。
誤った解法は黒板上 に残したままにして，土 しい解法を書いていく。
（ターゲットの指導中1こ ソースが見えること）
問題文が書かれたワ ークシートを配布し，し ばらく時間をとって考
えさせる。
①を解いた時と同じ ような線分図を利用し
て考えさせる。
解けた生徒に発表さ せ，解法の構造が①の誤 った解法と同じである
ことに気付かせる。
線分図・解法が黒板上 で①と同じ配列になる ようにする。（ソースと ターゲットの視覚的な
配置の工夫）
ま
と
め
学習活動
全体の平均時速＝（全体の距離）÷（全体でかかった時間）
＝（40α十10α）÷2α ＝（40＋10）÷2
＝50÷2 ＝25
（答）時速25km
練習問題を解く。
問題
自転車でP地点からQ地点を往復するのに，
行きは時速30km，帰りは時速10kmで走った。
全体の平均時速は何kmか。
指導上の留意点 二つの線分図と解法 の違いを指で指し示し ながら比較をする。（比 較のための教師のジェ
スチャー）
調和平均の問題を行
う。
解けた生徒に解法を 板書させて二つの解法 の対比を利用しながら
説明させる。