∞ ヤ

μ同

FEEEEE'EEEE'E

︐  

pu  

R 一 一

p p  _(3.16) 

このとき、 O(ε)のポテンシャルに関する水面境界条件より各調和成分の次数η に関して次 式が成り立たねばならない。

n u 

什 一 一

い

nA v

 

qa‑︑︑_l

/‑

σ 一

gn

一

〆 ︐ . ︑ ︑ 白 川︑π

一

ZAV士d

nA

U一 (3.17) 

<p(l)(X

， 

z

， 

t) 

= 

Re 

[ 4 >

ll¥X

， 

^{/11  9d  噌Ei n δ   ︑j︑ ︐ ︐}

伊 川

X

，

z

， 

t) 

= 

Re 

[4>~2)(い)+必)(

^X

， れ

xp(

伽 ) ] 

(3.19) 

上式中の 4>~l)(X ， Z) 、ぬ:2)(X ， Z) 、ぬ，2)(X ， Z) は、無次元の複素関数で、これらを便宜上

ポテンシャル関数と呼ぶことにする。

同様の考察を εの各オーダーについて行うと、 (3.7)式の速度ポテンシャル φの級数展 開は次のように表せる。

争 (

X

， 

z

， 

t) 

=  I~

^̲ Re 

I 叫

l)(X

，

z) exp(

川)

!C(Y  I  ‑

+E2

{

ぬ

^，

^{2 ) ( X} ，

z) 

+ ぬ ^{? ) ( X} ， 巾

xp(i2σt)} 

+E3 { 

4>~3)

^(X

， 

z)

吋

d

47 

3 . 2 . 3  

各 領 域 の ポ テ ン シ ャ ル 関 数

O(ε)のポテンシャル関数

(1) 

自由水面を有する領域

( 1 )

，

( 2 )

，

( 4 )

では、ポァンシャル関数引 は、水面と水底の境界 条件を満足するラプラス方程式の解として各領域 (i)で、一般に次式のように表せる。諸 量の添え字(i)は各領域を意味する。

必

)(x

，

Z)

= 乞 { C i n

e 

ただし、

C i n ， D i n

は未定係数で、

Z ( k i n

Z)は次式で与えらえる。

08 kin(Z 

+ ん)

Z(kinZ) 

= 

C08 kinhi 

(3.21) 

(3.22) 

k i n

は、 η = 0のときは純虚数

( k i O

= 

i k i )

、n

: ; f

Oのときは実数として、次式の根で与え られる。

̲21，. 

ニ 」 ユ = ‑ k i n h i  

tan 

k i n h i  

g  (i 

= 

¹

，

2

，

4)  (3.23) 

この O(ε)の解(3.18)式および(3.21)式を(3.15)式の水面境界条件に代入すると、。((2)  のポテンシャルに関する水面境界条件として次式を得る。(ただし、簡単のため領域を表す 添え字(i)は省略する。)

θψ(2)  1θ2cp(2) 

一 一 一

_{θZ  g δt}2 

= 

^一R恥e

[ 陪 2 ^{註 詰} 民 ^{2 2 O}

^{(かい川川入刈川刷kん(伏n仇}

^{ω 山 仏}

^Q

^九

^η叩P

^山

^{(kんπ 削帆仇山}

^ω

^)丸札向

^p

^弘

^〆

^弘

⁽

^z

^山

叶 ^{2 註 詰 Z 主 O 孟} か ^Z ト ² 〆 ^O y 川 ^{P J}

^Y

^引 川 ^{叩 μ (} 内 ω ^川

^k

^{ω 州 ρ 川}

^p

^{p 川 川 ) パ ( 似 叫 仰 P} ρ 州

^バ

^仰 ( い ω ^仙 り Z ) +

な丸引恥叫バ

ρ 州川 ( μ ω り z 叶 ) 冷 )

ここに，

48 

(3.24) 

Qηp(X) 

= 

^{CnCp exp(k叩 X)}

+ 

DnDp exp( ‑knpx)  Qnp(X) 

= 

^CnDp exp(

瓦

;X)

+ 

CpDn exp(

一 石

pX)

Q み

(X)

= 

CnC;exp(k~px)

+ 

DnD;exp(-k~px)

な ρ) = 

Cn D; exp( _k~px)

+ 

C; Dn exp( ‑_k~px)

(3.25) 

入(kn'kp) 

= 二(

2k ¥ 

3 r

²

+ 

2knkp.  

+ 

k;r / ) 

(3.26) 

恥 k p ) = ネ ( ^{3 r}

^{2一 川p十}

^{k ; )}

T(kp) 

= 会 ( r 2 + 

k;)  (3.27) 

knp 

= 

kn 

+ 

kp 

， 

knp 

= 

kn ‑kp 

k~p

= 

^kn 

+ 

k; 

， 

k~p

= 

^kn ‑k;  ^(3.28) 

r = σ

2Jg 

C~ ， D~ ， には，それぞれ Cn ， Dn^，んの共役複素数を意味する。よって、

(η=0 _η#0

^のとき

k z = っ ー

のとき _k~

= 

^kn  J 

O( E2)^{のポテンシャル関数}

O( ε 2 )

の水面境界条件(3.24)式と水底条件を満足するラプラス方程式の解として， 2次 のポテンシャル関数は一般に次式で表される。

ぬ

^2)(X

， Z ) = 乞{ C~2)

^exp( 

k~2)

^x) 

+  D~2) 叫(-d)り}

^Z(

ぽ

)z)

Cぬ 0 0

+玄乞 I I m 山 ，

z)  (3.29) 

m=Op=O 

︑︑lノケ ム町

中山

︐︐

︐

︑

︑

︑

l'

ロ o

AV 

=cj2 ) 7+DF ) 

49 

+

三 { d

²⁾

叫

+  I :  I : I I 斗

(x

，

Z) ^(3.30) 

ここに、 C~2) ， D~2人 C~2) ， D~2) は O(E

²

) の未定係数で、ほ)は O(ε) の kin と同様、

^{n = O}  

(2)  :L(2) 

のときは純虚数

k i o )

= 

i k i  

、n#Oのときは実数として、次式の根で与えられる。

色白土

=‑d)httauZ)fzz

g 

(i=l ， 2 ， 4 )  

(3.31) 

また、

I I

m p(x

， 

Z)

，  I I 二

p(x

，

z)は次式で与えられる。

入(km

，

kp) 入(km

，

kp)^ー

IImp(x

， 

z) = ，. \'V~ ， 'V~I Qmp(x)Z(kmpz) 

+ 

"\'V~I Qm^'D(x)Z(kmpz)  μl(kmp) ^μ1 (kmp) ‑".1" ，  ，. .‑r 

(3.32) 

T(kp) .A*  f.. ¥ f7f '*  ^{¥ ，}   T(kp)一 一

H 斗

_{r μ 2 (}(x

，

z) =  ，

は

'，1"p，)‑ Q

n :

".1'" p(x)Z('k

n :

''.1p'z) 

+ 

μ2(_-，~，

は;)‑

Q~'D (x)Z(kゐ z)".1"  ，  '''.1' 

μl(kmp) = 4f 

+ 

kmp tan kmph ) 

μl(kmp) = 4f 

+ 

kmp tan kmph 

J 

^(3.33) 

︑

_E

El

‑‑ J

︑ ︑ l/

︑ ︑ _l

ノ

' h ω '九

p・‑pa

‑ ‑m

一

‑ ‑

m

'κ γκ  

/ 1 1 / 1

¥  

n n   a a  

& 冒 U A T L W

p

‑ p  

‑m

一

‑ ‑ m

v必 ず

κ

一 一 一 一

︑ ︐︐ ノ

︑ ︑︐ ︐

J

p ‑

一

p a

淑m

一

_{‑ ‑}

m

k

‑ k  

J 'a z

︑︑

〆 ︐

・

1︑ 2 2  

μ μ

 

^(3.34) 

3.2.4 

O ( ε 2 )

の ポ テ ン シ ャ ル 関 数 の 解 に 関 す る 物 理 的 な 意 味

式(3.29)で与えられる2次のポテンシャル関数の解における各項の物理的な意味につい て考える。右辺の最初の級数項は式(3.24)の右辺を零とおいた斉次の自由表面境界条件と 固定境界条件を満足するラプラス方程式の一般解で、入射波と構造物の非線形干渉によっ て励起される波で、分散関係式(3.31)を満足する波数バ2)を持つ自由波を表している。級 数の η=0のとき進行波成分を表し、 η>0の場合は、停止散乱波成分を表す。

右辺第2項のIImp(x，z)で示されるこ重級数項は、いわゆる強制項であり、非斉次の自 由表面境界条件と固定境界条件を満足するラプラス方程式の特解で、

O ( ε 2 )

の水面境界条

50 

件と周波数 σの基本周波数成分波により決まる Stokes波の2倍周波数成分を表している。

式(3.32)のうち、第1項目は、 CmCpで表される入射波と同じ方向に進む1次の波同志の 非線形自己干渉によって発生する波の成分と DmDpで表される入射波と反対方向に進む1 次の波の非線形自己干渉によって発生する波の成分とを表している。第2項目は、 CmDp

とDmCpで表される互いに逆方向へ進行する異なる波同士の非線形干渉によって励起され る波の成分を表している。

ここで、入射波領域について考えてみると、式(3.32)において第1項目は入射波同志 の非線形干渉波と構造物による反射波同志の非線形自己干渉波であり、第2項目は入射波 と反射波の非線形相互干渉波を表すことになる。これらの干渉では、 m

= 

p 

= 

0のとき は進行波同志の干渉、 m= 0， p 

> 

0および m

> 

0， p = 0では進行波と構造物による停 止散乱波との干渉、

m>

0， 

P >  

0のときは停止散乱波同志の干渉を含んでいる。特に、

m 

= 

p 

= 

0のときは、 C_m

= 

Cp 

= 

(0((0 :入射波の振幅)、 km

= 

kp 

= 

ikとなることか ら、式(3.32)の第1項目は次のようになる。

入(km'k

' J ) )  

~' CmCp exp {(km 

+ 

kp)x} Z(kmpz)  μl(kmp) 

:3".2  k tanh2 kh ‑1  cosh 2k(z 

+ 

h) 

'("'J  一一L 円 1_~ ，‑‑exp(i2kx)  (3.35)  2 'u 2k ta.nl^内

あるいは、双曲線関数の公式を用いると、上式は次のように書き改められる。

入(km

，

k

' J ) )  

~' CmCp exp {(km 

+ 

kp)x} Z(kmpz)  μl(kmp) 

.3σ22Cosh 2k_~\~，'， (z 

+   

^h

， ‑

⁾ _exp(i2kx) 

8gk ':.0 

sinh42kh  (3.36) 

これは、よく知られている一定水深域を進行する Stokesの2次の平面入射波成分を表して いる(例えば、井島， 1970a:  Dean and Da1rymple， 1984)。この項は、深海域では khが 大きくなるにつれ急速に減少していき、浅海域では2次の自由波の波数 k(2)が2kに近づ くことにより共鳴現象が起こり、数学的には分母が零に斬近するため発散することになる。

51 

3 . 2 . 5  

水 面 波 形

式(3.3)で示される Bernoulliの式に式(3.7)

，

(3.8)および式(3.18)

，

(3.19)を代入して 整理すると水面波形ぐい

，

t)は次式のように表せる。

i L 2 1 i   =  ♂)(り)+パ川

= 

Re 

， r [ P ) ( 巾

xp(iO"

t ) + 

E 

{η~2)(X)+ 必)(巾xp(伽)}]

^(3.37) 

¥，̲¥，̲で、

ず)(り=[ ̲   _{lcþ~1)12 +  _Icþ~1)12} / 4 k f   +ゆ(川~1)

^/2k 

+ ぴ 2 ) L = 0 ( 3

ね)

η ; 2 い

ぬ

^:1)

，

cþ~l) はそれぞれが)の X ， ^{Z微分で、ゆ(1)・はゆ(1)}の共役複素数である。これらの式 に(3.21)式、 (3.29)式で与えられる O(ε)

， O (

ε2)のポテンシャル関数をそれぞれ代入する ことにより、各オーダーにおける水面波形は次式で、与えられる。

O(ε)に関して

((1)(り )

= 

Re 

[ 7 7 i

¹)(

巾 刷

σi

t ) ]

(3.40) 

η

i

^{1¥x) = ‑i} 

2 :   ^{{C い}

^xp(knx)

+ 

Dn exp( ‑knx)}  (3.41) 

O( E2)に関して

び 2 ) ( り) = 

Re 

[77~2)(X) +  77~2)(かxp(伽) ]  ( 3

.4

2 )  

︑ ︐ ノ

z 

︑

JI︐ ︐ 11 

内4rl

︑ 司

︐u

竹リ = ‑2i

玄 { C~2) 叫(k~2)X) +  D~2) 叫(-k~2)X)

^} 

+ 2 : : 乞 何

^km

_ゐ

^)Qmp(X)

+ 

H(km

， 

kp)

否

'mp(X)} (3.43)  52 

ず

)(x) = 

三 E ^{[ { α ( k m k ; ) + Z j} 互 い

^p(x)

式中の係数は次式のようである。

一 ( r

²

+

kmkp) 

α(km

， 

kp) 

= 

~，

4 k r  

一 ( r

²‑kmkp) 

古(km'kp) 

= 

r' 

4 k r  

￨ 入(km'kp) ̲ "  " 

r  I 

H(km' kp) 

=  < 

‑2i  ' ~':' ~'

α +

^(km' kp)

^一一}

r' 

lμ

l(kmp)  ^{， ‑‑‑， r'}  2k J 

i

入(km

，

kp) . 

̲ ， .   .   ， r  I 

H(km

， 

kp) 

=  < 

‑2i 

一二+百

(km

，

kp)

一一}

r' 

lμ

l(kmp)  ^{， ‑. r'}  2k J 

(3.44) 

(3.45) 

(3.46) 

定数 Q(2)は、 x=∞ で ηi2)=0の平均水位を基準水深に取ることにすると、式

( 3

)よ り次式で与えられる。

ぴ 2 ) =古(い ) { 1 + IDo I 2 } ^{( 3}

^.4 

^{7 )}  

O ( ε 2 )

の水面波形は、次のような物理的な成分が重なり合ったものと考えられる。

ぐ

( 2 ) ( り)=必

)(x)

+  d

^2)(x

， 

t) 

+  ( ; 2 ) ( り)

(3.48) 

(~)

^{(x)は、 2}次の平均水位を表し、非線形性による wave則 upと日tdownを示しており、

次式で与えられる。

(~ ) (x)

^= Re 

[17~2)(X)] ( 3

.4

9 )  

53 

また、構造物がないときの2次の平均水位は、 m=p =0としてkrn= ik

， り =

‑ik

， 

Drn =  Dp 

= 

^{0であるから、}

C 3  

2 sinh 2kh  ^(3.50) 

入射波高

H o (

= 2(0)を用いて次元を持った形で書き直すと2次の平均水位は次のように表 される。

( ( x )   = 

E(O(~)

= 一 HZK 

8 sinh 2kh 

︑ ︑ ノl

噌EA vh U 

9d 

〆' a

・1

これは、 Stokes波理論における進行波の2次の setdownと一致する。

d

²)(x

， 

t)は、 2次の Sもokesの強制振動成分を表し、次のように式(3.43)の右辺第2項 で与えられる。

o

^2)(x

^{，  t )}  

⁼ 

^Re  詰{ [ ^H 

^(krn

^， 

^kp)Qrnp( x) 

^{+ 恥 勺 ) 弘}

^(x)}e

山]

^(3.52) 

構造物がなく、進行波だけが存在する場合には、上で示した2次の平均水位のときと同様 に、 m=p=O

，

krn=ik

， 

kp=‑ik

， 

Drn=Dp=Oとして若干の演算をすることにより、

次の平面波における 2次の Stokesの水面波形の式に帰着する。

I 

C~ cosh kh ^{，  ，} 

I  d2)(zJ)lm=p=o=Re  ￨ 」 1(c

叫 2kh

+  2 )  e x p  

i2(kx 

+ σ t ) 1  

y ‑ v   I 4 sinh^.j kh '  . I ~， II  ^(3.53) 

グ)(り)は、 2次の自由波の成分を表し、次のように式(3り)の右辺第1項で与えら れる。

d2)(ZHe[ 合 { C~2) exp(k~2)x) ⁺  D~2) 叶

54 

3 . 2 . 6  

連 立 1次 方 程 式 ( 選 点 解 法 に よ る 未 定 係 数 の 決 定 〉

一般解にふくまれる未定係数は、鉛直境界面における速度ポテンシャル(およびその 法線微分値)の連続条件より決められる。この連続条件を境界面 (x

=  b )

を例にとると、

各オーダー (p)のポテンシャル関数について次式が成り立たねばならない。

境界面 (x

= 

b)を例にとると次式のようである。

(必 (

‑h2 く ^Zく 0) ゆ( p ) ‑ J ‑

1 n ‑

1  ^{q / t J   (  ‑}

^{h 1くzく ‑h}d)

(P) 

笠 . l ! ! . . . ー

θz 

(p) 

θ

ゅ う 刷

^，  、

」 ニ

(‑h

₂くZく0)

θz ^{、 ，}

o  (‑h

d く ^Zく

‑h

2) (p) 

θaq^日

デニ ( ‑ h l

くZく

‑h

_d)

ax 

(3.55) 

(3.56) 

ただし、添え字 η は、各周波数成分のオーダーを表し、 (p

= 

1のとき n

= 

1)、(p

= 

2の とき η =0

，

2)である。同様の連続条件式が各鉛直境界面において成り立つ。

これらの条件式に

O ( ε )

のポテンシャル関数を代入し、各オーダーにおける未定係数に 関する連立一次方程式を導くことになる。このとき、従来から用いられる方法は、固有関 数系 Z(kinZ)の直交性を利用して、水深方向に積分することにより未定係数の関係を規定 する一次関係式を得ることができる。しかし、直交関数に関する積分演算を行うため、理 論式の展開とその表示が著しく煩雑になる。そこで、ここでは新たに、固有関数に関する 積分演算を行うことなく未定係数を決定できる選点解法を提案する(吉田ら、 1990)。この 解法は、図‑3.2に示すように、境界面上に異なる zの値の計算点(選点)を取り、その計 算点上で(3.55)式と (3.56)式が直接成り立つ(点収束する)ことを規定することによって、

未定係数に関する一次関係式を得るものである。選点解法の詳細や従来の方法との相違点 等の解説は、 AppendixAを参照されたい。

この選点解法により、各境界面上にとった計算点について得られる未定係数に関する連 立一次方程式を解くと、

O ( ε )

のポテンシャル関数が決まる。次ぎに、

O ( ε )

の解を用いて O( (2)に関する一般解である (3.29)

，

(3.30)式を求め、これらを、同様に各境界面の連続条

55 

z 

RUT 

hH

H 

x 

( 4  )  c  1  ^{( 1 )}  

tn H 

図 ‑3.2  没水水平版の流体域と計算点

件式に代入して、各計算点について得られる O(E²)の未定係数に関する連立一次方程式を 解くことにより O(ε2)のポテンシャル関数が決まる。

なお、 O(ε2)のθ

ぬ

:2)/θnθ

ぬ

¹²)/θzは次式のように表せる。

(2) 

θゆ2 ー

θz 

I :  

^kn(2) { C~2) exp(k~2)x) ^‑D~2) 叫(-k~2)X)^} Z(

ぽ

^)z)

+  I :  I : ^{^mp(x ，}

^{z)  (3.57)} 

一

ω

ロ o 一

ZAV 士ぴ nd

一

+ 芝 子 { a

^l

叫予) ̲  _{D~2 l 叫一千)} } 

^cos

千

+εεA ^{二 p (}

^X

^{，  z )}  

^(3.58) 

56 

入

( k m ， k p )

入

( km ， k p )

ー

Amp(x ，  z )  

= "， .v/~ ， 'V~I

Gmp(x)Z(kmpz)  + 

"， 'V~I

Gmp(x)Z(kmpz) 

μ1 

( kmp) ‑

^{‑‑r' /  ，‑‑‑r μ}

l ( k mp ) 

‑‑‑r' /  ' ‑‑‑r 

(3.59) 

T(k p ) 

/"'1*  取

引 k p )

一一

A み ( x ， z )  

=  ，'̲ r/ ， G:nv(x)Z(k~lt)z)

+ 

，~，

G ゐ ( x ) Z ( k ゐ z )

r μ2(k

二 p )

".r"  ' ''.Y μ2(kら

p )

".Y"  ' ''.Y 

Gmp(  x )  

= 

k mp {C m 

^Cp exp( 

k

r叩

x )‑DmDp 

exp( 

‑kmpx)} 

丸山)=広 {CmD p

^ほ

p ( k m p x ) ーらDm

exp( 

‑kmpx)} 

G

ら p ( x )

= 

k~p ^{CmC;

^ほ

^{p ( k} ν) ^{ー DmD;}

^exp(

^ーは戸)}

な p ( x ) = 可 {CmD; exp(可x) 一 C;Dm 叫(-k~px) ^} 

(3.60) 

3 . 3   各種構造物ゆすする理論式ぽ縛

第2節に示した理論解析により、没水水平版と矩形不透過潜堤および無限長ステップ地 形に対する理論式を導き出す。

3.3.1  没 水 水 平 版 に 関 す る 計 算 式

領域

( 1 ) ， ( 2 ) ， ( 3 ) ， ( 4 )

における O(ε)ポテンシャル関数

領 域

( 1 ) ， ( 2 ) ， ( 4 )

における一次のポテンシャル関数は、

( 3 . 2 1 )

式よりそれぞれ次のように 表せる。

(1) て「

ゆ11(久

z ) =  e x p ( k

lO

x

α

) Z ( k

lO

z )   +  ) 

~

D

1n exp( 

‑k

1n

x

α

) Z ( k

1n

z )  

^'11 ^{J U守 山 円hu 噌EA ︑︑ ︐ ︐ ノ}

必 ) ( x ， z)= 玄 {C

2n

e x p ( k

2n

xα )   +  D

_2n exp( 

‑k

_2n

x s ) }  Z(k

_2n

z )  

(3.62) 

必 ) ( x ，

z) 

= 乞

^Cωxp(kωβ

) Z ( k

ω ) (3.63) 

57 

領域(3)では、水平版と水底での流速が零であるという境界条件を満足するラプラス方程 式の解として、ポテンシャル関数は次式で与えられる(井島， 1971)。

品

^)(X

，

z)  =  C30

子 ⁺

^D30 

+ 乞

^{{C3nexp (vnxα)} 

⁺ 

^{D3n exp (‑vnxs)} COS vn(z} 

⁺ 

^{hd)  (3.64)} 

軍 司..申，

'

‑ ' ‑ . 、 . 、

Un=2Z ，

zα = X ‑b

， 

xs 

= 

^X 

+ 

b 

1t3 

なお、これらのポテンシャル関数において、例えば、式(3.62)中の C_2n

，

D_2nなどの 係数にかかる指数関数の変数 zが 式(3.21)の一般解と異なり、それぞれ X ‑ b

， 

X 

+ 

bと なっている。これは、鉛直境界面での連続条件より得られる未定係数に関する連立一次方 程式を解く際に、連立一次方程式の係数マトリクス中に指数関数による非常に大きな値が 入るのを避けるための数値計算上の措置で、理論上は特別の意味はない。

領域(1)

，

(2)

，

(3)

，

(4)における 0((2)ポテンシャル関数

領域(1，)(2)，( 4)における 2次のポテンシャル関数は (3.29)式から、また領域(3)のポ テンシャル関数は1次の関数と同じ形として、それぞれ次のように表せる。

必

^)(X

，

z)

= 乞

D2)

叫(ーは

)X

α

)Z(

ほ

^)z)

+  L  L  I I m 山 ，

z)  (3.65) 

n=O  m=Op=O 

︑︑ ︐ ︐

ノグ

J Z  柑

'1

1 

︑

E︐J

司4川Art‑F4 

A ω

ア

= 乞 ( c Z ) 叫(必)九 )+D2

^仰

(‑dzβ)} Z ( 弘

^)z)

+乞 L

^IImp(x

^， 

^{z)  (3.66)} 

必 ¥ X

^，

^{z )} 

⁼ 

C~~ ) 子 +DZ)

58 

+ 乞 (d

^{叫 ν(nXα)+D2)叫 (‑VnXβ)}ωVn(z} 

+ ^幻)

^(3.67) 

必

^)(X

^，

^z) 

=玄 ^cZ)

^叫

^{( k Z ) z p ) Z (} ほ

^:z)

+乞 乞 ^{I I m p ( x ，}

^{z)  (3.68)} 

n=O 

m=Op=O 

それぞれの法線微分値は、次のようになる。

nw d 

n o  

qJ 

タUMz p m Aは

︑

dnu

∞ 一

﹀ 一 戸

∞

ε

日

+ 

z めn

IP向Z 

α Z 幻n

'k n r  

x   

ρ U 

めnD 幻n

'K

 

∞ 玄 吋

一 一

22‑Z 

AV 一 九

U

nd

一

(2) 

θゆ₂₂

θz  ー

zd(cZ) 叫(込わ

^α)‑D2)

叫 (‑dzβ)}

Z(

ほ

^)z)

+  L :  L : ^{A f T 山 ， z )}  

^(3.70) 

2 3 2 = _叫+全 ^{( h ) ( d ; )} 州

^VnX

α )

ax  ‑‑₀ 

n=l

、

‑D 忠叫 (

^‑VnX

刈

^{ω νn(z}

^{+  h}

^{d)  (3.71)} 

九ふ^{(2) ∞} 

、 ， っ ， っ ¥

^， ‑(つ¥ ，‑， ‑(つ1

す = ζ ^{ぽ 小}

^(3.72) 

なお、 O(E)の係数を式(3.25)と(3.59)に用いて

I I r

叩 お よ び

A mp

^{の算定をする場合に}

は式中の係数は、例えば領域

( 2 )

のC_nに関しては

C2n 

e x p ( k

_2n( X ‑b)) 

= 

{C

_2n 

e x p (  

‑k2nb)} exp(k2nx) 

であるから、式(3.25)と(3.59)中の C2n^{にかえて C}2n

e x p (  ‑

k2nb)を用いればよい。

59 

連立一次方程式

図 ‑3.2に示すように、 x=bにおける領域(1)と領域(2)

，

(3)の鉛直境界面と x=‑b  における領域(2)

，

(3)と領域(4)の境界面に取った計算点の個数を、 O(ε)では N1

，

N2

， 

N3 

，  O (

♂)では

N j 2 ) ， N J 2 ) ， N j 2 )

に取り、各領域のポテンシャルの固有関数展開の打ち切り 項数を

O (

の で はni

( i   = 1 ， ・ ・ . ，

4)で、

O(

の で は

nj2)(i=1γ ・ ' ，

4)で表すこととする。

これらの打ち切り項数と計算点の個数とはO(け で は nl+1=1V1+1V2+1V3，n2+1 =1V1，  n3+ 

1  = 

1V3， n4 

+  1  = 

1Vl +1V2+ 1V3^{の関係にあり、}

O(

の で はnl2)+1

=  1Vi2)+N~2)+N~2) ，

n~2)

+  1  = 

1V?)，  n~2)

+ 1  = 

1V~2) ， n~2)

+  1  = 

1V?) 

+ 

_N~2)

+ 

1V~2) の関係にある。さらに、

(2)  I 1  ̲  ̲ (2) 

計算点の間隔は一定であるから、 nl

+ 1 

= 川 +

1 ， η r '   + 1 

= 川

+1

である。

計算点上で (3.55)式 と (3.56)式で表されるポテンシャル関数およびその法線微分値の 連続条件より、 O(ε)における次の連立方程式が得られる。

x=bでは

L 

D1nZ(k1nzj) ‑

L :  

^{C2n 

+ 

D2n ^exp(ー2k2n

b ) }

_Z(k2nzj) 

= 

‑Z(k1的 ) (3.73)  n=O  n=O 

L 

^{klnDlnZ(klnZj)} 

+  L :  

^k2n {C2n ‑D2n ^exp( ‑2k

μ)} 

Z(k2nzj) 

π=0  n=O 

= 

_k10Z(k^lQzj)  (3.74) 

L 

klnDlnZ(klnZj) 

= 

^klQZ( k10zj)  ^(3.75) 

L 

D1nZ(k1nzj) ‑D30 

‑L :  

^{C3n 

+ 

D3n ^exp( ‑2vnb)} COS vn(Zj 

+ 幻)

= ‑Z(klQzj)  (3.76) 

EKlnDdM)+Cωi 

60 

+乞

νn{C3n ‑D3n exp( ‑2vnb)} COS Vn( Zj・

+

hd) = k_lOZ(k的:) (3.77) 

x =‑bでは

L 

C4nZ(k4nzj) ‑

L 

^{C2n exp( ‑2k

以) + 

D2n} Z(k2nzj) = 0  (3.78)  n=O  n=O 

L 

^{k4nC4nZ(k4nZj) ‑}

L 

^k2n {C2n exp( ‑2k2nb) ‑D2p} Z(k2nzj) = 0  (3.79)  n=O  n=O 

L 

^{k4nC4nZ(k4nZj)} 

= 

^{0  (3.80)} 

玄

C4nZ(k4nzj)一{2bC30

+ 

D30} 

‑L 

^{C3n exp(‑2

川 ) + 

D3n} COS vn(Zj 

+ 

hd) = 0  ^{qJ  凸δ 寸EA ︑ ︑ ︐ ︐ ノ}

〆 ︐

t︑ ︑

ふ ん 仇

nZj)一

α o j

‑L 

^(vn) {C3n叫 (‑2vnb)‑D3n} COS vn(Zj 

+ 

h_d) = 0  (3.82) 

式(3.73)と(3.74)は鉛直境界面

( x

= b

， 

‑h₂く Zく 0)上の計算点(j= 1

， ・ ・ . ，

N

l )

、 式(3.75)は(x= b

， 

‑h_{d く} Zく ‑h₂₎上の計算点(j= 1

， ・ . . ，

N₂₎、式(3.76)と(3.77) は(x= b

， 

‑h1く Z く ‑h_d)上の計算点(j= 1

， ・ ' . ，

N3)で成り立ち、また式(3.78)と (3.79 )は鉛直境界面 (x= ‑b

， 

‑h2 く Zく 0)上の計算点 (j=13

・ ・ . ，

N1)、式 (3.80)

は(x= ‑b

， 

‑hd く Z く ‑h2)上の計算点(j= 1

， ・ . ' ，

N2)、式 (3.81)式と (3.82)は

い =

‑b

， 

‑h4く Zく ‑hd)上の計算点(j= 1γ^・" N3)で成り立つから、これらは未定係 数D1n

，

C2n

， 

D2n1  C3n1  D3n1  C4nに関する (4N1

+ 

2N2 

+ 

4N3)個の一次関係式を与え

る。よって、式(3.73)‑‑(3.82)を連立して解くことにより未定係数が決まる。

同様にして、 O(E²)における次の連立方程式が得られる。

61 

x=bでは

ドキュメント内 九州大学学術情報リポジトリ (ページ 53-68)