一1
0
0．2 0．40
0．2 0．41
ぺ0
＿1
0
0．2 0．42
×
10
ねズ
一2
α＝1．0△t h＝一〇．4△t
o一■■● ●
●
・ go 8
．
．∴ 鷹 壕＝i
「・ 螺
t＝200000
〜200200
o
o鞘■零， ． 鞠 o ●● ．●
蕩
．． ≧
． 6
0
0．2△t 0．4
図4．8差分時間モデルの2結合系でのニューロン状態の分岐図とリアプノブ指数
（α＋ん二〇．6ムオ≠0の場合）
55
1
〉・0
一1
y1
サ
y2
△t＝0．39 α＝△th＝一〇．4△t y1（0）＝0．8 2（0）一一〇．6
1 11 l 窄
1
0
2
N1
＞1
＞・0
一1
50
n100
0 50
n
100
図4。9差分時間モデルの2結合系での時間発展 （α＋ん＝0・6△孟≠0で△bO．39の場合）
56
4．3 相互結合系の挙動分析
これまでは結合系の基本となる2結合系について調べてきたが，続いて，多結 合系について検討を進めることにする．一般に，多結合系の結合様式としては様々 な形が考えられるが，ここでは4．1節の差分時間モデルの発展方程式（4．7）の結合 項んΣダ荊Xゴ＠）を取り扱う・この場合，全てのニューロンが互いにんの強度で結 合しあうことになる．図示すると図4．10のように表される．
図4．10相互結合型の多結合系
● ● ●
Nニューロンから成る相互結合系の（4．7）式の＃乞と＃ブの発展方程式 ツ6（η十1）＝鳳＠）一αX￠（π）＋α＋ん（X、（η）＋…＋XN＠））
（ただし，X￠（η）は含まない）
〃ゴ＠＋1）＝椥ゴ（η）一αXゴ（η）＋α＋ん（X、（η）＋…＋XN（η））
（ただし，Xゴ＠）は含まない）
の差をとると
（4．13）
（4．14）
跳（η十1）一防（η十1）＝16（腕（π）一防＠））一（α十ん）（X乞（η）一Xゴ＠）） （4．15）
となる．この形は4．2節の2結合系の場合の＃1と＃2に対する（4．12）式と同じで ある．つまり，個々のニューロン間の1対1の同調条件は，右辺第2項が存在し ないこと，すなわちα＋ん寓0となる．（4．15）式は，α＋ん＝0のとき，1対1で の同調が全てのニューロン間に起こることを保障するので，結局，多結合系全体 が同調することを意味する．
57
以下では同調条件が成立する場合としない場合に大別して，
（i）鞠＝ω￠ゴ＝一1（α＋ん＝o）の場合
（茸）賜＝一1，賜＝一〇．4（α＋ん＝0．6△のの場合
について，それぞれ3結合系と4結合系の2例の結果を報告する．なお，他のパ
ラメータについては（i），（i）のいずれの場合も，μ箪1，δ歪＝一〇．4，ε＝o．01と する．このとき，ん＝1一ムォ，α＝一〇．4ムォとなる．
4 3 1 （i）α＋ん＝o（ 砺＝ωη＝一1）の場合
この場合の3結合系，4結合系に対する挙動特性の結果を図4．11，図4．12に示 す．2結合系の場合の図4．5と同様，ムォの全範囲でニューロン値差瓦一Xゴが全 て0に収束しており，どちらの場合も全ニューロンが完全に同調に至っていること がわかる．そして，それぞれのニューロンの状態X乞とリアプノブ指数λの様子か
ら，その同調がムォに応じて収束，振動，カオスの状態をとることがわかる．
58
1
メ「0
−1
1 乏0
−1
1 迎0
−1
1 ぺ0
−1
2
乏 しO
×
一2
2
｛・
覧、
多
旺㌔」＝ら品
塾あ鴇
α＝△th＝一△t
t＝200000〜200200
0 0．2 0．4
メ
瞠・：芦き晶
塾弓墨
0 0．2 0．4
メ
， 羅奉
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
△t
図4．11差分時間モデルの3結合系での分岐図とリアプノブ指数 （α＋ん＝0の場合）
59
1
×曹0
一1
1
×創0
一壌
霊
・，0
× 一1
1
×寸0
一1
1
ぺ0
−1
2 乏 しO
× 一2
2 螺㌧0
× 一2
2
覧。サ
× 一2
．A
α＝△th＝一△t
t＝200000〜200200
0 0．2 0．4
0 0，2 0．4
．A
0 0．2 0．4
戸
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
△t
図4．12差分時間モデルの4結合系での分岐図とリアプノブ指数 （α＋ん＝0の場合）
60
4・3・2 （i）α＋ん≠0（鞠＝一1，ω2ブ＝一〇・4）の場合
この場合の3結合系，4結合系に対する結果は図4．13，図4．14のようになる．ど ちらの場合も，個々のニューロン状態瓦はよく似た分岐図を呈しているが，ニュー ロン値差XrXゴの分岐図からは非同調の領域（3結合系の場合はムオ＝0．3付近 に，4結合系の場合は△孟＝0．2付近に）が確認される．また，同調条件α＋ん＝0 が成立しないこの場合でもλ＞0で凡一Xゴ→0となるカオス同調状態が存在し 得ている．この状況についても2結合系のときと同様である．
61
1 ズ0
−1
1 乏0
−1
1 ズ0
−1
1 ぺ0
−1
2
乏 しO
×
一2
2
ぎ。
乏
一2
0 0．2 0．4
0 α2 0．4
0 0．2 0．4
α＝△th＝一〇．4△t
t＝200000〜200200
0 0．2 0．4
●｛
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
△t
図4．13日分時間モデルの3結合系での分岐図とリアプノブ指数
（α＋ん＝0．6ムオ≠0の場合）
62
1
×FO
一1
1
×則0
一1
1
・。0
× 一1
1
×寸0
一1
壌
ぺ0
−1
2 躍LO
× 一2
2 螺㌧0
× 一2
2 野bO
× 一2
3
0
メ
0
メ
0
0，2
．．髭
0．2
0．2
臨
0．4
0，4
0．4
α＝△th＝一〇．4△t
t＝200000〜200200
0 0．2 0．4
0 0．2 0．4
＝9
0 0．2● 0，4
0 ．2 0．4
0 α2 0．4
△t
図4．14差分時間モデルの4結合系での分岐図とリアプノブ指数
（α＋ん＝0．6△孟≠0の場合）
63
4．4 1次元1方向結合系の挙動分析
4．3節での相互結合型ではなく，ここでは図4．15のような1次元1方向結合系と しての多結合系について考える．このタイプの結合系は，信号伝送などへの応用 に結びつきやすく検討の価値も高いと考えられる．
X1（t）
y1（t）
X2（t）
y2（t） X3（t）
y3（t） ● ● ●
図4．15 1次元1方向結合系
4．4．1 逐次同調化の機構
ここでは，結合系の同調化に焦点を絞って具体的なモデルを構成することにす る．指針としては，時間発展にともなって同調が進行するように設定するために，
結合による影響の出発点となる左端点の＃1ニューロンと次の＃2ニューロンが まず同調し，その同調状態が信号方向（右）へ伝わってゆくという仕組みが適当
である．
そのようなモデルとしては
g1（η十1） ＝ 1吻1（η）一αX2（η）十α十んX1（η） （4．16）
〃￠＠＋1）＝吻歪（η）一αX￠＠）＋α＋んX2・＿1（η）σ≧2のとき） （4．17）
が考えられる．発展方程式を図で表すと図4．16のようになる．このとき，隣同士 のニューロン値差防一ッ￠＋1は，
〃1（η十1）一〃2（γ｝十1） ＝ ん（ッ1（η）一〃2（η）） （4．18）
蝋η＋1）一〃歪＋・（η十1）＝た（〃乞（η）一〃乞＋・（η））一α（凡＠）一X￠＋、（π））
＋ん（XH＠）一瓦（π）） σ≧2のとき） （4．19）
64
となる．（4。18）式から，0＜κ〈1の時には時間発展とともに2ニューロン値差
〃r馳がん倍で級数的に0に収束（したがって，XrX2→0）していくことがわか
る．それにともなって，ッ2一〃3に対する（4。19）式では右辺第3項ん（X1（π）一X2（η））
が0になる．しかしながら，右辺第2項の存在が残るため，＃1と＃2の同調が 順次，信号方向ニューロンの同調を誘発していく保障はない．右辺第2項の不応 性（α）による影響の程度が，全体の同調への引き込みの可能性を左右することに
なる．
y1（t）X1（t）hy、（t）X・（t）hy、（t）X・（t）h．．．
一α 一α 一α
図4．16逐次同調化を指向したカオスニューロンによる1次元1方向結合系
20ニューロンの場合にμ＝1（ん＝1一ムォ），砺＝一〇．5（α＝0．5ムオ），ω乞ゴ＝
1．5（ん＝1．5ムオ），砺＝一〇．4（α＝一〇。4△の，ε＝0．01とし，時間測度△孟＝0．18で 追跡したときの1方向結合系の時間発展の様子が図4．17である．2，5，10，15，20番
目のニューロンと1番目とのニューロン三差を示したものであるが，ランダムな 初期値をもつニューロンが順次同調していく様子が分かる．同時に，図4．18はこ れらニューロンの状態値X2，X5，Xlo，X15，X20自身の経時変化を追ったものである が，それらの動きは非周期的な不規則性を維持しており，カオス同調となってい
ることがわかる．
さらに，上記の場合のムォ依存性について調べたものを図4．19に示す．続く図
4．20，図4．21は，ω歪ゴ＝ωゴ1＝1。0（ん＝1．0ムオ），ω勿＝ωゴ￠＝0・5（ん＝0．5△のと，
図4．19の場合から結合強度を弱めた場合である．これらの結果からは，同調しな い領域が次第に広がる傾向が見られる．いずれにしても，（4．16），（4．17）式による
1方向結合系がカオス同調を含む様々な同調を生起できることが確認された．各 ニューロンの状態値蕩とその差＆一Xゴについては，十分に時間発展した後の 65
π＝200000〜200200の200データ，リアプノブ指数λは20番目のニューロンのも のを用いている．同調条件は成立していないものの，このときにはムォ＝0．27あ たりを除いてほぼ全域で同調に至っていることがわかる．
4．4．2 同調条件について
ところで，（4．19）式に関する考察からも明らかなように，右辺第2項一α（X￠（π）一 瓦＋1（η））が存在しなければ同調条件が成立することになる．そのためにα＝0と
おくと，（4．16），（4．17）式は
〃、＠＋1）＝掬、（η）＋んX、（π）＋α
跳（η十1）篇糠＠）＋んx琶一、（π）＋α （￠≧2のとき）
（420）
（4．21）
のように簡素化される（ただし，これらのニューロンはカオスニューロンとは言えな
い）．この場合にμ＝1（κ＝1＿ムォ），うF＿0．4（α＝＿g．4ムォ），ω勿＝＿1（ん＝＿ムォ），
ε＝0．01とし，挙動特性のムォ依存性を調べたのが図4．22である．ニューロン値 差XrX15およびX1−X20はムォにかかわらずゼロに収束し，同調条件がうまく 作用している．△孟＝0．1付近と0．5前後の領域にはカオス同調の出現も見られる．
問題は発展方程式（4．20），（4．21）のモデルがもはやカオスニューロン結合系として の形式を失ってしまっていることであるが，外部からの制御入力による帰結とし て捉え直すことは可能である．これについては付録C参照のこと．
66