‑ ん

2

‑ P  

囚

。

. . . . . .  

& 

•

(I‑Coh)/τ= 

3 . 1 8  xl0

⁶

v

J430 

口

^•

^A 

³  •

4 

囚

口 口

5 

咽E

n u  

A

∞¥{ 

いF

¥( Zo ul

︻ )

6 

図

• •

官EA

ハ

U

ハ

U

A 

0 . 0 5   0 . 0 2  

*  mJ s  0 . 0 1  

u 

L 

コヒーレンスの時間的低下率 図3.8

• •

Q 

o ̲̲̲ 

c 

⁰ 

》 .~.

•

0 

(l‑Coh)/τ= 

3.18x106U17斗30

mm  4 

•

20 

。

/ 

JG^二2‑‑‑‑15 m/s 

。

∞ ¥ ‑

。 •

•

0 0 

・

•

0 /

0 

. ︒

ハ

V

ド¥

( 5 0 υ

ー ‑ )

唱‑EA

ハ

v

n υ

  。

ハ

ウ 釘

U*

L ハUU 

0 . 0 4   0 . 0 3   m / s  

咽E

EA

n v  

AU

 

(l‑Coh)/τに及ぼす測定区!日

1 1

の影響 似J3.9

気 流 速 度 が 大 き く な る と 界 而 波 の 形 状 変 化 が 大 き く な る の に 対 応 し て く，

刈3.8は コ ヒ ー レ ン ス の 時 間 的 低 下 率 す な わ ち 界 面 形 状 の Cohが小さくなる.

ここで τは二断 面 の 時 間 変 動 膜 厚 の 遅 れ 時 間 で 気流速度が大きくなると， 急 激

υ L  

にその11航!直立が大きくなることがわかる.

変化率を示したものである.

あり，

3.3.2項 図3.8中の直線は次式で表され，

渦 拡 散 係 数 ^{C o}を求める際に使用する.

のCAL3で，

(3.2)  (1‑Coh)/τ=3.18×1 06UI

プ

4.30

つ の 測 定 断 コ ヒ ー レ ン ス の 時 間 的 低 下 率(1‑Coh)/τに 及 ぼ す

! 苅

3.9は，

般にlが 大 き い ほ ど コ ヒ ー レ ン ス の 面聞の距離lの影響を調べたものである.

しかし図3.9に見るように，

遅 れ 時 間 τは大きくなる.

最大値Cohは低下し，

l=20m mと4 m mの 場 合 で (1‑Coh)/τの値は，

大きく変化することはないようである.

その影響は互いに相殺されヲ

図3.10 液 膜 流 の 流 れ 方 向 濃 度 変 化 の 実 測 値

3.2.2  液膜内の流れ方向濃度変化の実測値

図3.10 (a) ~ (c)は液相の混合平均濃度(本章の以下ではこれを液相濃 度と呼ぶ)の流れ方向変化の実測例であり， (a) ~ (c) はそれぞれ液相流 量fが6，8および10xl0‑^sm²/sの場合を示している.流れ方向距離 xの原点 は

co

ゥを負荷した断而であり，液相濃度く C_L>は液相側界面の平衡濃度 Ce L 

で規格化している.

~13.10( a )~( c )から次のことがわかる.気相速度が小さい jG=2m/ sで は ， 液 相 濃 度 は 流 れ 方 向 に ほ ぼ 一 定 の 割 合 で 増 加 す る が ， そ の 増 加 割 合 は 小

さく，気相速度が大きいほど

co

ヲ負荷断面近傍での増加割合が大きくなり，

比較的流れ方向座棋 xの小さな領域で C~ ^Lに漸近するようになる.

3.3 

v . n

論モデ、ルによる流れ方向濃度変化の予測法

本質jで は ， 主 流 方 向 の 対 流 項 と 主 流 と 直 角 方 向 の 拡 散 項 を 考 慮 し た 定 常 の 拡 散 方 程 式 を 数 値 的 に 解 く こ と に よ り ， 液 相 濃 度 の 流 れ 方 向 変 化 を 理 論 的 に

求める方法について述べる.その方法は，以下の CAL1~()\L3 に示すように，

気液の流動状態により 三通りに分けられる.

3.3.1  液膜流が層流の場A

液膜が層流である場合，時間平均膜厚(t_6n) cと界面速度 u。で無次元化した拡 散方程式は次式となる.

+L

一ゥ

ド

﹀℃ 一

. y

︐a

一

dd

一

L 

D 

+一

勘

九 一 JT

d一t

ー ん

u  (3.3) 

これを基礎式とした.ここで x+ = x /(  ^t fm)♂  y += Y /(  t fm)♂  u J = u  L/th， 

C L + = ( C L ‑ C eL) / ( C LO ‑ C eL)ヲ DL + = D 

，

j { U i ( t fm) c }である.また cωは， x+=Oにおける液相濃度であり ，x+=OはC O_zを負荷した断面 ， ^y+=Oは気液 界面であり， y+は下方を正とした.境界条件は次のとおりである.

‑30‑

+ ハ + C LO ‑CιL  ¹  X  =り :C T  =  = 1 

CrLO ^r.  ‑ C  '‑eL 

+ ハ + CιL‑ceL ハ

Y 

= U : C L . =   = U   CrLO ^{r.  ‑}~ C ^L‑eL  θCr + 

y T   =  1  :一十 =0

dy‑' 

(3.4) 

ここで式

( 3 . 4 )

の長初の条件は， x 

=0

か ら 濃 度 境 界 層 が 発 達 し て い く こ と を 意 味 し て い る . 式(3.3)を次式のように差分化し， C L+t Jについて解いた式を，

各 格 子 に つ い て 繰 り 返 し 計 算 す る こ と に よ り ， 数 値 的 に 解 を 求 め た .

+  + 

+ C  LiJ‑CLi‑l，j  ，，+ 

ML j = tノL Xi ‑Xi‑1 

+  一C;..  C; . .一C L i人，j+1  ...̲ 1ι^J 1人，j L‑Liム，j '‑1.ι^J 人1，j‑

)y

巧

^?7;+l

一

:)y}V7j y;

一

y;一l (3.5) 

( Y ん ^{‑ Y ; ̲ 1 ) / 2}

その際， x方 向 に は2.5mを50分割，y方 向 に は 界

i i i

に近づくほど格子が細かく なるように指数的に11分割した.

こ の よ う に し て 得 ら れ た 濃 度 場 か ら ， 次 式 を 用 い て 流 れ 方 向 の 各 断 面 に お け る 混 合 平 均 濃 度 <C_L

>

^{を算定した.}

A

^{lfm)c UL(y)C Lり)の}

< CL >= 

( a )  気 流 が 層 流 の 場 合(CAL1) 

(3.6) 

気 液 両 相 が 層 流 で あ る 二次元の流動モデ、ル(17)で は ， 気 液 両 相 の 流 量 (jω 

r 

^c)が 与 え ら れ る と ， 以 下 の 式

( 3 . 7 ) " ‑ ' ( 3 . 9 )

から液膜厚さ(t f) I ' 界 面 速 度 Ui I 

および液膜内の速度分布 u

J 

lが求められる.

h4+4mGh3+3rnG(l‑l//)h2‑4rnGh// 

‑mG2//=O 

( 3 . 7 )  

Ui[ = 6 m G  (1 + h) 2 

jα/(h3+4mGh2+3mGh) 

UL + / 

= 

(1‑

y 

+ )(1 + (t f )/ Y + / H) 

(3.8)  (3.9) 

ここで fは rc/(j GcH )で 気液rJa

f n

の 流 昼 比 を， hはH/(  t f) 1 ‑1で 気 体 脳 の 厚さ を，m_Gはμ d μ Lでli1'1相 の 粘 性 係 数 の 比 を 怠 昧 し て い る . こ れ ら を 用 い た 解をCAL1とする.

( b )  気 流 が 乱 流 の 場 合(CAL2)

気 流が乱流の場合， JJ刻 字 は 深 野 ら に よ る 整 理 式(21)から算定される界面せん 断 応jJ'(  iをJtjい て 次 式 か ら 算 定 す る . そ の 際 ， 朕j手 は 非 常 に 薄 い の で ， 流 れ 方 向 の 圧 力 こ う 配 の 影 響 は 無 視 し 得 る ? す な わ ち 被 膜 内 の 速 度 分 布 が 直 線 的 で あ る と み な し て い る .

(tf)1 = 

. J 2r

cJlL /τi 

τi =λiρGjcK2/8 

r 

^{1 + 4X 1.2  ( T， P領域)}

λ; /λr:.  = ~

lJ 

I I  

^{+ 6.1 x 10 ‑5 (X 0.8 Re L ) 0.65 Re G 0. 7  ( R領域)}

マルチネリパラメータ Xは ， 次 式 で 定 義 し て い る .

X 2 = ( t P L f ) / ( r r )  

(3.10)  (3.11)  (3.12) 

(3.13) 

ここで λは 管j挙操係数， D.，は長方形管の等価直径， ρは密度， Jは 見 か け の 速度であり，気相は乱流，液相は層流として， λには二次元流れの場合の式，

λL=96/ Reしおよび λG=0.485REG‑028を月

1

いた.

な お ， 流 れ 方 向 の 圧 力 こ う 配 (‑d p /d x ) を 無 視 し な い 場 合 の 理 論 膜

( t f) l 'は次式で与えられる.

F τ

i 14‑ ¥ 

，

2 . (t f)t'3 ( dp¥ 

c = 一 一(tf ) t ，L.  + ~

I  ‑‑ ‑ : ‑ I 

2μL  j  t 3 μL  ¥ dx)  ^(3.14) 

‑32‑

式 (3.10)から得られる(t f) tは式 (3.14)か ら (‑d p /d x )の実測値を用 いて得られる(tf)t' より少し大きいが，その差は3%程度以内であるので，

無視し得るとみなしてよい.

時間平均膜厚には式(3.10)を用い，界 面 速 度 と 速 度 分 布 に は そ れ ぞ れ 以 に与える式(3.15)と式(3.16)を用いた.

Uit 

= 

2 

r 

c /( t! ) ^I 

UIJ+I=1‑y+ 

これらを用いた解をCAL2とする.

3.3.2  液膜内の乱れを考慮した場合(CAL3) ( a )  これまでの研究

(3.15)  (3.16) 

図3.5で述べたようにMcCreadyとHanra t ty(5)， BackとMcCready(o)(7lは，界 面 近 傍 の 液 膜 内 の 流 体 の 渦 運 動 は ， 波 状 界 面 に 沿 っ た 界 面 せ ん 断 応 力 の 空 間 的な変動成分に起因すると考えた解析を行っている.彼らの解析においてはヲ 流れと直角方向の(界面に対して)相対的な速度変動(これを相対速度変動と呼 び，この変動成分が乱れとなる)は， Orr‑Sommerfeldの 式 を 用 い て 算 定 し て い る が ， そ の 算 定 過 程 が 複 雑 で 不 明 確 で あ り ， 計 算 結 果 を 用 い た 実 験 結 果 と の 比 較 も 容 易 で な い . 最 終 的 な 結 論 で 彼 ら は 液 膜 内 に 乱 れ が あ る 場 合 ， 無 次 元液膜厚さ(t f m) c V L 

*  / 

1‑'  L が 10~20( 本実験の概時値)においては，液相側の 物質伝達係数 aDLを，次式で整理している.

(

α

^DL /VL本)

S c  

^L II 2 == 

0 . 1  

(3.17) 

ここで VL 

* 

(三

τ d

^i/ PL )は液相側の摩擦速度， S ^C_Lは 液 相 シ ュ ミ ッ ト 数 で ある.式 (3.17)か ら 物 質 伝 達 係 数 α D Lを求め，a DLか ら 液 膜 流 の 流 れ 方 向 濃度変化を算定した.これを本章ではMcCreadyの方法と呼ぶ.

またKomoriら(11)は，表面更新モデルを用いて，結局次式を得ている.

αDL =O.34~DLfL ^(3.18) 

ここで fLは 液 相 速 度 変 動 ス ベ ク ト ル の ピ ー ク 周 波 数 で ， 界 面 せ んl析応力 ri 

と関係づけてられている. したがって riから式 (3.18) を用いて aDLを求め，

その aD Lか ら 流 れ 方 向 濃 度 変 化 を 算 定 す る こ と が で き る . こ の 方 法 を 本 市 で はKomoriの方法と呼ぶ.

なお，

W l u i

せん断応力 r^tの算定には深野らの柊sJI式 (21)を

1

甘いた.

( b )  本 モ デ ル の 導 入

これら てつ の 方 法 で は 後 の3.4節 に 示 す よ う に 本 実 測 値 と は よ く 合 わ な い . さらに， Komori， McCreadyの 方 法 で な さ れ て い る ， 濃 度 境 界 府 が x=0で十 分発注しているという{反対;も妥、

i l

で な い . そ こ で 木 市 で は ， 以 ド に ぷ す よ う に界I耐近傍の被膜内の流体の乱れは，イ1&1々の界面波の相対運動に起凶すると 仮 定 し た モ デ ル を 提 案 し ， こ れ をCAL3と呼ぶ.このモデ、ルを計算するために 必 要 な 足 は ， 気 流 の 見 か け の 速 度 JG c '液相流量

r c

だけであり，計算:が容易 である.以下にCAL3について説明する.

液 膜 内 の 流 れ に 乱 れ が あ る 場 合 の 時 間 平 均 し た 拡 散 方 程 式 は ， 次 式 で 与 え られる(24)

む子三(

^DL

寄 ^‑uj 十

^(3.19) 

ここで は時間平均値を， ^fは 変 動 成 分 を 示 し て い る . た だ し 渦 拡 散 係 数 E_Dは 次の関係で定義される.

‑vL cL  =εD(^θCL /

の)

^(3.20) 

式 (3.19)を無次元化すると，次のようになる.

‑34‑

川 一

+  +D 

げ

D 

n d

一VJ

一

θ 九一

MA

nd

‑t  

u 

^(3.21) 

ここで X + =  x /(  t &11)♂  y + = y /(  t &11)♂  U L + = u  I/U1ヲ C If=(C Lー Cd)/ ( C ρ1

一

C e山 D L + 

= 

D L/ { U 1 ( t fm) c }，  e 0 + 

= 

e 0 /  { U j ( t fm) c }である. さらによ (3.21) を 次 式 の よ う に 変 形 し た 式 を 差 分 化 す る こ と に よ り ， 数 値 的 に 解 を 求めた.

+ θ C L + θ εD + 

a 

CL + 〆r‑. +  +、 θ2CL+

MId --7= 一一て一一-.J_-+~UL' +

ε

D' )  今

ax~ ay~

a  y T   ‑ ‑ ‑ a V +

^{ー (3.22)} 

式 (3.22) において，液股!享さに (t f) t ' す な わ ち 式(3.10)を ， 界 而 速 度 に

U j t ' す な わ ち 式(3.16)を，液膜内の速度分布iに uL 1 +， す な わ ち 式(3.16)を 用いる.以下で渦拡散係数 e_Oについて考える.

( c )  渦 拡 散 係 数 e_Oの導出

渦拡散係数 e_Oを決定するために，まず ^e_Oの決定に必要な相対速度変動 U_L: 

濃度変動 c^LTの算定法について述べ，最終的な形を導出する.

(i)  混 合 距 離IDの評価 Plan d tlの 混 合 距 離 ん に な ら っ て ， 流 体 粒 子 は 距離lOだ け 移 動 し て 元 の 濃 度 を 失 い ， 新 し い 場 所 の 濃 度 に な る と 考 え る . こ こ で ， 液 膜 内 に 生 じ る 乱 れ の 強 さ は ， 気 液 界 而 が 波 立 つ ほ ど ， か つ 気 液 界 面 に 近いほど大きいと考えた.その考え方にしたがい ，lOの液膜内の分布は，気液 界 面 ， す な わ ち 時 間 平 均 膜 厚 の 界 而 に と っ た y方 向 の 座 標 軸 の 原 点 に お い て 最大値をとり，界而からの距離の噌力11に 比 例 し て 小 さ く な り ， 波 高 hcに比例 すると仮定して，次式で与えた.

l D = h c (1  ‑

y 

+)  ^(3.23) 

(ii)  V

L

1の評価 主流に直角方向の相対速度変動 uじが，気液界面近傍 の液膜内に誘起される渦運動，すなわち式(3.23)で与えられるんを半径として，

角速度ωで回転する運動によって誘起されるとして， U Lfを次式で算定した.

¥、

X 

︑   ︑

︑ ︑

︑ ︑

¥ r 〆

︐ ︐  

︐ ︐  

︐ ︐

︐  

︐ ︐

e ︐J 

︐ ︐  

FJ

ノ J ︐  

d 

﹄

︑ ︑ ︑ ︑

︑

.   •.

︑ .

εD  r ‑ ¥  

/ 、

I  ¥ 

Gas 

t/  、

^J

¥ . /  

y 

L i q u i d  

(3.24) 

渦 拡 散 係 数 ε Dの膜厚方向分布

￨ 支13.11

ω 

D 

E ' ' u

一 一  

FむU 

側々の界而波の相対運動によっ 3.2.1項で述べたように，

その際この渦運動は，

渦 運 動 の 角 速 度 が 関3.8で 示 し た コ ヒ ー レ ン ス の 時

r m

的 低 下 ネに比例するとした. すなわち

て生じると考え，

(3.25)  ω

=(l‑Coh)/

τ 

液膜の深さ方向にらだけ離れた場所 次式を導入した.

時間平均した濃度に差があるために生じると仮定し，

濃度変動 cL?は，

cU

の 評 価

︑︑ ︐

F'・1・1

・1

/ 1︑

では，

(3.26) 

ト

^LF

^{卜川広/み￨}

次のようになる.

式(3.20)の左辺は，

以上(i)~(iii)をまとめると，

‑36‑

… ^{l i 富岡町}

^g

^{山 laζ/ の !}

^(3.27) 

式 (3.27) を式(3.20)の 右 辺 と 比 較 す る こ と に よ り ， 渦 拡 散 係 数 ε Dは次式と なる.

ε

D =

αlD2ω=α{

(1‑Coh) 1

τ

}hc2(1‑y+)2  ^(3.28) 

ここでαは上述のCAL3におけるただ一つ の 任 意 比 例 定 数 で あ り ， 試 行 錯 誤 的 に実験航と比較することにより，全ての実験条件に共通にα=0.1を採用した.

e Dの算定に必要な最として，波高 hcは実験式(3.1)から，コヒーレンスの時 間的低下率(1 ‑Coh)1τは実験式(3.2)から定まるので， ε。も流動条件だけ で定まる.図3.11は e0の膜厚方向分布を示したものであり ， e 0は図3.11に 見るように界面で設大値をとり，界面から離れるにしたがい急に小さくなり，

下壁面で0となる.

( d )アナロジについて

本モデ、ルでは渦拡散係数 ε Dのみが考慮され，流れ場に対する渦動粘性係数 εMは考慮されていない.このことについては，次のように考えられる.

運 動 量 輸 送 と 物 質 輸 送 の 類 似 性 を 考 え ， ε。= ε Mで あ る と す る . 式 (3.28)を実際に算定すると， εD (=εM) "‑' 1 0 ‑8 m 

2 1  

sのオーダである.

方，拡散係数 D_Lは10‑⁹m 

2 1  

sのオーダラ動粘性係数 ^{V L}は10‑^omケsのオーダ である. したがって ε Dが 濃 度 場 に 与 え る 影 響 は ε

D I

D L "‑' 1 0 1程度， ε Mが流 れ場に与える影響は ε

M I

V L "‑'10‑²程 度 で あ る と 考 え ら れ る . こ の こ と か ら 本 モテ、ルでは， _{ε M}は無視し得るとみなした.

3.3.3  液膜内濃度の膜厚方向分布の計算結果

CAL1 "‑'CAL3により，液膜内の断面の膜厚方向濃度分布が算定できる. Iヌ 3.12 (a)  "‑'  (c) は そ の 計 算 例 と し て ， 液 相 流 量 T=6，8および10 x 10‑⁵  m²/s，気流速度 JG=4およひ、15m/sの場合の， x =0.5mにおける値を示したも のである.図3.12中では実線がCAL1を，破線がCAL2を，そして一点鎖線が

ドキュメント内 気流に伴われて流動する液膜への物質伝達に関する 研究 (ページ 35-50)