ぺ 174

'‑.¥. 

Absorbing boundary 

第2~I staggered grid finite‑differenceをf夜 間 し た プ ロ グ ラ ム を 検 証 す る た めの 二次 元 モ デ ル.2つの平然限媒質が後してい る.1.府のPi皮i車!変1..t2999.912m/s.  Si皮速度が1732m/s.¥街度がl044kg/m'.ド肘のP波速度f.t.3009.7095m/s.Si皮速度は1737.6566 m!s.  '1軒度I..t1740kg/m³てある 2 つの奴質の筑界を伝帰する Stoneleyi皮の述 /~H話帳からプログラムの検証々 íïーった. Fig. 2  2‑D model for the verification  of the simulation program using the s!aggered grid  finite‑difference. There are two 

solid  half‑spaces. Veloci!ies of upper half‑space are 2999.912 m/s (P wave) and 1732 m/s (5 wave) and the density  is 1044 kg/m³. Velocities of lower half‑space are 3009.7095 m/s (P wave)  and 1737.6566 m/s (5  wave)  and the  density is  1740 kg/m^3. We analyze th巴velocityand amplitud巴ofStoneley wave propagati ng on the  boundary of twO  half‑spaces to  validate the simulation program 

第1表 原 点 か ら の 距 離 ご と に シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 求 め たStoneley波 の 速 度 と 理 論 速 度 の 比 較 シ ミ ュ レ ーション結果!:Jl!

高値の速いは， 20.3mの結果を除いて， Lilll % な い し は そ れ 以 下 で あ り ， 良L、一致 をIJミしている.

Table 1 Comparison  of the velocities  of 5toneley wave  between results of simulation and  the theoretical values. The  differences between calculated and theoretical val ues are very small except the val ue at  20.3 m 

Distance丘o morigin(rn) Stoneley wave velocity(rn/s) Error(%) 1 

20.30  1503.22  ‑13.2u 1l  21.70  1711.30  ‑1.2  23.10  1731.39  ー0.04 24.65  1739.09  0.41  25.90  1721.48  ー0.61 27.30  1736.35  0.25 

Theoretical value = 1732.oom/s 

‑144‑

フ ラ ク チ ャ 一 周 辺 の 知 性 波{ぷ 婚 シ ミ ュ レ ー シ ョン(鈎地tri犬)

第2&.  J点 点 か ら の 距 離 ご と に シ ミ ュ レ ー シ ョ ン て、求 め たStoneleyi皮の鉛出〔変位と水 1'‑変f'Lの比 と 理 論lf直の比 較 シミユレ ーシ ョ ン 結 果 と 理 論fltiのi主いは， f.t.ぱ5 %粍 度 で あ り ， 比 較 的 良 い一致 を ぶ し て い る

Table 2 Comparison of the wo/uo of 5ton巴leywave between results of simulation and the theoretical values. Uo and Wo i  the  horizontal  displacement and  vertical displacement of 5toneley wave^司 respectively.The differences  between  calcu lated and theoretical val ues are small 

Distance from odE1

出

9.

旦

60) wO/uO  Eπor(%)  4.329  8.60  21.00  4.300  7.90  22.40  4.274  7.20  23.80  4.251  6.60  25.20  4.231  6.10  26.60  4.213  5.70  28.00  4.197  5.30 

Theoretical value = 3.986 

Where w O  and uO are the vertical and horizontal displacernent on the boundary， respectively. 

ペ ぺ

^{sorω b巾}

J 

& 

" 

ト ¥

_{軍..........¥.}

200.1 m 

Formation 

出当畠

_..   

お令

Fracrure 

ノ

Foηηation 

4 

E 

，・4

8 

F4  X 

Fluid in the fracture 

vf=1500 m/s， pf=lOOO kg!

r r f  

Formation 

vp=3000 m/s， vs=1604 m/s， p=2400 kg!

r d  

Absorbing boundary

・ :

Observation point  dx=O.l m， dt=1.5xl0δs 

第3J:iil シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 丹JL、1:..::..次兄モテツレ.幅および，:;j~ 1.t.200 .lm x200.1mである.2つの半無限府の1mに液体附が作夜す る.フラクチャーの附11幅ハO.lmないしO.3mである.液体層の音波速度は1500m/s.密度はlOOOkg/m³である.半無限MのPi皮 速度1t..3000m/s.Si皮速度は1604m/s.密度は2400kg/m³である .absorbing boundaryとしてモデルの阿隅にIt..Sochackiel al  (1987) .符辺にI.t.Emermanand Stephen (1983)合i塩川した.また，黒九で IJÇ した llfl~ のグリッドでノド子変伐と鉛 u'[ 変{止を解析 した.原点に hi も近いグリ γドtI点点の距離 l .t. lOm であり，各 q のグリ ッド l .t lm の ~l~ 維がある

Fig. 3  2‑D model with 200.1 m height and 200.1 m width. There is one horizontal fracture with a liquid layer sandwiched  between two solid half‑spaces. The aperture of the fracture is 0.1 m or 0.3 m. The velocity of nuid is 1500 m/s and  the density is  10

∞

kg/m3. Formation velocities are 3

∞

o m/s (P wave)  and 1604 m/s (5 wave) and the density is  2400 kg/m3. We apply the absorbing boundary conditions of Sochacki el al. (1987) to the corners ofthe model and  of Emerman and Stephen  (1983) to the four edges. We analyze the horizontal and vertical displacement components  at specific grids shown by solid circles. These grids are located on the upper surface of the fracture. The nearest grid  to the origin is  10 m away from the origin. The distance between the two slid circles is 1 m 

地 質 調 子 主 所 報 告 ( 第282サ) フ ラ ク チ ャ 一 間 辺 の 州 性i皮f.d番シミュレーション(家'J.tts帆犬)

震源を読し、た.フラクチャーは原点を通り，その開11幅はO.1mとO.3mの2例 に つ い て 計 算 し た.フラク チャーを満たす流体の P~皮速度は 1500m/s. 密度は 1000kg/m^{3である.同体部分の}P1皮速度は 3000m/s. S  j皮速度は約1604m/s，密度は2400kg/m³である.差分のグリッド間隔は.O.1m，時間ステップは1.5x10‑S 秒tした.計算領域の外側境界の4隅にはSochackiet al.  (1987)， 件 辺 に はEmermanand Stephen 

(1983)のabsorbingboundaryを適用した.

最 初 に ， 第4凶に示したようにstaggeredgrid finite‑differenceによる開[1幅O.lmのフラクチャーの 表し万を考案した.次に，フラクチャーをこのように表すことが正しいのか.Ferrazzini and Aki (1987) 

によるnormalmodesの理論波速度とこのモデルによる計算速度を比較した.彼らが理論的に研究した normal modesとは， 2つの半無限固体にサンドイツチ上に挟まれた流体中にトラップされた，出￨一液の 境界に沿って伝播する波であり，流体の厚きが大きくなるにつれ， Stoneleyi皮に近づく .normal modes 

は無数の分岐を持つが，そのうちの基本の分岐は全周波数帯に存在し，エオ、ノレギーも大きいので¥以下 では基本分岐のみを考える. また.normal modesは2つのそードを持つ symmetricモードとはフラ ク チ ャ ー を は さ ん で 水 平 変 位 は 等 し し 鉛 直 変 住 は 逆 で ， そ の 基 本 分 岐 の 伝 播 速 度 は 流 体 の 青 波 よ り 遅 し 流 体 層 の 厚 さ に 依 存 す る . 逆 にantisymmetricモードは.フラクチャーをはさんで水平変位は対材、，

鉛直変位は等しく，流体の音波より早〈伝播し，その波長に比べて流体層の厚さが大きくなると，はと んど分散しなくなるものである.第5図には，両モードの上下の境界面の変位がどのようになるかをノR

した.(a)がsymmetricモード， (b)がantisymmetricモードである.以下では， normal modesの基本分 岐 を 便 宜 的 に 境 界 波 と 呼 ぶ こ と に し ， 必 要 に 応 じ てsymmetricおよび、antisymmetricモードを反別する

ことにする.

比較は)頂点からの距離が14‑20mの 区 間 て 二 計 算 波 形 か ら フ ー リ エ 変 換 を 用 い て 境 界 波 のsymmetric モードの位相速度を求めた. その結果を第3表に示す.シミュレーション結果と理論値の違いは，はぽ

1%ないしはそれ以下であり，良い一 致 を 示している.

(aJ 

(b) 

第5[;<1  normal modesに お け る フ ラ ク チ ヤ ー 上 ド の 境 界 の 変 位 .(a)symmetricモード.(b) antisymm巴tricモード

Fig. 5 Displacement of normal modes on nuid‑solid boundaries.  (a)  symmetric mode、(b)antisymmetric mode 

第3，:長 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン よ り 求 め た 境 界 波 のsymmetricモードの仇相速度!:.flJ1.論ftti.!:の比 較 ( フ ラ ク チ ャ ーの 開口幅カrO.l

mの場合).シミュレーシヨン結果!:.Jl翌日制Ilの述レは • Ii. l r.1 0'0なャしはそれ以下であり.{..[いー殺をぷしている

Table 3 Comparison of th巴phasevelocities of symmetric mode of normal modes between results of simulation  and the  theoretical values. The aperture of the fracture is  0.1 m. The differences between calculated and theoretical values  are  very small 

Distance from  Dominannt  Phase velocity(m/s)  E汀or(%) the source(m)  frequency(Hz) Calculated  Theoretical 

14.5  211.69  709.66  722.83  ‑1.82  15.5  203.55  707.59  715.80  ー1.15 16.5  203.55  704.61  715.80  ー1.56 17.5  211.69  719.54  722.83  ‑0.46  18.5  211.69  717.80  722.83  ‑0.70  19.5  211.69  716.46  722.83  ー0.88 i=O 

Z  j^ニーl

j=O 

~4 C& シ ミ ュ レ ー シ ョ ン よ り ボ め た 境 界j皮のsymmetricモードの{け11速 度 と 理 論 値 の 比 較 ( フ ラ ク チ ャ ー の 附 11幅 が0.3m

の場介).シミュレーション結束~:. !Jlfl (.命偵のi主いは. IlI.f 1 Oo科度であり.Uい一致をぶしている

Table 4 Comparison of the  phase velocities of symmetric mode of normal modes between results of simulation and the  theoretical values. The aperture of the fracture is  0.3 m. The differences between calculated and theoretical value  are 5ma ll

﹁ ll

L

_{Distance from  Dominannt  Phase velocity(m/s)  E}汀or(%) the source(m) 

恒型

ency(Hz)Calculated  Theoretical 

14.5  195.4100  905.69  908.92  ‑0.36  15.5  195.4100  906.80  908.92  ‑0.23  16.5  187.2680  887.06  901.21  ー1.57 17.5  187.2680  888.85  901.21  ‑1.37  18.5  187.2680  891.71  901.21  ‑1.05  19.5  179.1260  871.71  893.13  ‑2.40  j=l 

Formation 

• : Horizontal displacement  Vertical displacement 

第 4IXI  staggered grid finite‑differenceに よ る 開 口 幅O.lmの フ ラ ク チ ャ ー の 返 し)i.

FIE‑4The fracture modeled by IhE Staggered gr1dnnIte‑d ifreferICEgrid  The aPErturE ofthis  fracture lS 0.l m 

‑146‑

地 質 調 1i所 報 告 ( 第282サ)

また，第4表に，開口幅O.1mの フ ラ ク チ ャ ー の 上 下 に 水 の 部 分 を つ け 加 え た 開 口 幅O.3mのフラクチャー に つ い て も ， 比 較 結 果 を 示 す . 同 じ く ， そ の一致は良好といえる.

以 上 の よ う に ， い く つ か の 方 法 で 作 成 し た プ ロ グ ラ ム の 有 効 性 を 検 証 し ， 理 論 値 と 満 足 で き る 範 囲 で一 致することを確認した.

2.3  モ デ ノ レ

解 析 に 使 用 し た シ ミ ュ レ ー シ ョ ン モ デ ル は プ ロ グ ラ ム の 検 証 に 使 用 し た も のt同 ー で あ る ( 第3凶参 照).

フラクチャーのそデノレとしては， 5通 り を 考 え た ( 第6凶).まず，接触がない平行平板モデノレであ る.フラクチャー内のグリッドはすべて流体である.次に，接触があるモデノレで、ある.接 触 部 は フ ラ ク チ ャ ー 内 の グ リ ッ ド を 固 体 と す る こ と で 表 現 し た.モデ ル と し て は ， 接 触 部 が1mおき， O.5mおき， 0.2  mおきおよび原点から15.5mの点に 1個だけ接触がある 4つのモデノレで検討した.フラクチャーの開口 幅はO.1mとした.

原点には，第7図 に 示 し た 圧 力 震 源 を 置 い た.第7図 (a)には震源の波形を， (b)には波形のパワース ペクトノレを示した.震源の車越周波数は175Hzである.

1.  Fracture without contact 

Reαi 

Model 

‑・司『

圃 圃.......... 

Fracture 

.圃圃・・・・圃圃 園 圃 圃 園 田 園

o  0 0 0  0  0  0・Gridis  the fluid 

2^， Fracture with contact  Reαi 

Model 

Fracture 

0

・

^o • ⁰  •

o : Grid is  the fluid 

・:Grid is  the solid 

第6r:l<1 種 々 の フ ラ ク チ ャ ー モ テ ツ レ.フラクチャーのモデルとして I.:t，5通りを考えた.まず，接触がない予行予板そテツレで、ある.フ ラクチャー内のグリッドはすべて流体て、ある i欠に，接触があるそテツレである， {妾触部はフラクチャー￨λlのグリッドを￨母体tす ることで1i現した.モデ、Jレとしてli，(a)接 触 部 が1mおき， (b)O.5mおき， (c)O.2m おきおよび(d) 原点から 15.5m の点に l 位It~' け筏触がある4つのモデルて検討した.

Fig.6  Fracture models. We give density and Lame moduli for the so!id to the grid shown by so!id circ!es.  We calcu!ate  for  five  cases: lhe  fraclure  wilhout contact points:  the fracture with contact  at interva! of 1， 0.5 and 0.2  m弔

問spectively;lhe fracture with one contact al x= 15. 5m 

‑148‑

フラクチャ一同辺の州性i皮伝矯シミュレーション(街地↑r~ 犬)

600  400  200 

x  (  t  )  =  2  A  (  t  ‑ t o )  e 

A ( t

ぺ 0 )

^{2  ー200}

.400 

A=‑5x105 ， t o = 3 .7X103S 

^.600 

10 

(a) 

400 

300 

〉

200 

100 

200  400  600  800  1000 

Hz 

第7閃 震 源 開 数，(a) に 1:' 渓iJJí~の波形を， (b) には波形のパワースペクトノレを示した.渓械の'~I 越周波数 li175Hzである.

Fig.  7 Source funclion. (a)  shows waveform and (b)  shows its power spectrum. The dominant frequency of the source is  175 Hz 

Z 

Pressure source 

i=O  i=l 

Formation 

• : Horizontal displacement  Vertical displacement 

J=ー1

j=O 

j=l 

第8図 正)J震 源 の ワ命えH.矢印でぷしたように水'fL外))/:.鉛l庄外JJを圧いに逆Hlr'Iに加える

Fig.8  Schematic diagram ofthe pressure source. The horizonta! and vertica! forces are app!ied to four grids. The direction  of each force is  opposite 

‑ 1 4 9 ‑

フラクチャ一同辺の1¹M'ti皮 伝 矯 シ ミ ュ レ ーション(街地↑II犬) :日(~~282 '，;.) 

科4

'f 

ed

川︐j 

1t  i'r  調 J也

6 

Z

O﹁

ヨ

ω

一 ↑

N@

色

3﹀

U‑

一

Ac

a@

5  4  3 

2 

。

8  な お ， 第81ヌ￨にはStaggeredgrid finite-difference における流体 11¹の民源の与え )j を示した~日の矢

印 が 与 え た 変 位 で あ る.この よ う なlj‑え)jをすると正)]長似となる

波 形 を 観 測 し た 点 を 第3txlに県九て)式す.観ifilJ，I点は，原点から10m雌 れ た フ ラ ク チ ャ ー1‑̲fWJに1mおき に11点設けた.

10 

12 

14 

16 

18 

20 

(E)OOC何窃一(]

果

第9t文￨に，観iUiJ点て、計 算 さ れ た 水 干 変 代 で.(a)が 擁 触 が な い モ デ ル .(b)カfO.5mお き に 擁 触 が あ る そ デノレの結果をノJ~ す.フラクチャーの開 11~/J は O.lm てやある.機軸は時!日J( 秒)‘たの縦軸は 111 点からの距離

(m)，布の縦軸は，接触がないモデノレの10mの 点 に お け る 最 大 振 似 ての規格化した振幅で、ある.

長i原および観ifllJ.r，I~: の位間関係から，夕、ド変位には Pì皮がよりはっ きりと弘!れる. 'i1).しおよび ~~t の IJL]角は 持 触 が なL、場合の用論 (I~J な P~庄初動. Si皮初動を示す.(a)と(b)似￨を比較する tPì皮の振 ~i，\ はは t ん E 変 化 が な い

第10閃 に は 鉛 直 変11'[の結呆のうち. (a)に は 接 触 が な い 場 合.(b)に は そ の S波 初 動 付 近 を 拡 大 し た も の， (c)には0.5mお き に 権 触 が あ る 場 合 を 示 し た.聞 は 幅 はO.lmてwある.横軸は時間(秒). /i̲の縦軸は ld{点 か ら の 距 離(m)，右の縦軸は.接 触 が な い モ デ ル の10mの 点 に お け る 最 大 振 幅 で 規 絡 化 し た 振 隔 で あ

企土 '1ロ、

3. 

Z

O﹃

ヨ ω一 一 _N@a

﹀ ヨ ℃ 一

zca@

30x10.³ 

6 

5 

4 

3 

2  20  25 

15  Time(s) 

(a)  5  10 

22  0 

8 

10 

12 

14 

(E)@UC

何日

的一

︹]

る

鉛 直 変1‑:r.には震源および観測点の代間関係により， S~皮や境界 j皮がより強〈現れる.県のI1^llfgは 接 触 が ない場合のE理論的なSi皮 初 動 を ぷ す . 接 触 が な い 場 合 で はSi皮の後続i皮 昨 の 振 幅 が 非 常 に 大 き い.このi皮 群 は 伝 播 速 度 か ら 判 断 し て 境 界j皮のsymmetricモードである. (b)凶と (c)図 の 黒 の 四 角 で 示 し たSi皮初 動 什 近 を 比 較 す る とSi皮 の 振 幅 に 顕 著 な 変 化 は な い よ う で あ る . し か し ， 境 界 波 のsymmetricモードは，

持 触 が あ る 場 合 に は そ の 振 幅 が 著 し く 小 さ く な る.

そこで， Xニ15.5mにI例だけ接触があるモデノレて¥境界波の挙動を調べてみた.第11凶(a)に接触がな い場合， (b)は 接 触 が

1 1

問fごけの鉛直変位を示した. フ ラ ク チ ャ ー の 閉 口 幅 はO.lmて、ある.横 軸 は 時 間 (秒)，左の縦軸は!点点からの距離(m)，右の縦軸は，接触がないモテ勺レの10mの 点 に お け る 最 大 振 隔 て 規 栴 化 し た 振 幅 で あ る . 県 九 で 境 界i皮のsymmetricモードのおよその位置を示した(ただし，ここで刀;した の は 境 界 波 の 初 動 位 置 で は な い . 以 下 の 図 面 も 同 様 で あ る ).境界波 は 接 触 点 で 反 射 し て い る こ と が 分 か

16 

。

30x 10.³ 

観illll.'主て計算されたlj(fI変 位 (a)が被触がないモデル， (b)が0.5mお き に 待 触 が あ る モ デ ルの結果である.フラクチャー開

Il~\lは 0.101である ^{検制l.t時間(秒)，}IJ:の縦納 lま h~[.'，'.~か勺のi'Þ!離 (m). ィ;の縦軸 l.t^{(a)凶の10mの)，'r.}の最 大 飯 阿 で 規 絡 化 し た 仮 恥.渓i1!'1.お よ び 観 測 点の{主流関係から， 水 予 変1江にはPi皮がよりはっきりと現れる.(1九lまJ妾触がない場令のf硬論的なPi皮初量fJ・

~の問角 l立 Sì皮初動をぷす. ^(a)と(b)凶を比較するとPi皮の振幅はほとんど変化がない.

Horizontal displacement compon巴ntsfor the no conlact case (a):  and for the fracture with contact at interval  of  05m(b)Tht left axis is the dlStar1CEfrom the orIBln and thE IOU，er aX15 1S time in SEcond and therIBhtaxisIS  amplltude normal lZEd by the maxlmum amplitude of l O m tractl n upperGEure‑Theoretical firstarrivals of P and 

s waVE are shown by open CIrcles and solid  rECtanElm‑reSPECI1VEly There 15no distlnctamplitude change ofp wavE  between two figure 

第912<'1

Fig.9 

25  る

Rayleighi皮， Stoneleyi皮などの波はPi皮， Si皮 お よ び 地 表 面 や 同 体一液 体 な ど の 境 界 が 作 伝 す る こ と に より宅成される(佐藤， 1978).今 回 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の よ う な 震 源 開 数 が 定 常 で な い 場 令 に は ， 震 源 近 傍 の 境 界i皮は，実体i皮とは十分に分離されてし、ない.震 源 か ら あ る 程 度 離 れ る と ， 実 体i皮と境界i皮は 分離する.その境界i皮が懐触点て反射すると，接触点をはさんで!点点の反対側では，再びL記 の 過 程 が 繰 り 返 さ れ る も の と 推 定 さ れ る.その糠fを第12凶 に 示 す.

この凶では，件観測点の距離毎の振動軌跡、を表示してある.接触部の前までは境界波(この場合はsym‑ metricモード)の特徴である惰円の振動軌跡、が見られるが，接触点をはさんで原点の反大HlJJIで は 振 動 軌 跡 は ほ ぼ45度 の 傾 き を ぷ し 雫 楕 円 で は な く な る.さらに，接触部から3.5m離れた点て は， Iヰび 惰11]の 軌 跡が現れてし、る.ただし，その振幅は接触点より前の境界波に比ぺて，おおよそ1/5程 度tなる.ここで 示 し た 境 界 波 の 周 波 数 は126.19Hz， 速 度 は629.65m/s， 波 長4.99mて、ある.し た が っ て ， 境 界 波 は 波 長 の70%程 度 で 実 体 波 と 分 離 さ れ る も の と 推 定 さ れ る .

第10図(c)て'Stoneleyi皮が消失しているように見えたのは，最初の擁触点てい反射が生じたこと，各接触 点 の 間 隔 が 短 い の で 境 界i皮と実体i皮 の 分 離 が 十 分 で な い こ と と 推 定 さ れ る. あ る い は 接 触 点 ￨日Ilの波の 反 射 ， 干 渉 も 宅 じ て い る か も し れ な い.

次 に ， 震 源 の 位 置 に よ っ て 境 界 波 の 発 生 お よ び 反 射 が ど の よ う に 変 化 す る か 検 討 し た.

まず，震源の位置を!原点直上，フラクチャ一上面(座標は(x，z)=(Om，‑0.15m). z=‑0.15mとな

20  15 

Time(s)  (b)  10  5 

22  0 

一

150‑

ドキュメント内 弾性波検層法によるフラクチャー開口幅の評価手法 に関する研究 (ページ 47-51)