aS
古‑wTw‑Z‑(告･p･)Z.‑o 壁‑T‑T･f‑TLI,‑‑0
年J
(6)
(7)
(8)
(9)
式(5)〜(9)を解けば,最適消費量値Z', Z'8,TL及び未定
乗数の解入暮,〆が求まる.得られた最適値をラグランジ アンSに代入すると,効用は式(10)のように間接効用関数
Vとして表される.
S = v(p,,p"T,, W,T"T)
‑u(Z',Z:,,IM(wT‑‑ Z･ ‑P･書‑psz,･,
･p (T‑T･f‑TJ･‑T‑)
●(1α
ここで,時間価値を定義する.時間価値は交通所要時 間T tの微小変化に対して効用が無差別になる交通料金 Ptの変化と考えられる.言い換えると,所要時間の変化 に対する支払い意志額である.間接効用Vを一定として 式(10)を全微分すると,包緯線定理を援用して式(ll)の ように時間価値Cは示される〟.すなわち,時間価値は 所得制約と時間制約の未定乗数の比〟γ人●で表される.
棚諾,,pp.･,,TT,1,,wW,･TT:,,完(lO 式(ll)より,時間価値Cは価格(Pt ,PS)や交通所要時 間Tl,賃金率Y,労蝕時間T"利用可弛時間Tによって 変化する関数であることがわかる.過去の理論研究SI･ 6)に おいても同様の結果が指摘されている.
4.3 時間価値の理論的比較静学分析
4.3.1時間価値の比寂静学分析 (1 )比較静学分析の方法
本節においては,経済環境(価格,所要時間,所得等) の変化に対して時間価値がどのように変化するかを分析 する.すなわち,時間価値の上場瀞学分析を行う.具体 的には,式(5)〜(9)すべてを満足する時間価値JL'/人●が
どのように変化するかを数学的に計算すればよい.この ような分析のために,通常用いられる方法はラグランジ アンの｣曙条件式(5)〜(9)に陰関数定理を適用して,逮 立方程式休系として表現した微小変化をクラメールの公 式で解くという方法である取はM.しかしながら,この 方法を用いると余因子の項が存在することになり,余因
ヽヽ
子の中の情報を用いるためには余因子展開する必要があ り,煩雑になる.そこで,本研究では, ｣喝条件式(5)〜
(9)を2つに分けて3段階で5つの内生変数Z,ち, Tl,A,
〟の変化を求める方法を用いる.なあ式(5)〜(9)にお いてPt PBは独立に存在せず,ひJL + p,)の形式でのみ 存在している.したがって,計算と紙面の節約のために
Pt ,PSをまとめて一つの変数(A/L + p.)で扱うことが可 能である.そこで,式(1分に示すように一つの変数gと定 義して以降の分析を行う.
<定義1 :交通料金と購入に交通の伴う財の価格統合>
g =p,/L + p, (1分
とこで3段階で分析する方法を説明する.まず1段階
目として,式(5)〜(7)の3式について内生変数をZ, Zh n
の3変数として解を求める.したがって,ここでの内生 変数Z, ZB,nは他の変数の関数として表される.具休的に
は, Z(A,FL,g,Tt), ZB(A,FL,g,Tt), n(A,LL, g,Tt)が
袴られる.
次に2段階目として式(8), (9)に1段階目のZ, ZB, Tl の関数を代入して,内生変数を人, 〟として解を求める.
この段階で得られる人, FLは,すべての一階条件式(5)〜
(9)を満足する解であるため,最適解である.最適解を途 中の解と区別するためにアスタリスクを付けて入●,〟●と 表す･ここで,人書,〆を明示的に関数として示すと,人●(g,
Tt, W, Tv,T), iL'(ど,Tt, W, Tv,T)となる.
3段階目においては, 1親日の関数Z(A,FL,g,Tt), ZB(A,JL,g,Tt), n(A,JL,g,Tt)の人, JLに2段階目で得
られた開数人●(g,Tt, W, Tv,T), FL'(g,TちW, Tv,T)を代 入してZ, Zh Tlの最適解Z'(g,Tt, W, Ty,T), ZB'(g,Tt, W, Ty,T) ,Tl'(g,TちW, Tv,T)を得る.ここで,すべての最適
解が求まったことになる.本研究では1段階目から3段 階目までの関数を適宜利用して,時間価値〟●/人●の変化 を考察する.上記の説明を義一1に簡略的に示した.
義一1 3段階解法の手脹
段階 ﾉ ｨｭi +x.俾 内生変数 k饅 B
1段階 俾窿R陳ッ陳ビ Z,ZB.,Tl ﾈx ﾆrﾂ 耳 7B
2段階 俾窿ｒﾂヲ 人●,〟● 睦ﾅGBﾅrﾂ G椎B
3段階 &丶ｹmｨ,Y; x.ｨ+ﾒ Z.,Z6㌧n● 睦ﾅGBﾅrﾂ Z,ZB,nの関数およ び2段階目で得られ た人●,〟●の関数 儺y,T
汰:アスタリスク+Iま式(5) 〜 (9)の解すなわち最適解を示す.
(2)内生変数Z,ZB.nの関数(1段階目)
ここでは,式(5)〜 (7)の3式から消費量Z,左Tlが内
生変数人および〟および外生変数g,Ttの変化によって 均衡点からどのように変化するかを調べる.
式(5)〜(7)までを人で全微分したものを行列表示する と,式(13)のように示される.
∂2〟 ∂2 〟
∂Z2 ∂Z ∂Z.
∂2〟 ∂2〟
∂Z. ∂z aZ;
∂2〟 ∂2〟
乳〆打″
∂Tl∂Z ∂T,∂Z, ∂TI2
些飢塾別型飢
1 g 0
ニ
ここで簡単化のために,効用uはul(め, u2(a), u3CID
の単純和で示されるとする.この仮定により,効用関数 の交差偏微分はすべて0になる.このことは式(14)のよう に示される.
82 u a2 u a2u
∂Z ∂Z.'az.∂TL 'aZ ∂T,
= o (14)
その結果,式(13)の左辺最初の行列の交差偏微分の成 分はすべて0になり,対角成分のみが残る.
この仮定は,序数的効用概念にたつ場合,それほど限 定的なものではない.すなわち,効用関数の単調劾射ま 財の限界代替率を変化させないことから,実際上は単純 和で示される効用を単調変換して表現可能な効用関数を 仮定しているにすぎない.本研究では時間価値〆/入lの 検証が目的であり,これは時間に対する貨幣の限界代替 率のため,効用関数の単調馳こよって変化しないB).
ただし,限界効用自体は変化する.単純和で示される効 用関数を単調変換したものは加髄i分離形(または強分舵 形)を示す効用関数と言われる.対数線形型,コブダグ ラス型, CES型などl劫[髄扮感形関数に含まれる.なあ 加法分離形効用関数の仮定は,ある2財の限界代替率が 他の財の消費量に影響を受けないことを仮定しているこ
とと等しい.本研究においてこの関係は,例えば
∂(富′g)/∂Tl ‑0のように表記できる･
ここではさらに,効用関数の変数に関して単調増加, 2回連続微分可能とし,限界効用逓減を仮定する.この 仮定についても効用関数を単調変換させることが可能の ため,限界代替率逓減を仮定しているに過ぎない.
計算上の効用関数に関する仮定は式(15)のように示さ れる.時間価値FLl/A+を分析する隙に想定される無上 の仮定についても仮定1'として式(16)に示す.すなわち, 以降の計算は式(15)に基づいて行われる.しかし,計算 後に得られる時間価値〟ソ人●の考察の上では,式(15)よ
り緩い式(16)が仮定されているに過ぎないといえる.
<仮定1 :効用関数に関する計算上の便定>
u(Z ,Z"TL)=ul(Z )+u2(〜.)+u,0.I)
91919‑A,o豊彦S<o
aZ '∂Z/∂T,
<仮定l ':効用開軌こ関する実際上の候定>
u(Z ,Z.,TL)=F(ul(Z ) +u,(Z.) + u,ql))
但し. F(･)は単調変換を示す.
旦竺旦竺旦里,o
aZ '∂Z.'∂T,
孟(普/Z,意(冨/諾, , 志賀/富, < o
(15)
(16)
仮定1のもとで,式(13)を解くと式(17)が得られる.
里朗塾別姓朗
♂〟 ∂2〟 ∂2〟
∂2〟 ∂2〟
∂Z.2 aT12
82lL a2lL
面前g
O
(17)
ここで髄1の限界舶逓減豊彦砦<oよ
り,式(18)が導かれる.
芸<0,普<0,普‑o (18,
同様に,時間の限界効用〟による変化は,式(19)のよ うに示され,仮定1の限界効用逓減より式(20)が導かれ る.
望み包み塾軸
82u 82lL a2u
0
82u a2u T, az2 aTl2 L a2u a2u aZ2 8Z,2
壁‑0,苦く0,苦く0
句J
(19)
也o) 外生変数g ,Ttに関しても同様の手続きを行うと,式 C21)〜伽が得られる.
空包塾毎塾毎
壁‑0,苦く0,苦‑o
毎
旦れ昼飯旦れ
匪EE
C23)
芝‑0,苦く0,慧‑o 伽
式(18), CaQ), C29, C24)より,財および時間の需要関 数はそれぞれZ (i) , Z,(i,FL,g,I,) , T,(p)と表され る･また,各説明変数変化による需要Z, Zs, Tlの変化 の符号についても式(18), (如, C29, C24)から示される.
(3) 内生変数^'.JJ'の関数(2段階目)
1段階目で得られたZ, ZiTiの関数Z(i),
Z,(i,JL,g,T,) , T, (FL)を式(8),式(9)それぞれに代入す ると,式C25), C26)が得られる.
wTvI Z(A)‑ g ･Z.(i,FL,g,I,)‑ 0 (25)
･‑T･撃‑TI(p)‑Tw = 0 也6)
式(25), (26)によって人および〟が決定される.そこ で,まず人と〟の関係を式(25), (26)それぞれから導く.
所得制約式(25)に陰関数定理を適用して,式(27)が導か れる･これは,式(25)が成立するための人とFLの関係を 示している･式(18), (20)を用いると式(27)の符号は負 に定まる.
霊‑C･‑q(<0,也7,
同様に,時間制的式(26)から式(28)が導かれ,式(18), (20)を用いると符号は負に定まる.これま,式(26)が成 立するための人と〟の関係を示している.
∂Z.T,
ap al L
al仙･ ‑(譜･苦,
(< 0) C28)所得制約式と時間制約式それぞれを満たす〟に対する 人の勾配を示す式Cz7)と式(28)の絶対値を式CZg)で計算す る.符号は式(18), (20)を用いると符号は正に定まる.
式也9)から所得制約式の勾配の方が傾きは大きい.
富加｣増加C.
芸(慧‡･苦,･慧苦g,̲ A/也9'
(> 0)
g箸(‡苦･苦)
式C27)〜CZg)の関係を用いて,所得制約式および時間 制的式による人と〟の関係を図‑ 1に示す. 2つの制約式 の交点で最適値入●とFLlが決定される.この時,時間価値
E (=〆!.^')は原点から交点への傾きで示される.
入 園‑1 AとLLの関係(時間価値JL'/^'の図形表現)
(4) 比較静学分析
図1 1を用いて,経済脚財ヒしたときの時間緬値の 変化を調べる.
く賃金率,利用可能時間.労働時間の場合〉
賃金率,利用可組時間,労蝕時間の変化は式(27), (28) に影響を与えない.したがって,式(25), (26)のシフト のみで時間価値変化を調べることができる.
1)賃金率Yの増加
賃金率Yの上昇に対する人の反応をみるために,式 (25)に陰関数定理を適用して,式(30)が得られる.この 式の符号は,式(18)を用いて負に定まる.これは,図‑ 1 の所得制約式の左方へのシフトを意味している.したが って, 2つの制約式の交点が図‑ 2の1)のケースの点に移 動する.その結果,原点からの交点への傾きで示される 時間価値e (=〝●/人l)は増加する.
aa2 ‑‑:雷有̀̀ o' ̀30'
2)利用可能時間Tの増加
利用可細時間Tの上昇に対する人の反応をみるために 式(26)に陰関数定理を通用する.その結果,式(31)が得 られる.符号は,式(18)を用いて負に定まる.これは, 図一1の時間制的式の左方へのシフトを意味している.し たがって, 2つの制約式の交点ま図‑ 2の2)のケースの点 に移動する.その結果,原点から交点への傾きで示され る時間価値e (=JL'/A.)は減少する.
al I
∂T〟仰̲.. ∂Z.T,
∂A L
(< 0) (3 1)
3)労働時間七の増加
労働時間T,の増加に対する人の反応をみるために,式 (25), (26)に陰関数定理を適岡する.その結果,式(32), (33)が得られる.符号は,式(18)を用いて決定される.
これらはそれぞれ図‑ 1の所得制約式の左方へのシフト, さらに時間制的式の右方へのシフトを意味している.し たがって, 2つの制約式の交点は図‑ 2の3)のケースの点 に移動する.その結果,原点から交点への傾きで示され る時間価値e (=〟./人l)は増加する.
∂l a
∂T‑e･芸･慧g
aA ‑l
∂Td,伽…. ∂Z.T,
aA L (> 0)
(< o) (32)
(3 3)
人 図‑2 時間価値E (=LL'/^')の変化
く交通料金.交通所要時間.財の価格による変化〉
交通料金,交通所要時間,購入に交通の伴う財の価格 による変化iHC21), (28)を直接変化させるため,上記の ような単純な議論はできない.そこで,式CzS), C26)の連 立方程式に陰関数定哩を通用して人暮, FLlそれぞれの影響 をみる.
4)交通料金Ptおよび交通の伴う財の価格Psによる変化 交通料金Plおよび購入に交通の伴う財の価格Psを本論 文では(A/L+p.)としてまとめて,一つの変数gとし ている.そこで,式C25),朗に陰関数定理を通用して導
かれるgの変化による人lおよびJLlの変化は式(34), (35) のように示される.偏微分で示される変数の符号は式(18), Qo), C29,也心から得られる.価格あるいは量の変数に ついては正である.したがって,式(94)よりJLlの変化の 符号は負に定まる.しかし,人lの変化の符号は定まらな い.すなわち,人lについては普遍的な符酬ま導けず, 選好により符号が変化することがわかる.
‑fzs慧･‡芸箸
(‑) (‑) (‑)
‡Z葦･{Z･･g苦}若
く‑) (‑) (‑)
ここで,
lil̲‑‑(譜+若,芸‑g普苦
(‑) (‑) (‑) (‑) (‑)
(34)
(35)
注:分かり易さのために 個数分に関する鰍こついてのみ( ) 内に符号条件を示した これらは式(18). (20), 02),伽に 示されている条件と同値である.以下の式に関しても.同様の 形式で示した.
そこで,人lの変化の符号と通好の関係を考察する.例 えば,式(34)の下線取分が0以上と仮定すると人●の変化 の符号は正と定まる.しかしながら,式(25), (26)にお いてZ.は関数Z.(i,JL,g,T,)と表されるように,A, FL
の関数である.すなわち,式(34)における偏微分塾は 毎 人および〟を一定とした場合の交通の伴う財の需要変化 である.実際の市場では人l, 〝l棚財ヒ前の最適値か ら変化後の最適値に変化して購入に交通の伴う財の需要 変化は決定される.したがって,式(34)の下郷が0以 上になるかどうか書お宅際の市場において観察不可能な条 件といえる.
そこで,市場で観測される需要変化と人lの変化の関係 を次に検討する. gの変化によって変化する人l, JLlは式 (25), (26)の連立方程式から得られる.明示的に関数とし
て表すと1●(g,r"W,T,,T) , JJ'(g,T,,W,T,,T)である.
これらを一段階目で得られたZ.(A,JJ,g,I,)に代入する と,市場で観察される需要関数(以降,市場需要関数と
略す) Z:u●,JJ',g,T,)が得られる.最適値入●, JL'が
:二
1七,I,,W,T,,T) ,JJ k,T,,W,T,,I)と表されるため,こ
れらを代入するとZ:はZ:也,わ,W,T"I)と示される. Z:
は式(5)〜(少すべての最適化条件式を満足する.
ここで,人および〟の変化を伴った市場需要関数
Z:也,T,,W,T"乃を所得制約式,時間制約式に代入する.
〜:はすべての謝ヒ条件式を満たすため,当然2つの制 約式に関しても満たす.具体的には,式鮒, CZG)に代入 するとを式(36), (37)が得られる.
wTv ‑ Z(A) ‑gz:(g,T∫,W,Tw,T)= 0 (36)
T‑T,Z:也,THW,Tv,T)‑TIOJ)‑Tw=0 (37) 上
gに関して全微分してdJL, d人について解くと式QB) が得られる.
l
aZ aTl al all
(‑) (一)
T, aZ dZ:
L al tな
(‑) rT)
%(Z:･g告
(‑) (?)
(38)
dp'
式(38'の第1行‑ sign首‑ sign雷が成立‑
ここで,式(34)よ｡些細が鵠的に駈することを考
(痩
慮すると,普く0哨かれる･こ枇ギッフ‑淵が
排除されていることを意味する.
些二の符号については,式細の第2行の関係式より,
dg
式(38)の下線部の符号と一致することがわかる.すなわち, . dl'
mgn首‑ sign(Z:･g告,カ域立‑秘碓肘
は式(39)のように変形できる.
Z:･g%(‑i(gz:,,
‑ 〜:(1･譜,
= Z.'(1 ‑ez･.&)
I(39)
ここで, ez･･g=‑云首gdZ:
式(38),(39)よりZ:の価格弾力性ez･,Cが1以下であれ