5. 矩形断面部材の計算法
5.1 単鉄筋矩形梁
5.1.1常識を再確認するために
鉄筋コンクリート梁の設計法として最も基礎的な計算法は、コンクリートの引張応力を無視した、単 鉄筋矩形梁の計算法です。この計算法は歴史が古く、多くの場面でそのまま、または応用されてきまし たので、計算式に使う記号なども常識的な約束が定着しています。種々の新しい計算法が提案されます が、その得失の議論には、表（おもて）には現れなくとも、単鉄筋矩形梁の計算法との対比が使われま す。そのため、コンクリート工学の勉強では、コンクリート矩形梁の計算法の知識を、どこかで、きっ ちりと埋めておかなければなりません。この章では、式を導くときの考え方と、式の意義などを説明し ました。具体的な数値計算に役立つように、Plain_Basic のプログラムリストを章の最後に付しました。プ ログラム本体と例題とは、別にインターネットで参照できるようにしてあります。
5.1.2 記号の使い方も習慣で決まっていること
単鉄筋矩形梁の断面モデルは図 5.1です。暗黙の座標系の約束は、梁上面を基準として下向きに測り ます。梁の高さは、引張側鉄筋断面の重心位置までの距離
ｄ
を使い、これを有効高さ(effective depth)とし ます。実際の矩形梁の外形高さはｈ
です。これはｄ
に鉄筋半径とかぶりを考えた分だけ大きくします。鉄筋は、断面積
Ａ
Sの部材とし、二次モーメントを無視します。コンクリート工学では、鉄筋のヤング 率とコンクリートのヤング率の比をｎ
=E
S/E
C（エヌ値）を使います。古典的な許容応力度法では、ｎ
=15 が標準値です。鉄筋断面は、コンクリート断面に換算するときはｎ
倍し、ｎＡ
Sとして代入します。次 の節で説明する複鉄筋矩形梁は、圧縮側にも鉄筋を入れます。このとき、鉄筋断面積分だけコンクリー ト断面積を控除して、(ｎ
-1)AS'として鉄筋の寄与を計算するのが理屈ですが、ｎ
の値が１よりも充分に 大きいので、実践的にはｎＡ
S'で計算します。これには、鉄筋の使用量ｐ
が、多くてもコンクリート断 面積の３％程度であることも考慮に入っています。コンクリートと鉄筋の応力度の記号には、材料力学 の習慣から、ギリシャ文字のσ、τを使います。設計計算では強度を表す方の応力度には英字記号のｆ
を使い、軸応力度と剪断応力度ともに同じ英字を使いますので、記号概念の混乱が起きています。図5.1 矩形梁のモデルと標準で使う記号
5.1.3 終局強さの思考実験＿第一段階
無筋コンクリートを梁として使うことはできるにしても、一旦引張側に亀裂が発生すると、それ以降 の耐力の増加はありません。亀裂が出ると曲げに抵抗する有効断面が減少しますので、もし同じ荷重が 作用していれば連鎖的に破壊が進行します。つまり、実質の耐荷曲げモーメントは0です。歯止めの掛 からない破壊を抑えるために、引張側に鉄筋を入れます。鉄筋を入れると、応力分布の様子がどのよう に変わるかを、単鉄筋矩形梁について、思考実験で考えます。一般論として、弾性体の力学では、力の 条件と変形の条件の二つを考えて解きます。力については、三角形状に分布する圧縮側のコンクリート 応力度の合力
Ｃ
と、鉄筋に作用する引張力の合力Ｔ
が、大きさで釣合い、その合成が部材モーメントＭ
です（図5.1）。変形の条件にはヤング率の比ｎ
を使います。まず、或る曲げモーメントが梁に作用して いるときの解を、上で説明したモデルを使って求めます。z コンクリート工学では、コンクリートの圧縮応力度σｃを正の符号で扱い、鉄筋の応力度σsも引張 応力度を正の符号で扱います。コンクリートの圧縮応力の合力
Ｃ
と鉄筋の引張力の合力Ｔ
との釣合 いを考えると、中立軸の位置ｘ
を未知数として、ｘ
を計算する力の条件ができます。このｘ
の位置 まで、コンクリート梁は亀裂が入ると考えます。ｘ
の計算式を下のように、パラメータｋ
とｐ
を使 って整理して示します。) 2 (
(1)
2
s
c s
L L
L L
bd p A
d h
p d p k x
=
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
を使った鉄筋比です ではなく
は ただし
σ σ
z 平面保持の仮定を満たすために、
ｎ
を使って、変位の条件を満たすｘ
の計算式を立てます。) (3'
(3)
s c
c s
c
L L
L L
σ σ
σ σ
σ
= +
− =
n k n
n x d
x
またはz 式(1)～(3)を使うと、鉄筋の使用量
p
をパラメータとして、未知数ｘ
、つまりｋ
を計算する式が、ｋ
の２次方程式で得られますので、根の公式を使って正の値をとるｋ
を計算します。) (4'
2 ) (
(4)
0 2 2
2 2
L L
L L np
np np
k
np npk k
+ +
−
=
=
− +
これを解いた式は
z
ｋ
が計算できれば、作用している曲げモーメントとの対応式が得られます。これを、コンクリート 矩形断面の断面係数Ｚ
と、コンクリートの応力度σｃを使って整理した式で示します。断面係数は、実務の設計計算では有用な概念ですので、改めて次章で解説します。
(6)
6
(5)
) 3 (
2
c
L L
L L Z bd
d h
Z
Z k k M
=
−
=
面係数です を使った矩形断面の断
ではなく、
は ただし
σ
5.1.4 断面と曲げモーメントが与えられて応力度を計算すること
式(4)と(5)は、単鉄筋矩形断面の寸法と鉄筋量が与えられとき、作用する曲げモーメントによるコンク リートの応力度σｃを検算するときに応用します。計算手順としては、鉄筋の応力度σsを求めるには、
式(1)または(3)にコンクリート応力度を代入して計算します。設計断面の提案後では、計算上必要とする 矩形断面の寸法は、切りのよいように、端数が、例えば10cm単位になるようにします。鉄筋断面積も、
製品カタログにある具体的な鉄筋径と本数を決めて、それを使います。断面提案方法は、この後の項で 説明しますが、
ｋ
の値は実践的には 0.4 前後です。そうすると、式(5)は、ほぼＭ
=Z
σCです。これは、幅
ｂ
高さｄ
の矩形断面全体を有効としたときの曲げモーメントと縁応力度の関係です。この関係は非常 に有用です。設計モーメントが与えられて、最初に大体の矩形断面の寸法を見積りたいとき、コンクリ ートの圧縮許容応力度σCから所要の断面係数Ｚ
が計算できます。式(6)を応用して、この断面係数にな るようにｂ
とｄ
の概略値を提案することができます。5.1.5 終局強さの思考実験＿第二段階
式(1)は、
ｋ
の値が、鉄筋量ｐ
に比例する形です。式(5)は、鉄筋を使わなければ、ｘ=0です。つまり、曲げモーメントに抵抗できません。鉄筋量を決めれば、式(4)から
ｋ
の具体的な数値が決まりますので、式(5)から、作用している曲げモーメントによって生じるコンクリートの応力度が計算でき、また鉄筋の 応力度も計算できます。これらの式を応用して、与えられた鉄筋コンクリート断面の耐荷モーメントが 計算できます。その条件は、鉄筋またはコンクリートのどちらかが最大応力度になったときです。計算 上の最大応力度は、鉄筋では降伏点σsy、コンクリートは圧縮強度σcyとします。
z 最初、髪の毛のような小さな断面の鉄筋を入れると考えます。式(4)から、鉄筋比
ｐ
を代入してｋ
が 決まりますので、これを式(1)に代入すると、鉄筋応力度とコンクリート応力度との比が決まります。鉄筋量が小さいと、鉄筋の応力度がコンクリートの応力度よりも相対的大きく出ますので、曲げモ ーメントを増していくと、鉄筋の方が先に降伏点応力度になり、それ以上大きくなりません。この 時が、梁の耐荷モーメントです。鉄筋が引き伸ばされますので、梁は曲がりが大きくなり、鉄筋が 破断したときに梁が崩壊します。
z 鉄筋の使用量を増やしていくことを考えます。上と同じように鉄筋応力度が降伏点に達したときが 破壊条件ですが、コンクリート応力度も相対的に上がります。或る鉄筋量
ｐ
のところでコンクリー トと鉄筋とが同時に最大強度になります。この条件は、式(3)にσsyとσcyとを代入して得られるｋ
の 値を式(4)に代入することで得られます。この鉄筋比を釣り合い鉄筋比と言います。ただし、この用 語は新しいものです。近年のコンクリート工学では、ｎ
を使わないで、降伏時の応力度と、そのと きの歪みを使った式で表しています。具体的な理解をするため、現在ではやや強度を小さく抑えた 古典的な数値を使います。σcy=150kgf/cm2、σsy=2600kgf/cm2、ｎ
=15 とすると、ｋ
=0.46、釣合い鉄筋比は
ｐ
=1.3% です。耐荷モーメントはＭ
=1.2Z
σcyです。z 鉄筋量をさらに増やすと、今度は、鉄筋の応力度が降伏点まで上がらないうちにコンクリートの方 で破壊します。つまり、鉄筋は強度に余裕があって、かつ鉄筋量も多く使いますので不経済な断面 となります。
ｋ
は、式(1)から分かるように１を超えない数です。仮にｋ
=1 を式(5)に代入して得ら れる耐荷モーメントの最大値はＭ
=2Z
σCです。鉄筋量の増加に比例するようには、能率よく耐荷 モーメントは伸びません。5.1.6 断面の提案式
設計の場合、許容応力度を与えて、設計モーメント
Ｍ
に耐えるような矩形断面の寸法と鉄筋量を提案 しなければなりません。コンクリートと鉄筋とがそれぞれ許容応力度になるように断面を決めるのが合 理的です。式(3')に許容応力度を代入することでｋ
が一意に決まりますので、式(1)から所要の鉄筋比ｐ
、 式(5)から所要の断面係数Ｚ
が求まります。断面係数は矩形断面の幅b
と有効高さｄ
の式ですので、実践 的な設計法では、どちらかを決めることで他方を計算します。普通はｂ
を先に条件として与えます。こ れを設計提案式として、下の式(7)のように整理します。ここで使われるＣ
１、Ｃ
２も、古典的な許容応力 度法で使う約束記号です。(7)
2
)
3 (
6
2 1 2 1
L L
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
= −
= +
C A bd
b C M d C k
k C k
n k n
s
ca sa
ca sa ca
ca
σ σ
σ σ σ
σ
5.1.7 設計実務で使うように数表が工夫されたこと
コンピュータが利用できなかった時代、設計計算を進めるため、式(1)～(7)を踏まえた数表やグラフが 工夫され、データブックやハンドブックにまとめられていました。単鉄筋矩形梁の計算では、２種類の 数表が良く用いられます。一つは、断面計算に使うため、式(4)を解いて
ｐ
とｋ
との関係を表にしたもの。もう一つはσsaとσcaをパラメータとして
Ｃ
１、Ｃ
２を数表化したものです。数表は、パラメータの相異 による数値の相異が一瞥で分かることに価値がありますので、変数の区切り間隔などをあまり細かくし ません。関数電卓が簡単に使える時代ですので、正確な数が必要であれば元の式から計算することがで きます。設計実務では鉄筋製品のカタログが必要であって、これから所要鉄筋の径と本数を求め、具体 的な設計断面を提案します。最近の鉄筋コンクリート工学の参考書には、このような実務的なデータが 載りません。5.1.8 終局強さの思考実験＿第三段階
鉄筋コンクリート梁が破壊するとき、梁断面内のコンクリートの応力分布は、図5.1 のような直線的 な三角形分布ではないと想像するのですが、実体は良く分かりません。材料試験で得られる応力-歪み の関係を表すように、放物線を当てはめるモデルもあります。最も単純化した終局破壊時の応力度分布 モデルは、図5.2のような矩形分布です。
図5.2 終局破壊時のコンクリート応力分布の仮定
z 引張側の鉄筋断面積を0から少しずつ増やして行くことを考えます。コンクリートは梁上面からｘ の位置までが圧縮強度になって釣合います。ｘの位置に擬似的な中立軸があると考えます。この位 置は、式(1)似た形ですが、定数２がありません。
(8)
cy
sy
p L L
d
k x ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
′ σ
σ
z
ｘ
の位置はｄ
を超えませんので、ｋ
’の最大値は１です。コンクリートの応力度分布を三角形で仮 定した場合には、ｋ
は式(4)で計算され、ｋ
=1 になることはありません。鉄筋比ｐ
が（σcy/σsy）を 超えると鉄筋の応力度は降伏点まで上がりません。この限界が、コンクリートの塑性を考えた釣合 い鉄筋比です。第二段階の解説と同じようにσcy=150kgf/cm2、σsy=2600kgf/cm2とすると、この場合の 釣合い鉄筋比はｐ
=5.8% です。この鉄筋量はかなり不経済です。z 最大耐荷モーメントは、式(5)の形に合わせると
(9)
) 2 ( 3
M
w′ = k ′ − k ′ Z σ
cyL L
z 或る鉄筋量で矩形断面が提案されたとき、第二段階の終局強さは式(5)で計算できます。この同じ断 面で、第三段階での耐荷モーメントを求めます。式(8)と式(1)を見比べると分かるように、この条件
は
ｋ
’=ｋ
/2 を式(9)に代入すれば得られます。そうすると、第二段階で計算した最大耐荷モーメントより幾らか大きく得られます。その比率は
(10)
4
12 3
12 L L
k k M
M
w−
= −
′
z 実用される単鉄筋矩形梁では、