課題として考えられる内容の解決に向けた 授業アイディア例
数学的に表現したり，数学的に表現された ものの意味を読み取ったりすること
中学校 数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例
数学的に表現したり、数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすること− 192 − − 193 −
５ 「数学的に表現したり，数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすること」
授業アイディア例⑱
○ 具体的な例を基に説明の見通しをもち，文字式を活用し，根拠を明らかにして，それに 基づいて結論を導くことを通して，事柄が成り立つ理由を一般的に説明できるようにする。
〔対象学年：第２学年以上〕
【指導のねらい】
具体的な例を基に説明の見通しをもち，文字式を活用し，根拠を明らかにして，それに基 づいて結論を導くことを通して，事柄が成り立つ理由を一般的に説明できるようにする。
【授業アイディア例】
問題
右の図のように，３段に並んでいる○の１段目 に連続する３つの自然数を順に入れます。そして，
隣り合う２つの数の和を２段目の○に入れ，同じ ようにして３段目の数を求めます。
(1) １段目にいろいろな自然数を入れて，３段目が どのような数になるのかを調べなさい。
(2) (1)で発見した性質が成り立つ理由を説明し なさい。
１．具体例を基に３段目の数について調べ，成り立つ性質を予想し文で表す。
３段目の数について予想した性質を ・３段目の数は偶数になる。
文で表してみましょう。 ・３段目の数は４の倍数になる。
「１段目にどんな連続する自然数を順に入れても，
３段目の数はいつも４の倍数になる。」
２．４の倍数になることの理由を説明するための見通しをもつ。
１０ ， １１ ， １２ の と き １段目
２段目
３段目
(１０＋１１)＋(１１＋１２)＝２１＋２３ ・別の数字でも考えてみよう。
＝４４ (１＋２)＋(２＋３)＝３＋５
＝８
(２４＋２５)＋(２５＋２６)＝４９＋５１ ・大きい数でも４の倍数になるのかな？
＝１００ (１０６＋１０７)＋(１０７＋１０８)＝２１３＋２１５
＝４２８
・偶数になる。 ＝４×１０７
・４の倍数になるのかな？
４の倍数になる！
４の倍数を表す式はどういう形に なるのかな？
・ ４４＝４×１１，１００＝４×２５だから，
式は４×□の形になるね。
・ 文字式を使って説明する場合も，式を ４×□の形にすればよさそうだ。
306
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３．「１段目にどんな連続する３つの自然数を順に入れても，３段目の数はいつも４の倍数 になる。」ことを，文字式を使って説明する。
連続する３つの自然数のうち，
最も小さい数をとすると， ・連続する３つの自然数を１つの文字を ３つの自然数は，，＋１，＋２ 使って表す
と表される。
このとき２段目の数は，それぞれ
＋(＋１)＝２＋１
（＋１)＋(＋２)＝２＋３
であるから，３段目の数は ・４×□の形にする
（２＋１)＋(２＋３)＝４＋４
＝４(＋１） ・「４(＋１）は４の倍数である」の
＋１は自然数だから， 根拠「＋１は自然数だから」を ４(＋１）は４の倍数である。 しっかり書く
したがって，３段目の数は４の倍数で
ある。 ・結論をしっかり書く
【留意点】
○ 具体的な例を参照させながら，４の倍数になることを示すには，４×□の形に式変形す ることが大切であることを確認する。
○ 文字式での説明では，結論とその根拠の記述を省略しないようにする。
○ 文字式を使った説明を振り返り，説明をよりよいものに改善したり，新たに分かる性質 を発見したりする活動を取り入れることも考えられる。
見通しをもって，文字式や言葉を使って説明することが大切だね。
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授業アイディア例⑲
○ 数についての性質が成り立つことを文字を用いて一般的に説明できるようにするととも に，ある事柄が成り立たないことを示すには，反例を１つあげればよいことを理解できる ようにする。 〔対象学年：第２学年以上〕
３，５，７の和は，１５になります。
１５は９の倍数ではありません。
３，５，７のとき，和は１５，
５，７，９のとき，和は２１，
……，
例をいくつあげればいいのかな。
【指導のねらい】
数についての��が成り立つことを��を�いて���に説明できるようにするととも に，ある事柄が成り立たないことを示すには，反例を１つあげればよいことを��できる ようにする。
【授業アイディア例】
ᲫᲨφ˳ႎƳ̊ǛؕƴᲦᡲዓƢǔᲭƭƷڈૠƷԧƕᲳƷ̿ૠƴƳǔƔƲƏƔǛᄩᛐƢǔŵ １＋３＋５＝９
３＋５＋７＝１５ ５＋７＋９＝２１…
ᲬᲨƋǔʙƕǓᇌƨƳƍƜƱǛᅆƢƴƸᲦӒ̊ǛᲫƭƋƛǕƹǑƍƜƱǛྸᚐƠᲦ žᡲዓƢǔᲭƭƷڈૠƷԧƸᲦᲳƷ̿ૠưƋǔŵſƕദƠƘƳƍྸဌǛᛟଢƢǔŵ
【留意点】
○ 成り立たないことの説明は，三角形の合同条件を指導する際に，２辺と（その間の角 ではない）１つの角が等しい場合を取り上げることも考えられる。
いつでも９の倍数になるのかな。
９の倍数にならない場合があるので，健太さん の予想は正しくないことが分かります。
この予想が正しくないことは，どのように説明 すればいいでしょうか。
どうすれば，説明したことに なるのだろう。
９の倍数にならない例を あげればいいのかな。
ある事柄が成り立たないことを示すには，
成り立たない例を１つあげれば十分です。
その例を「反例」といいます。
健太さんの予想が正しくないことの説明を反例を使って書いてみましょう。
-278-− 194 -278-− − 195 −
１＋３＋５＝９ ３＋５＋７＝１５ ３の倍数になりそう。
ᲭᲨᙸႺƠƨʖेǛž᳸ƸᲦäƴƳǔŵſƷ࢟ưᘙƠᲦ૨܌ࡸǛ̅ƬƯᛟଢƢǔŵ
予想
「連続する３つの和は，３の倍数になる。」
ᲮᲨƍǖƍǖƳૠƷࣱឋƴƭƍƯᲦǓᇌƭƔƲƏƔǛʖेƠᲦᛟଢƢǔŵ 例 ２の倍数と３の倍数の和は，５の倍数になる。
○ 成り立つことの説明，成り立たないことの説明をする際には，結論とその根拠を省略し ないようにする。
○ 成り立つことの説明については，平成２１年度調査【中学校】報告書（３０６，３０７ペー ジ）参照。
事柄が成り立たないことの説明をする場合も，結論とその根拠を 明確にすることが大切です。
９の倍数ではないことが分かりましたが，
これまで調べたことから他にどんなことが いえそうでしょうか。
その予想を「～は，…になる。」の形で 表して，正しいことの理由を説明してみま しょう。
-279-− 196 -279-− − 197 −
授業アイディア例⑳
○ 図形についての証明を読み，証明を振り返り，発展的に考えることができるようにする。
〔対象学年：第２学年以上〕
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｄ
【指導のねらい】
図形についての証明をよ�，証明を�り�り，���に考えることができるようにする。
【授業アイディア例】
■次の問題の証明をよんで，発展的に考えてみよう。
問題
右の図のように，ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの 辺ＡＢ，辺ＡＣ上にＡＤ＝ＡＥとなる点Ｄ，点Ｅをとる とき，ＢＥ＝ＣＤとなることを証明しなさい。
��問題の証明をよ�。
問題の証明
△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて，
仮定から，
ＡＢ＝ＡＣ ……① ＡＥ＝ＡＤ ……② 共通な角だから，
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ ……③
①，②，③より，
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，
ＢＥ＝ＣＤ
��証明をよみ��て����，証明の��みを��え�。
【留意点】
○ 図１の場合について考える際，証明の意義について触れるようにする。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ
この証明では，２辺とその間の角がそれぞれ等しいという合同条件を 用いていますが，それはどの辺や角のことですか。
また，それらが等しいことはどうして分かるのですか。
結論のＢＥ＝ＣＤを示すために，どの三角形に着目していますか。
それらに着目しているのは，なぜですか。
△ＡＢＥと△ＡＣＤに
着目しています。 それらは，ＢＥとＣＤを含む ２つの三角形だからです。
ＡＢとＡＣ，ＡＥとＡＤ，
∠ＢＡＥと∠ＣＡＤです。
ＡＢ＝ＡＣとＡＥ＝ＡＤは 仮定から分かります。
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤは 共通の角だからです。
Ｃ
-294-− 196 -294-− − 197 −
では，図２のように下に延長した直線上にＡＤ＝ＡＥとなる 点Ｄと点ＥをとってもＢＥ＝ＣＤは成り立ちますか。
ᲭᲨவˑǛ٭ƑƯᲦႆޒႎƴᎋƑǔŵ
ᲮᲨႆޒႎƴᎋƑƨբ᫆ƷᚰଢǛᲦNjƱƷբ᫆ƷᚰଢǛӋᎋƴƠƯܦƢǔŵ
○ もとの証明の何が変わり何が変わらないかを確認することが大切である。
図２の場合について証明すると，
最初の証明と全く同じになるね。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ
図２
最初の証明を参考にして考えてみようよ。
では，証明をノートに 書いてみよう。
図３ Ａ
Ｂ Ｃ
Ｅ Ｄ
図１ Ａ
Ｅ
Ｂ Ｃ
Ｄ
点Ｄと点Ｅは辺ＡＢ，辺ＡＣ上ならどこにとっても，
ＢＥ＝ＣＤは成り立ちますか。
図１のような場合もＢＥ＝ＣＤは 証明されています。
図２の場合でもＢＥ＝ＣＤはいえるよ。
図３のように，上に延長しても，
ＢＥ＝ＣＤはいえるのかな。
ＢＥ＝ＣＤはいえそうだけど，
同じ証明のままでいいのかな。
図３の場合について，
ＢＥ＝ＣＤの証明を 考えてみよう。
仮定からＡＢ＝ＡＣと ＡＥ＝ＡＤはいえるね。
∠ＢＡＥと∠ＣＡＤは等しそう だけど，共通な角ではないね。
-295-− 198 -295-− − 199 −
授業アイディア例㉑
○ 証明を振り返り，類似の場面での証明を考えることを通して，ある図形について証明さ れた性質は同じ条件を満たすすべての図形について例外なく成り立つことについての理解 を深めるとともに，新たな性質を見いだすことができるようにする。
〔対象学年：第２学年以上〕
Ａ Ｅ
Ｂ Ｃ
Ｄ
【指導の狙い】
証明を振り返り，類似の場面での証明を考えることを通して，ある図形について証明さ れた性質は同じ条件を満たす全ての図形について例外なく成り立つことについての理解を 深めるとともに，新たな性質を見いだすことができるようにする。
【授業アイディア例】
次の図で成り立つ性質について考えよう。
△ＡＢＣにおいて∠ＡＢＣの二等分線と∠ＡＣＢの 二等分線をひき，それらの交点をＤとします。
また，点Ｄを通り辺ＢＣに平行な直線ℓをひきます。
����の���よ�で��いてい������に��。
問題とその証明
問題 図１で直線ℓと辺ＡＢとの交点をＥとします。
このとき，ＥＢ＝ＥＤとなることを証明しなさい。
証明
△ＥＢＤにおいて，
仮定から， ∠ＤＢＣ＝∠ＥＢＤ ……① ＥＤ//ＢＣで，平行線の錯角は等しいから，
∠ＤＢＣ＝∠ＥＤＢ ……②
①，②より，∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ
２つの角が等しいから，△ＥＢＤは二等辺三角形である 二等辺三角形は２辺が等しい三角形であるから，
ＥＢ＝ＥＤ
ＢＤは∠ＡＢＣの二等分線です。
結論のＥＢ＝ＥＤは△ＥＢＤの ＥＤはＢＣに平行です。 ２辺のことです。
�������の��で図�の性質�����。
図２のように，直線ℓと辺ＡＣとの交点
をＦとします。このとき，ＦＣ＝ＦＤとなる △ＦＤＣに着目すると ことの証明を考えて，書きましょう。 よさそうだよ。
【留意点】
○ ２つの証明を比較し，同じ証明であることを確認する際には，対応する図形の要素を明 らかにし，記号も対応させて用いることができるようにすることが大切である。
○ 本問題のような場面で，証明を振り返り新たな性質を見いだす活動を取り入れることが 大切である。
ℓ
ℓ
図１ Ａ
Ｃ Ｂ
Ｄ
この証明で用いられている条件は，この図のどの部分について成り立つ 事柄ですか。また，導いている結論は図のどの部分のことですか。
次の問題とその証明を読んで，その仕組みについて考えてみよう。