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補遺１ 静水圧平衡と地衡風平衡

１．１ 静水圧平衡

はじめに、鉛直方向の気圧傾度力と重力がつりあった状態を考える。第 1 章 の(3)より、ナビエ・ストークスの方程式は、

u p

g Dtu

D   1  2

 (1)

と書ける。ここで、u0で、かつ時間変化しないと仮定すると、 u0 Dt

D 、

2 0

 u

 ^より、

p g 

 

0 1 (2)

となる。g 





z g p



 



 

0 1 (3)

が得られる。ゆえに、

z g p 



 (4)

この関係を静水圧平衡(hydrostatic balance)という。現実の大気では、静水圧平 衡はよい近似として成り立っている。

気圧座標においては、gzより、

y p x g z y

p x,  ,

 







 



 









 (5)

が成り立つ。静水圧平衡より、

g y

z x

p 



 







 , だから、

 

 ^{ }

 



 







 



 







 



 









 1 1

, 1 ,

, g g

y z x g p y p x g z y p x

ゆえに、静水圧平衡は





 



 









 y

p x, (6)

と表せる。

１．２ 地衡風平衡

次に、水平方向の気圧傾度力とコリオリ力がつりあった状態を考える。第 2 章の(17)、(18)より、回転系における運動方程式のx成分とy成分は、それぞれ

Fx

x p fv

Dtu

D 



 

 

1 (7)

Fy

y p fu

Dtv

D 



 



 

1 (8)

と書けた。ここで、粘性項を無視し、さらに、水平風u_h 

 

Dt u D Dt

D 、F_x  F_y 0だ から、(8)は

y p fu 

 



 

0 1

となって、

y p u f



 

 

1 (9)

が得られる。同様に、(7)より、

x p v f



 



1 (10)

が得られる。この関係を地衡風平衡(geostrophic balance)という。(9)、(10)はベ クトルを用いて、

p f k

u_h  



1 (11)

と書くこともできる。摩擦が効かない上空では、地衡風平衡はよい近似として 成り立っている。

気圧座標における運動方程式のx成分とy成分は、第 3章の(11)、(12)より、

それぞれ

Fx

p x y fv Dtu

D  



 









 



, (12)

Fy

p y x fu Dt v

D  

 









 





, (13)

と書ける。この場合、地衡風平衡は

p y x u f

,

1 

 









 

 (14)

p x y v f

,

1 



 









  (15)

と表せる。

１．３ 温度風の関係

ここで、気圧座標において、静水圧平衡と地衡風平衡から、温度の水平勾配 と水平風の鉛直シア（圧力微分）との間の関係を導く。静水圧平衡の関係は、(6) より、





 





p (16)

と書けた。また、理想気体の状態方程式は、

RT

p ₍₁₇₎

である。(17)を用いると、(6)は、

p RT p 





 (18)

と書ける。(18)を気圧座標において、xで偏微分すると、

x T p R p

x 

 





 















x T p R x

p 

 





 













 (19)

同様に、yで偏微分すると、

y T p R y

p 

 





 













 (20)

が得られる。一方、地衡風平衡は、(14)、(15)より、

y u f





 

 1

(21)

v 



 1 

(22)

と表せた。(21)、(22)をpで偏微分すると、



 













 

 



y p f p

u 1

(23)



 













 





x p f p v 1

(24) が得られる。(20)、(23)より、

y T fp R p u



 



 (25)

(19)、(24)より、

x T fp R p v



 

 

 (26)

が 導 か れ る 。(25)、(26)で 表 さ れ る 関 係 を温 度 風 の 関 係(thermal wind relationship)という。(25)、(26)はベクトルを用いて、

T fpk

u R

p  



 (27)

と書くこともできる。

１．４ スケールハイト

理想気体の状態方程式と静水圧平衡の関係から、等温大気における気圧の鉛 直分布を導く。水平方向には一様な場を仮定すると、静水圧平衡の関係は、(4) より、

dz g

dp (28)

と書ける。また、理想気体の状態方程式は、

RT

p (29)

(29)より、

RT

 p

 (30)

(30)を(28)に代入して、

RT p g dz

dp  (31)

常微分方程式(31)を解くと、

RT g dz

dp p  1

両辺をzについて積分して、

C RT z p g  ln

両辺の指数をとると、



 



 z

RT p g

p ₀exp (32)

が得られる。気圧が_e^1倍に減少する高さ

H0は、

g

H₀  RT (33)

である。このH₀をスケールハイト(scale height)という。現実の大気では、スケ ールハイトは8km程度である。