保険の需要供給理論

以下の保険の需要供給理論については，酒井[1982]，高尾[1991]を参考とし，より保険論・

保険学的に書いたものである。

いま，保険契約者の資産の初期保有量をAとし，確率πで損害Lの事故が発生するもの とする。このとき事故が発生する場合を状態1，発生しない場合の状態を2とする。また，

状態1の保険契約者の資産をX，状態2の資産をYとすると

X＝A－L ……(2.51) ，Y＝A ……(2.52) となる。

一方，このとき保険料：P，支払い保険金⁸：Iの保険に加入したとすれば X＝A－L－P＋I ……(2.53)，Y＝A－P ……(2.54) となる。

ところで保険料率をrとすれば，Ir＝P ……(2.55) であるから (2.53)，(2.54)，(2.55)式より

( )

(

^XA−A−Y+L

)

^=1−rr ……(2.56) ここで，保険の価格

r 1 p r

= − ……(2.57)

とすれば，保険商品の外生的制約条件である機会直線 pX＋Y＝p(A－Ｌ)＋A ……(2.58) が導かれる。なお，

( )

1 r ⁰ 1 dr dp

2 >

= − である。

保険契約者は，(2.58)式の制約の下に自己の期待効用EUを最大化することとなる。

EU＝πU(X)＋(1－π)U(Y) ……(2.59) なお，U(・)は，資産が保険契約者に与える効用水準である。

ここで，(2.59)式の両辺を全微分して，左辺を0とおいて無差別曲線の傾きを算出すると

( )

) Y ( U

X U 1 dX dY

′

′ π

−

− π

= ……(2.60) いま，保険契約者はリスク回避者であることから

( )

X 0,U

( )

Y 0,U

( )

X 0,U

( )

Y 0

U′ > ′ > ′′ < ′′ < ……(2.61) (2.60)，(2.61)式より 0

dX dY <

Yを固定したときX→∞ ならば 0 dX

dY → ……(2.62)

Xを固定したときY→∞ ならば →−∞

dX dY

さらに

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }

²

2 2

Y U

dX Y dY U X U X U Y U dX 1

Y d

′

′′

− ′

′′

′ π

−

− π

= および，(2.61)，(2.62)式より

dX 0 Y d

2 2

> ……(2.63)

(2.62)，(2.63)式より無差別曲線は，X-Y平面上の原点に対して凸となることがわかる。

したがって，保険契約者が期待効用を最大化させるのは，機会直線と無差別曲線が接する 点においてである。

つまり，

( ) ( )

Y U

X U p 1

′

′ π

−

= π ……(2.64) を満足する点である。

以上のことを図示すれば図2-4のとおりとなる。

8 保険学・保険論でいうところの保険金額のことである。やや，紛らわしいが2.3.2～2.3.4におけるI保険 金，I保険需要は，保険金額のことである。

【図2-4】機会直線と無差別曲線 Y

図2-4において，傾きが－pの直線が機会直線である。また，2本の曲線が無差別曲線と なる。点Eが保険契約なしの場合の初期点であり，Qが保険契約がある場合の均衡点であ る。

E²Q²は，保険料Pであり，E¹Q¹は，支払い保険金から保険料を差し引いたものである。

つまり，E1Q1＝I－P＝I－Ir＝(1－r)Iであるので，保険契約者の需要する支払い保険金(保 険需要)は，I＝

( )

1 r 1

− E1Q1 によって求めることができる。

また，保険契約により実質的に保険契約者に支払われる額，つまり支払い保険金から保険 料を差し引いた額(純保険需要)Hは，

H＝I－P＝E1Q1 によって求めることができる。

各パラメーターの純保険需要に与える影響は，次のとおり。

① 保険料率r

保険料率rが増加すれば保険価格pが上昇し，それに伴い純保険需要は減少する。図2-4 で機会直線の傾きの絶対値pが増加すれば，純保険需要が減少することは幾何学的に明ら かである。

② 事故率π

事故率πの増加に伴い無差別曲線の傾きの絶対値が増加することから，機会直線と無差別 曲線との接点は，右方向へシフトすることとなる。したがって，純保険需要は増加する。

③ 損害額L

損害額Lが増加すると機会直線が左下方向に平行移動する。したがって，Yが同じ値を示 す機会直線上の点を通る無差別曲線の傾きの絶対値が大きくなり，それに伴い機会直線と 無差別曲線の接点は，保険契約がない場合の初期点Eに対して，より右方向へシフトする。

したがって純保険需要は増加する。

X O

Q２ Q

Q１

E2 E

p E1

次に，保険の需給の均衡について論ずる。

保険会社の事業費を無視すれば，保険会社の期待利潤Πは，

Π＝π(P－I)＋(1－π)P ……(2.65)

となる。競争市場における長期的な均衡時には，Π＝0となることから，

(

−

) (

+ −π

)

= ⇔π

(

−

) (

+ −π

)

= ⇔π

( ) (

− + −π

)

= ⇔ π

=

Π P I 1 P 0 Ir I 1 Ir 0 r 1 1 r 0

π

= π⇔

−

= π

− r

1 r 1

r ……(2.66) (2.57)，(2.64)式より

( ) ( )

^Y

U X U 1 r 1

r

′

′ π

−

= π

− となり，(2.66)式により

( ) ( ) ( )

( )

Y ^{1 X Y} U

X U Y U

X U r 1

r r 1

r = ⇔ =

′

⇔ ′

′

′

= −

− が導き出される。

また，このとき(2.53)，(2.54)式より，I＝Lとなることがわかる。

以上を図示すれば図2-5のようになる。

【図2-5】保険の長期競争的均衡

Y

保険需給の長期競争均衡点は，機会直線と原点を通る傾き1の直線の交点Q*となる。こ の原点をとおる傾き1の直線を確実性直線という。

図2-4，図2-5に基づいて作成した長期競争市場における保険の需要・供給曲線は，図2-6

のとおりとなる。

X O

Q*２ Q*

Q*１

E

E1

E2

p 45°

【図2-6】長期競争市場における保険の需要・供給曲線 r(保険料率)

R

長期競争市場においては，図2-6の点Rにて需給が均衡する。そのときの保険料率がOH で，需要量がOKとなる。

なお，以上の保険会社による保険の供給の分析は，保険会社がリスク中立的であることを 前提としている。また，保険会社の事業費を無視した分析であることにも注意を要する。

したがって，それらの前提条件が満たされないような場合は，この分析は，現実的でない こともありうる⁹。

ドキュメント内 環境政策における経済的手法としての保険の可能性 について (ページ 32-36)