課題として考えられる内容の解決に向けた 授業アイディア例
Ｃ 数量関係
中学校 数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例 Ｃ 数量関係
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３ 「数量関係」
授業アイディア例⑥
○ 身の回りの事象の考察を通して，関数の意味を理解できるようにする。
〔対象学年：第１学年以上〕
重量 ５０ｇ １００ｇ １５０ｇ ２５０ｇ ５００ｇ １ｋｇ ２ｋｇ ４ｋｇ まで まで まで まで まで まで まで まで 料金 １２０ １４０ ２００ ２４０ ３９０ ５８０ ８５０ １１５０
円 円 円 円 円 円 円 円
定形外郵便物で扱っている重量は４ｋｇまでです。
【指導の狙い】
身の回りの事象の考察を通して，関数の意味を理解できるようにする。
【授業アイディア例】
郵便料金を求めよう。
問題 Ａ君は２４０ｇの郵便物を送ろうとしています。
Ａ君はＢさんが１２０ｇの郵便物を２００円で送ったという ことを聞きました。Ａ君が送ろうとしている２４０ｇの郵 便物はいくらかかるでしょうか。
�����郵便��料金�������料金���をよ���。
重さが２倍だから，料金も２倍の ４００円になるんじゃないかな。
お母さんが１００ｇで１２０円のコーヒー 豆を，３００ｇで３倍の３６０円で買ってい るのを見たことがあるよ。
Ｃさんは郵便料金について調べ，下のような定型外郵便物の料金表を見つけました。
あれ，Ａ君の料金は４００円だと 思ったら…。２４０ｇの料金は２４０ 円だね。料金はどうやって決まっ ているんだろう。
【留意点】
○ 一方の数量が決まればもう一方の数量が決まるという関数の見方を意識させ，
「○○は△△の関数である」という表現を口述したり記述したりする活動を充実させる。
○ 本学習内容を中学校第３学年で扱う場合には，定形外郵便物の料金をグラフに表現して 考察することが考えられる。
一方の値が２倍，３倍…になると，
もう一方の値も２倍，３倍…になるのは 比例だったね。小学校で勉強したね。
郵便物の料金は，サイズと重さによって決まります。縦，横，厚さによって 定型か定形外かが決まり，それぞれの重さによって料金が決められています。
２人の郵便物は定形外ですね。
比例じゃないんだね。
重さが２倍になれば料金も２倍 になると思ったのに。
− 164 − − 165 − 問題の概要
Ａ９ 定形外郵便物の料金表から，重量と料金の関係について，正しい記述を選ぶ。
学習指導要領における領域・内容
［第１学年］Ｃ 関数 （１）ア （平成２０年告示）
ᲬᲨ᧙ૠ᧙̞ƷॖԛǛᄩᛐƢǔŵ
関数
ともなって��る２つの�数，があって，の値を決めると，それに 対応するの値がただ１つ決まるとき，はの関数であるという。
ᲭᲨƍǖƍǖƳ᧙̞Ǜ᧙ૠƱƍƏᙻໜưਵƑႺƢŵ
次の各問いに答えなさい。 図１
① １ｍの値段が２４０円のリボンを買うとき，
値段は長さの関数ですか。
② 図１のように面積が一定の長方形の，
横の長さは縦の長さの関数ですか。
図２
③ 図２のように周の長さが一定の長方形の，
横の長さは縦の長さの関数ですか。
④ 定形外郵便物の重さは料金の関数ですか。
○ 生徒が，比例・反比例だけが関数であると誤解しないよう，上記③のような様々な関数 を取り上げて指導する必要がある。
○ 平成２０年告示の学習指導要領で新規に示され，平成２３年度については移行措置によっ て指導することになった内容である。
２４ｃｍ
１ｃｍ ２ｃｍ ３ｃｍ ４ｃｍ １２ｃｍ ８ｃｍ ６ｃｍ
７ｃｍ １ｃｍ
２ｃｍ
６ｃｍ
これまでに学んできたいろいろな関係も，関数になっているか調べてみよう。
郵便物の重さが決まると料金がただ１つ決まりますね。このように，２つの数量 の関係について，一方の値が決まるとそれに対応してもう一方の値がただ１つ決ま るとき，関数の関係にあるといいます。今の場合，重さを決めると料金がただ１つ 決まるので，「料金は重さの関数である」といいます。
重さが違っても料金が同じことがあるけど，重さが 決まったら料金は決まるということだね。
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授業アイディア例⑦
○ 表，式，グラフを関連付けて考えることを通して，反比例の関係を理解し，具体的な事 象で２つの数量の関係が反比例であることを見いだすことができるようにする。
〔対象学年：第１学年以上〕
【指導のねらい】
表，式，グラフを関連付けて考えることを通して，反比例の関係を理解し，具体的な事象 で２つの数量の関係が反比例であることを見いだすことができるようにする。
【授業アイディア例】
１．具体的な事象を取り上げ，反比例の関係について表，式，グラフを関連付けて理解を深 める。
問題 面積が１２ｃｍ２の長方形の横の長さをｃｍ，縦の長さをｃｍとします。
との関係を表，式，グラフに表しなさい。
（１） 横２ｃｍ，縦６ｃｍの長方形は，表，式，グラフではどのように表現されるかを確 認し，関連付ける。
（２） 表，式，グラフでは，が２倍，３倍，４倍，… になると，は ， ， ，…
１｜２ １｜３ １｜４
になることを確認する。
グラフ
式 ２×６＝１２
（＝１２）
表
… １ ２ ３ ４ ５ ６ …
… １２ ６ ４ ３ ２．４ ２ …
事象
６
２
６
２
Ｏ
278
-− 166 -− − 167 −
２．具体的な事象で，２つの数量の関係が反比例の関係かどうかを判断する。
（１） ２つの数量の関係を調べるために，どのような方法を用いるか（表，式，グラフ）
を考える。
（２） 例えば，として適切な数値を自分で決め，対応するの値を調べる活動を取り入 れて，表につなげる。
（３） 表，式，グラフなどの表現を利用して，それぞれの特徴から反比例かどうかを判断 する。
【留意点】
○ 数量の関係を調べるときに，具体的な場合について数値を用いて調べていこうとする方 法を自ら選択できるようにすることが必要である。指導では，この活動を表，式，グラフ による表現につなげ，これらを関連付けて考えることができるようにする。
このことは，反比例に限らず，比例・一次関数の学習などいろいろな場面で取り上げる ことが大切である。
６
Ｏ
グラフ
２
例１ １２ｍのリボンを人で同じ長さに 分けたとき，１人分の長さは，ｍで ある。
例２ １２ｍの針金で長方形をつくった とき，横の長さをｍ，縦の長さを
ｍとする。
例１ ＝２（２人）のとき，
＝６（１人分６ｍ）
例２ ＝２（横が２ｍ）のとき，
＝４（縦は４ｍ）
表
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ …
１２ ６ ４ ３ ２．４ ２ …
表
１ ２ ３ ４ ５ …
５ ４ ３ ２ １ …
式 １２ ÷ ２ ＝ ６
（ １２ ＝ )
２×６＝１２ ( ＝１２ )
式 ２×２＋２×４＝１２ (２＋２＝１２) ２＋４＝６
(＋＝６)
４ 事象
横 ２ m， 縦 ４ｍ の 針金
２ ４
Ｏ
グラフ
２ 事象
６mのリボン ２本
６ ６
279
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授業アイディア例⑧
○ 反比例の関係について，比例定数の意味を理解できるようにする。
〔対象学年：第１学年以上〕
１２ は１２÷のことですね。
だから，＝１２ は＝１２÷のことです。
の値をの値でわった商が１２ですか。
それとも，の値との値の積が１２ですか。
どちらが正しいか表をつくって調べてみ ましょう。
の値をの値でわると，
１２÷１＝１２，６÷２＝３のように いろいろな値になり，いつも１２になる とは限らないことが分かりました。
表から，との値の積は，
いつも１２です。
【指導のねらい】
反比例の関係について，比例定数の意味を理解できるようにする。
【授業アイディア例】
＝１２ の，の関係についてどのようなことがいえますか。
言葉で説明してみよう。
������������������
の値をの値でわると，１２かな。
１２÷がです。
���������������������
の値を計算すると，
＝１のとき １２＝１２÷１＝１２ １
＝２のとき １２＝１２÷２＝６
… ２…
… －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ … １２ １２ １２ １２ １２ １２ １２ １２
… －４ －３ －２ －１ １ ２ ３ ４ …
… －３ －４ －６ －１２ １２ ６ ４ ３ …
������，������������
【留意点】
○ 反比例の式＝ a を「の値は比例定数をの値でわった商である。」と言葉で表現 したり,反比例の式＝aを「の値との値の積が比例定数である。」と言葉で表現し たりして,比例定数と式の意味を理解できるようにすることが大切である。
の値にの値をかけた値が１２に なると思います。
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授業アイディア例⑨
○ 二元一次方程式
ax+by=c
のグラフは，この式を満たす（x , y ）を座標とする点の集合
であることの理解を深めるために，二元一次方程式のグラフが直線になることを確かめる ことができるようにする。 〔対象学年：第２学年以上〕○ 方程式による表現とそのグラフによる表現を相互に関連付けてとらえることが大切であ る。
例えば，連立二元一次方程式の解が特別な場合を除いて１つに決まることについて，それ ぞれの二元一次方程式の解を座標とする点の集合が２本の直線で表されることに結びつけ，
２直線の交点が１つに決まることに関連付けて解釈できるようにすることなど，式の表現と グラフの表現の意味を結び付ける活動を取り入れることが考えられる。
【指導のねらい】
二元一次方程式 a＋ b＝c のグラフは，この式を満たす（，）を座標とする点の 集合であることの理解を深めるために，二元一次方程式のグラフが直線になることを確かめ ることができるようにする。
【授業アイディア例】
問題 二元一次方程式２－＝３を満たす２通りの（，）をどのように選んでも，
２点を結ぶ直線の傾きがいつも２であることを確かめなさい。
１．二元一次方程式２－＝３のグラフ上で座標が次の点をとり，２点を結ぶ直線の 傾きを求める。
① 座標が０と座標が１
② 座標が０と座標が２．１
③ 座標が－１．１と座標が－０．４
２．他に適当な２点をいくつか選んで，傾きを求め，次のことを確認する。
・傾きが２で一定であること
・どの点も直線上に並んでいること
【留意点】
○ グラフの傾きがいつも一定であり，また，求めた点がすべて同一の直線上にあることか ら，二元一次方程式の解を座標とする点の集合は，直線となることを実感できるようにする。
①
０ １
－３ －１ グラフの傾き＝ ＝２
２｜１
②
０ ２．１
－３ １．２
グラフの傾き＝４．２÷２．１＝２
③
－１．１ －０．４
－５．２ －３．８
グラフの傾き＝１．４÷０．７＝２ ０．７
１．４ ２．１
４．２ １ ２
Ｏ
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