図2‑3‑20(b)純 せ ん 断 が 作 用 す る 場 合
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(1)純 せ ん 断 状 態 に お け る せ ん 断 歪 み エ ネ ル ギ ー
純 せ ん 断 状 態 の 場 合 の せ ん 断 力Qは 分 布 荷 重 と 等 価 な も の を 考 え る 。 従 っ て 、Qは 次 式 で 表 わ さ れ る 。
QニqltBP△6/2(Z‑3‑50)
純 せ ん 断 の 場 合 の 歪 み エ ネ ル ギ ー は 、 せ ん 断 面 の 面 積 を △A.(・26Q)と す る と 次 式 で 示 さ れ る 。
△ ▽s=〜voidVsO
=(1/2)G〜vγ2d(vol)
=(1/2)G〜v(Q/G△A5)2d(vol)
̲(1/Z){Q2/(GOAS)}2t
=(1/2)(q12tBP2△6204)/(2G△As)
こ こ で 、 次 式 で 示 さ れ る 形 状 比 λ と 、 λ ・OeG/OL
添 接 板 の 母 材 に 対 す る 板 厚 比 η η ニ(2tSP)/tBP
を 導 入 す る と 、 式(2‑3‑51)は 次 式 で 示 さ れ る 。
△ ▽s二(1/2)(qi20t2△Ob/G)[1/{(1+η)2λ}]
(2‑3‑51)
(2‑3‑52)
(2‑3‑53)
(2‑3‑54)
(2)分 布 型 せ ん 断 力 が 作 用 し た 場 合 の せ ん 断 歪 み エ ネ ル ギ ー
図2‑3‑20(a)に 示 さ れ る よ う な 分 布 型 せ ん 断 力 が 作 用 し た 場 合 の せ ん 断 歪 み エ ネ ル ギ ー △V.を 求 め る 。 こ の 種 の 問 題 は 弾 性 論 で 扱 っ て お り 、 例 え ばS.P.Timoshenko
他 の 著 書49)に も 記 述 さ れ て い る 。 し か し 、 作 用 荷 重 の 形 状 が 異 な っ て い る の で 直 接 利 用 す る こ と が で き ず 、 以 下 に 展 開 す る こ と に す る 。
外 荷 重Qi(y)お よ びQ2(y)はFourier級 数 表 示 す る と 次 式 で 示 さ れ る 。
oo
Q1(y)=(a。/2)+Σ{arcos(rπy/04)+brsin(rπy/t)}..(2‑3‑55) r=1
∞
Q2(y)ニ(a。'/2)+Σ{a,'cos(rπy/04)+b,'sin(rπy/そ)}..(2‑3‑56) r=1
こ こ で 、rはFourier級 数 の 項 数 を 示 し て お り 、a。 、a。'、a,、a,'、b,、b,'は 定 数 で あ る 。 こ れ ら の 定 数 は 外 的 釣 合 条 件 式 、
qltBP‑2q2tsPニ0(2‑3‑57)
ま た は 上 式 に 式(2‑3‑53)を 代 入 し て 得 ら れ る 次 式 、 qi一 ηQ2=0(2‑3‑57')
を 用 い る と 次 式 で 示 さ れ る 。
ao=2(そ 一tSP)q1/Ot
=2q1/(η+1)
ao'ニ2tspq2/そ ニ2q1/(η+1)
arニ{2(t‑tsP)qi/竜}sin{rπ(t‑tsP)/そ}/{rπ(竜 一tsP)/t}
ニ2qisin{rπ/(η+1)}/(rπ)
aド ニ(4cq2/t)cos{rπc/t}sin{(rπtsP/2)/t}/(rπc/t) ニ ー2qisin{rπ/(η+1)}/(rπ)
Ur=bra=O
(2‑3‑58)
60
ま た 、 こ こ でcは 添 接 板 に 加 わ る 分 布 荷 重 相 互 の 中 心 間 距 離 で あ る 。 c=(tBP+tsP)/2...(2‑3‑59)
Q2(y)に つ い て 、Fourier級 数 の 項 数 を1、3、5、7、11と し た と き の 近 似 の 様 子 を 調 べ た 結 果(η ・1.0の 場 合)を 図2‑3‑21に 示 す 。
図2‑3‑21か らFourier級 数 の 項 数rが3程 度 ま で は か な り 粗 い 近 似 と な る が5以 上 で は 項 数 に よ る 近 似 度 の 差 が 僅 か な も の と な る こ と が わ か る 。
1.1
"N﹃こ﹀}NO
1
tBP/2
Z▲昌TIー z▲→lll
(a)r=1,3,5 (b)r=7,9
図2‑3‑21分 布 型 外 荷 重 のFourier級 数 近 似(η ニ1.0の 場 合)
(3)Airyの 応 力 関 数 を 用 い た せ ん 断 応 力 分 布 解 析
弾 性 論 に お け る 平 面 問 題 の 平 衡 方 程 式 は 次 式 で 表 わ さ れ る 。
▽4Φ=0(2‑3‑60) ま た は 、
(∂4Φ)/(∂y4)+2(∂4Φ)/(∂2y∂2z)+(∂4Φ)/(∂z4)=0...(2‑3‑60') こ こ で 、 下 式 に 示 す よ う な 応 力 関 数 を 考 え る 。
<r)
Φ=sin(rπy/OL)・f(z),(r=1,2,3,...)(2‑3‑61)
ま た は 、
くr
Φ=cos(rπy/04)・f(z),(r=1,2,3,...)(2‑3‑61')
上 式 に お け るf(z)はzの み の 関 数 で あ る 。 い ま 、 ω.=rπ/そ(2‑3‑62)
と お き 、 さ ら に 式(2‑3‑61)ま た は 式(2‑3‑61')を 式(2‑3‑60')に 代 入 す る と 次 式 が 得 ら れ る 。
(r><r)(r>
cvr4f(z)‐2cvr2flr(z)+fl"(z)=0...(2‐3‑63)
こ こ で 、II、Ivは そ れ ぞ れzに 関 す る2階 お よ び4階 の 偏 微 分 を 表 わ す 。 式(2‑3‑63)の 一 般 解 は 、
<r>
f(Z)=CICOShω,Z+C2Sinhω,Z+C3Zω.ZCOShω,z+C4ZSinhω,Z
(2‑3‑64) で あ る の で 、 応 力 関 数(式(2‑3‑61)ま た は 式(2‑3‑61'))は 次 式 で 示 さ れ る 。
Φ=Sinω.y(CICOShω,Z+C2Sinhω,Z+C3zcOShω.Z+C4ZSinhω,Z)
(2‑3‑65) Φ=COSωry(clCOShω.Z+C2Sinhω,Z+C3ZCOShω.Z+C4ZSinhω,Z)
(2‑3‑65') 従 っ て 、 式(2‑3‑61)で 示 さ れ た 応 力 関 数 に 対 す る 各 応 力 成 分 は
くr
σy=(∂2Φ)/(∂z2)=sinω,y[C1ω.2coshω,z+C2ω,2sinhω,z+
C3ωr(2SinhωrZ+ω.ZCOShωrZ)+C4ωr(2COShω,Z+ωrZSinhωrZ)]
rラ
σzニ(∂2Φ)/(∂y2)ニ ー ω,2sinω,y(clcoshω.z+C2sinhω,z+
C3zcoshω.z+C4zsinhω,z)
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くr
τyz=(∂2Φ)/(∂y∂z)=一 ω,cosω,y[C1ω,sinhω,z+C2ω,coshω,z+
C3(COShω,Z+ω,ZSinhω,Z)+C4(Sinhω,Z+ω,ZCOShω,Z)1
(2‑3‑66) と な る 。 式(2‑3‑61')の 応 力 関 数 に 対 す る 各 応 力 成 分 も 同 様 に 求 め ら れ 、 こ れ は 上 式 中 のSinをcOSに 、 あ る い はCOSをSinに 置 き 換 え る だ け で よ い 。
積 分 定 数C、 〜C。 は 次 に 示 す 境 界 条 件 、
z=+4に お い て τY,ニ0,σ.ニQ1(y)
z=一 ∂ に お い て τy、=0,σzニQ2(y)(2‑3‑67) か ら 求 め ら れ る 。
式(2‑3‑67)の せ ん 断 応 力 度(τ,。)の 条 件 よ り 、2種 の 応 力 関 数 に 対 し て 全 く 同 様 な 式 が 得 ら れ る 。
C3=‑C2(ω,COShω.∂)/(COShω,Q+ωr∂SinhωreG)
C4=‑C、(ω.Sinhω,∂)/(Sinhω,∂+ω,/p/eGCOShω,∂)...(Z3‑68)
ま た 、 式(2‑3‑67)の 直 応 力 度(σ 、)の 条 件 よ り 、 式(2‑3‑61)で 示 さ れ た 応 力 関 数 に 対 し て は 次 式 が 得 ら れ る 。
一 ω ,2Sinω,y(CICOShω,Q+C2Sinhω.4+C3∂COShω.∂+
Ca∂sinhω,∂)=Qi(y)
一 ω ,2Sinω,y(CICOShω.∂‑C2Sinhω.Q‑C3uneLCOShω.4+
C4∂sinhω.4)=Q2(y)(2‑3‑69)
同 様 に 、 式(2‑3‑61')の 応 力 関 数 に 対 し て は 、sinをcosに 置 き 換 え た 式 が 得 ら れ る 。 線 形 系 の 場 合 は 重 ね 合 わ せ が 可 能 で あ る の で 、 外 力 項Qi(y)、Q2(y)を 定 数 部 分 と 三 角 関 数 を 含 む 項 に 分 離 し て 別 々 に 解 を 求 め 、 あ と で 加 え 合 わ せ を 行 な え ば 良 い 。
外 力 の う ち 、 定 数 項a。,a。'に よ る 解 は そ れ ぞ れ 次 式 で 示 さ れ る 。
く
6y=0
(0), 6z=ao=ao