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22. 2. 4 ニオブ薄膜超電導体の熱安定性の数値計算
これまで， 静的平衡の各基準における相互の関係を比較検討し， 飾的手衡斑 論の体系化を行なった. また， 最小伝播領域(MPZ)および最小回復領域(MRZ) において， それぞれ非 定 常熱伝導方程式を現実の熱擾 乱を想 定した初期 加 熱 条 件とともに数値的に解し\て， 動的条件下の超電導体の応答を氾度やエネルギー の観点より吟味し， 静的平衡理論との関係を理論的に明らかにしてきた. 次に，
実験的な検証を次の章で行うが， ここでは， 実験と同 様の系で数値計
算
を行う.数値計算は， 計算の対象とする超電導体がニオブ薄膜超電導体に変わる点と 境界条件が多少変わる以外は先の2.2. 3項のDynamic MPZと同様である.
(1)初期条件， 境界条件および発熱条件
図2.47に示すような長さLxの導体を考える. この導体の対称中心から 距離Xの点の温度T(X，S)は， 一次元非定常熱伝導方程式(2. 74)により表 される. とこでは， この基礎方程式を次の初期条件および境界条件で数値 的に解く.
初期条件:
T(X，O)
=九
(2.121)境界条件:
ヱ i} X � T(x， - ' -- ' s)1 - '1
x=o = 0- K
dX �� T T(x，S) 1 |Lr
=Q
(2. 122)
(2. 123)
ここに， X二Oは対称中心をあらわし， Lxは導体の長さ， Qは導体の単位表面 積、 単位時間当たりの冷却量である. つまり， 中心では断熱， 両端では液体ヘ
リウムにより冷却されるとしている.
112
qu nH a.，、C HU AU nH O 陀n 叩市 eo normal region sn
ト」ovoコ刀COU』Oω」コ担問
hot region
aE2
x=Lx/2 x=Q
center of symmetry hot end
origin of co-ordinate x
Schematic of hot region along conductor
113
Fig.2.47
ここで， 式(2.6)から式(2.14)および、式(2.75)から式(2.78)を用いて無次元化 を行うと， 以下のようになる.
初期条件:
境界条件:
t(x，O)二O (2. 124)
三
t(xτ)1
= 0 (2. 125)- k �1
= q (2. 126)òxl 1 α
ここに， αは以下の式により与えられる.
KB
(1�一九)
(2. 127) XchQmax
加熱条件は， 加熱長さX，I1I， 加熱時間Siniおよび加熱量Hの加熱ノξターンを採 した. 無次元化して次式に示す. (図2.32)
加熱条件:
O<x三XH11 かつ 0<τ三九i η=η1111
らi<X
す
または (2. 128)また， 導体の発熱量は次のように与える.
TaくTくT。 かっ IくJSC.B : G = 0 T三1'a または I三lSC_B
G U一M
(2. 129)
無次元化すると次式のようになる.
導体の発熱:
O<t<l かつ i<l : g=O
f三l または i � 1 : g = ei2 (2. 130)
114
(2) 離散化
バ(2. 79)を離散化する7)が， 結果そのものは前節の式(2. 89)から式(2. 105)と
同様である. た だ し， 泳 = 1jN とし， 栴子点の番号は ， x=o より m = 1.2.3・・・Nと決める.
格子点m = 1での瓶度の計算は次のようになる.
αptp = aEtE + b
G円 二一一三-K
� (&)e
o tu / 2
a..-. =c 一一一一一
p �p ðτ
。p 二-a� +a"'"E ' "'p o
b二(g-q+η)位/2河川
格 子 点m = Nでの温度の計算は， 以下のようになる.
aptp = awtw + b
テ テ に，
a... 二一一二--.. (&)w K
o tu / 2
α =c 一一一一
p νp 企τ
αp -=α"'1グ+α? u
b = -q/α+(g- q+ヴ)tix/ 2 +σ;/;
(2.131)
(2. 132)
(2. 133)
(2. 134) (2. 135)
(2. 136)
(2. 137)
(2. 138)
(2. 139) (2. 140)
以上のような計算を各時間ステップで温度fが収束するまで繰り返し行なっ
た. ただし収束条件に関しては， この計算では， 前回の計算値との温度差が10-4 以下になると温度が収束したとみなした.
115
(3) 数値計算に使用した定数 および特性
(a) 冷媒温度と超電導導体の臨界温度
冷媒と して，大気圧における飽和液体ヘリウムを考える.そのことにより T=九二4. 2K， 1 = 0となる.超電導導体としてニオブ(Nb)を用い，臨界温度を T二九= 9K， 1 = 1とした.
(b) 超電導導体の臨界電流密度および臨界電流
本研究で使用した試料の臨界電流密度は1010A/m2で、あり15)，その臨界電流は断 面積が8X 10-8m2で、あることから800Aである. したがって， 動作電流20Aに対する 無次元動作電流はj二O. 025となる.
(c) 超電導導体の無次元発熱
超電導導体の無次元発熱は， Nb薄膜超電導導体の抵抗測定値をもとに無次元 温度の関数として近似した以下の式を使用した. 図2.48に， これらの関数を 測定値とともに示す.
0::三1<1 : g=O
1 ::三1 ::;; 14.43 14.43<1
(d) 冷却特性
: g = 0.76779 + 1.4985 x 10-31 + 1.396 x 10-212 (2. 141)
: g = 0.1649/11653
ニオブ薄膜超電導体より液体ヘリウムへの冷却特性は， 後程述べる熱伝達特 性の測定結果を無次元近似した以下の式を用いた. 図2. 49に， これらの無次元
116
Q)
10
c o
暗・4
cu '
ω c Q) 0)
a3 1
N cu E
'-z o
0.1
。 Experi円程ntal data
10
g
10 0.1
Normalized terrperature t Fig.2.48 Normalized generation
117
100
10
り
0) �I
1
0 0 にJ