数理リテラシー 宿題 No. 10 (2023年7月12日出題, 7月17日13:30 Oh-o! Meiji に提出) 年 組 番 氏名 (解答は何ページでも可. 1つのPDFにして提出)
問10 一部の問題を後回しにするかもしれない。授業中の解答指示に従うこと。
(1) 次の各関数 f について、全射であるかどうか、全単射であるかどうか、それぞれ理由(簡単で 良い)をつけて答えよ(注: (a), (b)は単射、(c) は単射でない、と宿題9で分かった)。全単射で ない場合、定義域 X(⊂ R) と終域 Y(⊂ R) を適当に小さく取って、g: X → Y, g(x) := f(x) (x∈X)で定まる関数g が全単射であるようにせよ。ただしX はなるべく幅の大きな区間を選 ぶこと。条件を満たすX,Y が一通りに定まらない場合は、どれか1つ見つけて答えれば良い。
(a) f: R → R, f(x) = x3 (x ∈ R) (b) f: R → R, f(x) = tanhx (x ∈ R) (c) f: R → R, f(x) = cosx(x∈R)
(2) f: X →Y,g: Y →X とする。g◦f = idX, f◦g = idY であれば、f とg は全単射であること を示せ。
問10解説 (問9 (3) の解答の写しです。)
(1) (a) • f は単射である。(∵ f′(x) = 3x2 >0 (x̸= 0) であるから、(−∞,0] と [0,∞) で狭義単 調増加で、結局R全体で狭義単調増加である。ゆえに単射である。)
• f は全射である。(∵f は連続であり、 lim
x→−∞f(x) = −∞, lim
x→∞f(x) = ∞であるから、中 間値の定理により、任意の実数 yに対して、f(x) =yとなる 実数x が存在する。—き ちんとやると、任意の実数yに対して、ある実数x1,x2が存在して、f(x1)< y < f(x2).
中間値の定理によって、[x1, x2] に f(x) = y を満たす xが存在する。)
• f は全単射である(∵ f は単射かつ全射であるから)。 (b) • f は単射である (∵ 任意の x∈ R に対して f′(x) = 1
cosh2x >0であるので、f は狭義 単調増加であるから)。
• f は全射でない (∵ ex > 0, e−x > 0 に注意すると、−ex−e−x ≤ ex−e−x ≤ ex+e−x. これをex+e−x (>0) で割り算して−1<tanhx <1. ゆえにy = 2 とおくとyは実数 であるが、tanhx=y となる 実数x は存在しない。
• f は全単射でない(全射でないから)。
• lim
x→∞f(x) = 1, lim
x→−∞f(x) =−1 であるから、f(R) = (−1,1)であることが分かる。そ こで X =R, Y = (−1,1)とすれば、g: X →Y は全単射である。
(c) • f は単射でない。実際x= 0, x′ = 2π とおくと、x, x′ ∈Rかつ x̸=x′ かつ f(x) = 1 = f(x′). 手短に書くならば「f(0) =f(2π) だから」。
• f は全射でない。(任意のx∈Rに対して−1≤f(x)≤1< yであるからf(R) = [−1,1].
ゆえに y= 2 とおくと、y∈R であり、 y̸=f(x).)。
• f は全単射でない(∵ f は単射でないから。f は全射でないから、でも良い)。
• X = [0, π],Y = [−1,1]とすると、g は全単射である。実際、g′(x) =f′(x) =−sinx <0 (x∈(0, π))であるから、gは[0, π]で狭義単調減少であるから単射である。またg(0) = 1, g(π) = −1 であり、g は連続であるから、中間値の定理より、任意の y ∈ [−1,1] に対 して g(x) = y を満たす x∈(0, π)が存在する。
