⁚ 出

励 ３．︲

  ｍ

″

︱︱

︱︱

し 劇

耽 ０ ０

⁝ ０

″

一

∈ C,端 _≠

0)

=0

と表 され る。 行 列 式 の定 義 に従 って計 算 す る と

det(″

E―

_{■)=(″ 一}Pl)″

m̲1‑(一

_{P2)( 1)π}

m̲2+.…     

^｀

+(‑1)m̲2(二

^{f猛̲1)(‑1)π 2″}

+(̲1)π

^1(一J机_)(‑1)π ¹

=″れ一

Pレ

^π1二

P2Zm‑2̲…

^。

̲端

_{̲1,一 端}

=0

とな る。 つ ま り固有 方程 式 は

ππ

=Pl″

^{π1+。 …}

+島

とな る。

      

^□

定義

3.1.6線

_{形 漸 化 式 απ}

=Plα

η

̲1+…

^。

+鳥

ρπ^̲π (Pl,… ^{,」‰ ∈}

C,端

_≠

0)に

対 して

,未

知数 ″に関す る方程 式

″π

=Pl″

^{m̲1+・ …}

+島       

、 を線形漸 化式 の固有方程 式 とい う。

det(″

E一

■

)=

″

Pl  P2  P3 

_…。

  _f机

_̲1

‑l  o  O .…   

_…^.

0  ‑l  

π

 .…   

_…^.

三

      

^°・

.‑1  

″

0  

。…

 .…  0  ‑1

島 ̲1

0

1

32

耽 ∈

は λ

(3.1)

・ヽヽ１１ １１１１ １１１⁚

′′′

ｒ

⁝ λ ｌ 饂

ρ ｌ ｌ ヽ

第 3章   線形漸化式の一般論

定理 3.1.7線 形漸化式 α π =Plα π ̲1+… _{・十鳥ρれ}

̲π

C,端 ≠ 0)の 固有方程式の解の 1つ を λ∈ Cと する ￨

´         辟 ﹂   ﹄

に         証 ハｗ       件

鳥 ０ １

・ ・ ． 一

■ １ ０

・ ⁚ ０

である。 つ ま り

λπれ

=Plzm+…

^。

+鳥

^p″1

λ″π

̲1=″

_れ

λ″れ

‑2=″

π‑1

λ″

2=″

³

λ″

1=″

²

″

,=λ

_{' 1(づ}

=1,…

^。

,m)

となる。 ここで

第

3章

 線形漸化式の一般論

とお くと

,上

の式の うち (3.1)以外 は明 らかに成 り立つ。

有 方程式の解 であるこ とか ら

λπ

=Plλ

^{π 1+・ …}

+η

嵩̲λ+FL

であ り,(3.1)も成立す る。

?ま

^り

33 また,λ が固

ヽ １

︲

︲

︲

′ ノ

け

⁝ λ ｌ

／λ ｆ ｉ ｌ ト ー

ヽ

は固有 ベ ク トル で あ る。

定理

3.1.8線

_{形漸化式 αη}

=Plα

π

̲1+…

・

+鳥

メ

"̲れ の固有 方程 式の解 が

,互

いに異なる π 個 の解 λl,.… ,λれをもつ とき

,線

形漸化式 をみたす 任意 の数列_{arn}は

,あ

る

o,…

^。

,銘

^∈

Cを

用 いて

α η =σ

lλ

l"+… ・ +Cmλ _ml

と表 され る。

証 明 線形漸化式の固有方程式 ″

m=Pl″

π

1+…

_・+ら ^{の解 を λ}l,.∴ ,λπ とす る。す る と

,定

理3.1.7よ り

,固

有値 λl,.… ,入れに対す る

 ,

PI P2 

_{…・ 島}

_‑1』

_‰

1 0 

_{。…   …}

.  0 0  1 

^・・

.      

三

三 ・・. ・・

.  o  o O 

。∴

 0  1  0

の 固有 ベ ク トル はそれぞれ

となる。 これ らの ス の固有ベ ク トル は定理2.3.5よ り

C上

一次独立であ る。 よって

,ス

の固有 ベ ク トル は π 個 の一次独立な

Cmの

ベ ク トルであ

４ ３

ヽ ｌ

︲

︲

＝ ｌ ノ

¨          よ                        

＋

 ・         る よ

れ さ ３   か               な                                                             表 第   る                 と                                                           と

が成 り立つ。 □

第

3章

  線形漸化式の一般論

3。

2 

固有値が重解 となるとき

定理3.1.8では線形漸化式の固有方程式がすべて異なる解 をもつ ときを 扱 った。 この節で は固有方程 式が重解 を持 つ ときを扱 う。実多項 式の解

が重解度 たとなるための条件 を与 える次 の定理は よく知 られて お り

,高

校 の数学の知識 でも証 明で きる。

定理 3.2.1実 数係数の多項式 ∫

(■)に

対して

,∫_(・

)が実数 αを重複度 ん の重解に持つための必要十分条件は ,次 の式が成 り立つことである。

{郊 8琳 件≒十⇒

ここで は複素数 を用 いた固有方程式 を考 えてお り

,上

の定理 を複素数 に拡張 したい。複素係数の多項式でも解析学的な微分 は考 え られるが

,準

備 が大変である し

,ま

た

,解

析 的性質 はここでは必要 はない。 そ こで形 式的微分 とい う概念 を用 いて考 える。

定義 3.2.2複素係数多項式∫

(■

)=2′ ^十

^%̲1■

^{π 1+… ° 十}

^p。

^に対して

^,

Dノ_(″

)=町

L″

π1+(η ‑1)λ

̲1″

π 2+… _。 +ン 2Z+pl

と定める。

D∫_(■)を

ノ

(″)の

形式的微分という。また ,多 _{項式 ∫}

_(π)に

対 して ,そ の形式微分をとる操作をた回行ったものを∫

(■)の

た階形式的微 分といい,Dた ノ

(■)と

書く。

定理 3.2.3複素係数多項式∫

(■),g(″)に

対して ,以 下が成 り立つ。

1・ D(∫_(″)+g(・

))=D∫

(・

)+Dg(・

⁾ 2.D(α

∫

(・

))=α

(D∫(・

))(α ∈ Cは 定数

₎

3.D(が ×ノ )=(D″ ^を )Xノ

^+″

̀X(Dノ

^)(り,プ

^{は非負整数}

⁾

4.2(ノ

_(・)g(″

))=(D∫

^(・))g(・

)+∫

^(・)(Dg(・))         ̲

5.Dλ_{(∫ (″)g(″}

))=Σ

担。ん

C(D:∫

(″))(Dた

うθ(・))

。_(π 一λ_+1)(″ 一α_)れ ^λ _(ん <m)

)

35

第

3章

 線形漸化式の一般論      36

証明   定義通り計算すれば確かめられる。詳しくは

^p]を

参照されたい。

□

以下において ,多 項式の形式的微分に数を代入することを考える。そ の際 ,多 _{項式 ∫}

_(″)と

α∈ Cに ついて

Dを

∫

(α)と

表記するときは

,∫_(″)の

を階形式的微分に″=α を代入した値を表す。

_(つ

まり ,初 _めにノ

(■)の

形 式的微分を求め ,そ の後に″=α を代入する。

)

定理 3.2.4複 素係数多項式 ∫

(■)に

対 して

,∫_(″

)が複素数 αを重複度 た の重解に持つための必要十分条件は ,形 ^式的微分 Dに 関して ,次 の式が 成 り立つことである。

{:鵜 已 ^10=嘔 λ ^⇒

^(3.2)

(3.3)

証明   複素係数多項式∫

(″)が

複素数αを重複度んの重解に持つとすれば

∫

(″

)=(″ 一α

_)ん

の

(・

)か ^つ

 

^の

^{(α)≠ 0}

となる。∫

(■)の

を階形式的微分を考えると

D。

バπ

⁾

=Σ

_]・GDJ{(・

―α

)た}D' JO(■

)(j=1,… 。

,た

‑1)

J=0

=(Z一 ^α)たD'0(″ )+̀Dl{(π ^{一 α})た}Dを

10(■)+… ^・+Dう _{(π一 α_)た}0(・)

(3.4)

とな る。 ここで

で       は

し   養

ドキュメント内 ドミノタイリングの数え上げ ： 線形代数の組合せ論への応用として (ページ 32-37)