2．1 スツルム（Strum）の定理
半代数的集合の諸性質を述べる前段階として，今後議論を進めるにあたり，必要となる スツルムの定理を先に述べる．この節では，Pは定数でない一変数実多項式とする．
2．1．1 Pが重根を持たない場合
Pが重根を持たないため，Pとその導関数P の最大共通因子は1である．ここで，次 の方法で多項式列を構成する：
片＝P，P1：P とする．4〉Oに対して，月と月＿1にユークリッドの互除法を用いて，
出た余りを（一1）倍したものを片十1とする・つまり，片十1，片の次数deg（片十1）〈deg（片）
となる間，
月一1こ月Qに月十1
が成り立つようにする．この操作をOでない定数PKが現れるまで行う．
上記のPo，P1，…，みをPとP のスツルム列という1α∈RをPの根でないとする．
このとき，列片（α），P1（α），… ，PK（α）の符号変化が起きた回数をむ（α）と表すことにする．
側2．1P（X）：X3＿3X＋1とする．このとき，PとP のスツルム列は，
9 （X3−3X＋1，3×2−3，2X−1，一）
4 となる．α＝1として計算すると，
9 （一1，O，1，一）
4
が与えられ，符号が変化したのは一回であるため，U（1）＝1となる、途中Oが現れるが，
符号変化の回数としては無視する．
以上のことより，次が考察される．
定理2．2スツルムの定理 α，わ∈R（α〈b）とし，α，bともにPの根でないとする．開区 間（α，ろ）におけるPの根の個数は，
Up（α）一りρ（b）
と等しい．
証明 πがスツルム列に現れる多項式の解Cを通るときに，ωp（π）がどのように変化するか を考える．
・CがPの根のとき，片とP1の符号は次のようになる：
c
pO
一〇十
p1
十十十
0r
c
p0
十〇 一
P1
■
｡どちらの場合でも，ηρ（ ）を1小さくしている．
・cが月（0〈4＜K）の根のとき，月＿1（c）＝月十1（c）≠Oとなる．よって，列月＿1（π），
月（π），B＋！（ ）において，ωp（ ）は変わらず，りρ（ ）＝1のままである．
以上のことより，定理が成り立つことがわかる． 口
2．1．2 Pが重根を持つ場合
定理2．2の証明は，列Po、… ，PKが次の性質を満たすことに依存した：
性質1．P＝Poで，PKはOでない定数である．
性質21cがPoの根であるとき，積PoP1はある開区間（c＿6，c）において負となり，ある 開区間（C，C＋ε）において正となる．
性質3．cが月（O＜壱＜K）の根のとき，月＿ユ（c）月十1（c）く0となる．
」Pが重根を持つと仮定し，上の性質を満たす列昂＝P，P1＝P ，＿，Pκを構成する．
このとき，Pκは定数でなく，PとP の最大共通因子となる．ここで列
片 p1 Pκ＿ユ
一 一 1 pK，PK， ，PK ，
を考える．
この列は，Pと同じ解を持つ多項式母に対し，上の3つの性質を満たす．さらに，P
の解でないαに対し，列月。（α），…，Pκ（α）の符号変化の数ηρ（α）は，明らかに列
po（α） PK−1（α）
1
pκ（αプ PK（α）
の符号変化の個数と同じとなる．
よって，次の定理が成り立つ．
定理2．3Pが重根を持っている場合でもスツルムの定理は成り立つ。また，りρ（α）＿Uρ（6）
は，開区間（α，6）におけるPの異なる根の個数と等しくなる・
ここで，次の命題を示す．
命題2．4P（X）＝αoXd＋・
そのとき，
．． ¥αd＿1X＋αd（αo≠O）とし，c∈Cで，cはPの板とする．
αゼユ 1・1≦m・・ld−l1
｛＝1，…，d αO
が成り立っ1 証明
α毒ユ
〃＝ma・ld−ll
｛＝！，…，d αO
とし，z∈Cで，lzl〉M一となるとする・乞＝1，…，dに対し，
1αoll・1｛
1α11＜
d
が成り立つ．よって，P（z）＝0かつ
1α。・d一ユ十…十α。1≦1α。ll・ld−1＋…十1α。1く1α。・dl…（・）
とする．
α。・d＋α。・d01＋…十αd−1。十αd＝O
より，
d−1 d α1Z ＋…十αd＝一αOZ
となる．すなわち
1α1・d■1＋…十α。1＝1α。・dl
が成り立ち，（＊）に矛盾する・よって，P（z）≠oが成り立つ．したがって，lzl＞M一なら ばP（z）≠0，の対偶をとることより，IcI≦Mが成り立つ． 口 M を，上の証明で用いたものとする。このとき，Up（ ）は（＿oo，＿M ）において定数であ
り，片（一X），P1（一X），…，PK（一X）の最高次係数列の符号変化数りρ（一〇〇）とりρ（X）は 等しい。（M一，十〇〇）においても同様のことがいえる．
命題2．5Pの異なる実根の総数は
Uρ（一○c）一Up（十〇〇）
である．
2．1．3 不等式の条件が加わった多項式方程式の実根
次に，不等式を満たす多項式の条件が加わる場合を考える．この小節では，Q，Q1，＿，Q4 も一変数実多項式とする．ここで，ρ（c）＞OとなるPの実根。の数を計算するために，
Po＝P，P1＝P Qとスツルム列の構成を変える．上と同様に，乞〉Oに対して，月と月＿1 にユークリッドの互除法を用いて，出た余りを（＿1）倍したものを月十1とし，PKはPと P ρの最大共通因子とする．以上のことを繰り返し得た多項式列を，PとP Qのスツル ム列とよぶ．Pの根でない実数αに対し，列片（α），P1（α），、．．，PK（α）の符号変化の回数 を咋，Q（α）と表す．
定理2．6α，6（αく6）を，Pの根でない実数とする．そのとき卯，Q（α）一昨，Q（わ）は，（α，b）
上で
（Q（c）＞OとなるPの異なる根。の個数）一（Q（c）＜OとなるPの異なる根。の個数）
と等しくなる．
証明 初めに，PとP Qが互いに素の場合を考える（PKは0でない定数）・このとき，P は重解を持たず，Qとの共通解も持たない．したがって，上で述べた3つの性質のうち，
性質1，3と，性質2を以下のように書き換えたものを満足する：
性質2 ・cがPoの根ならば，積PoPlQはある区間（c一ε，c）において負となり，（c，c＋6）
において正となる1
よって，定理212と同様に，これら3つの性質から定理が従う．
PKが定数でないとき，列母，母，… ，㌣，1は，段に対し性質1，2 ，3を満たす．
したがって，これらにαとわを代入した列の符号変化の個数との差は，計算したい実根の 個数の差と」致し，それは
卯，Q（α）一咋，Q（b）
となる． 口 咋，Q・（α）1p，Q・（6）
堕
は，（α，b）上でQの実根でない，Pの異なる根の個数を数え上げる・したがって，（α，6）
上でQ（c）＞OとなるPの異なる根の個数は，
1
5（榊（α）十W（α）一側（b）一W（b））
と等しくなる．またPとQが互いに素であるとき，咋，Q。を伽と置き換えることが出来る。
次に複数の不等式を満たす，P＝O，Q1＞0，…，Q4＞Oの実根の個数の計算方法を考 える．初めに，PとすべてのQせが互いに素であると仮定する。ε＝（6ユ，＿，64）∈｛O，1｝ゼ で，Q ＝Q1 1…砺とする．定理2．6より，
・。＝卯，Q・（一・・）一咋，Q・（十・。）
は，
（Qf（c）＞OとなるPの異なる実根。の個数）＿（Q （c）＜OとなるPの異なる実根。の個数）
と等しくなる、φ：（φ1，…，φゼ）∈｛0，1｝疋のとき，1≦4≦乏に対し，Q｛（c）の符号が
（＿1）φ｛となるPの異なる実根。の個数を。φと表す．sを，座標がすべての8芒（6∈｛0，1｝4）
となるベクトルとする．同様に。を，座標がすべての。φ（φ∈｛0，1｝ゼ）となるベクトルと
する、
補題2．74にのみ依存する2ゼ×2ゼの可逆行列んで，8＝ん。となるものがある．
証明 乏に関する帰納法を用いて証明を行う．
・ゼ＝Oのとき，
8⑰＝ωp（＿OC）＿ηp（十〇C）＝（Pの異なる実根の総数）＝C⑰ が成り立つ．
・4＝1のとき，スツルムの定理と定理2．6より，
80＝卯（一〇C）一ωp（十〇〇）＝（Pの異なる実根の総数）
＝（Q（c）〉OとなるPの異なる実根。の総数）十（Q（c）＜0となるPの異なる実根。の総数）
＝CO＋C1
81＝〃P，Q（一〇〇）一咋，Q（十〇C）
＝（Q（c）＞0となるPの異なる実根。の総数）＿（Q（c）＜OとなるPの異なる実根。の総数）
＝CO−C1
が成り立つ．したがって，
（ll）一（■1）（：1）
となる．ここで，
・一
i■1）
とすると，detλ1：＿2≠0より，A1は可逆で8＝λ1cとなる．
．4のとき成り立つと仮定する．6，ψ∈｛O，1｝4に対して，
80，…，o
51，…
C0，…，O
Cψ
c1，…
とする．また，
8E＝Σ0。，jCゴ，8。，0＝8。＝Σα ，ゴCゴ ゴ ゴ
となる。ここで，Cゴ＝Cゴ，o＋Cゴ，！より，
・。，FΣα。，ゴ・ゴ，O＋Σα。，ゴ・ゴ，1
j j が成り立つ．
さらに，
8、，1＝（Qε＞0となるPの異なる実根の総数）＿（Q ＜0となるPの異なる実根の総数）
＝（ρ乏十1〉0となるPの異なる実根の総数）＿（軌十1＜0となるPの異なる実根の総数）
＝Σα。，灼，O一Σα。，狗，1
ゴ ゴ
となる．これらのことから，
8 ，O
8・，1