Lebesgue による Lebesgue 積分

簡単のために X= [a, b]としてRで考える．

定義3.4.1 E⊂X に対して

¯

m(E) = inf{ X1 n=1

|In|;E⊂ [1 n=1

In, In:区間}

で E の外測度m(E)¯ を定義する．

この定義における区間列{In}は開区間列でも閉区間列でも同じである．ま たE^c=X\E とおくとき

¯

m(E) + ¯m(E^c)≥b−c

である．実際，{In},{Jn} を∪¹n=1In⊃E,∪¹n=1Jn⊃E^c で X1

n=1

|In|<m(E) +¯ ≤ 2,

X1 n=1

|Jn|<m(E¯ ^c) + ≤ 2

3.4. Lebesgue によるLebesgue積分 51 となるものとする．{In},{Jn}は開区間列としよう．

°[¹

n=1

In

¢∪°[¹

n=1

Jn

¢⊃[a, b]

であるから，Heine-Borelの定理 1.3.1によると有限個で覆える．すなわち Inj,j= 1, ..., p,Jnk,k= 1, ..., q で覆えるとしてよい．このとき

b−a≤ Xp j=1

|Inj|+ Xq k=1

|Jnk|<m(E) + ¯¯ m(E^c) +≤.

である．≤ >0は任意であるから結論を得る．

Lebesgueによる可測集合の定義を与えよう．

定義 3.4.2 E⊂X が

¯

m(E) + ¯m(E^c) =b−a

を満たすとき， E を L-可測といい，そのL-測度を m(E) = ¯m(E) で定義 する．

(E^c)^c =E であるから，この定義から明らかなように E が L-可測ならE^c もL-可測である．ところで，m(E) = 0¯ ならばm(E¯ ^c)≤b−aは自明故，上 に注意したことからm(E¯ ^c) =b−aとなり，E はL-可測でm(E) = 0であ る．これは定義1.3.1

Eが零集合⇐⇒m(E) = 0¯ と一致する．

次に可測関数の定義を与える．

定義 3.4.3 f(x)を X 上の関数とする．任意のa < b に対して集合 {x∈X|a < f(x)≤b}

が L-可測のときf(x)を L-可測関数という．

可積分性の定義は次のように与えられる．

定義 3.4.4 0≤f(x)を L-可測関数とする．このときf(x)がL-可積分であ るとは，ある δ >0 と R+ の分割

0 =`0< `1<· · · →+1, `n−`n−1≤δ があって

X1 n=1

`nm(En)<+1

の成立することをいう．ただし，En ={x∈X |`n−1< f(x)≤`n} である．

52 第3章 可測関数と測度論

さて，Lebesgueによる積分の定義をつぎの補題で与えよう．

補題3.4.1 0≤f(x)を L-可積分とする．このとき

limδ↓0

X1 n=1

`nm(En)

は分割によらない一定値に収束する．この極限値でL-積分値を定義する．

L− Z

X

f(x)dx= lim

δ↓0

X1 n=1

`nm(En).

この補題の証明は後でおこなうことにしてまずL-可測とこれまでの可測性 の同値性から確かめよう．

補題3.4.1 次が成立する．

E⊂XがL−可測⇐⇒Eが可測 でさらにこのときµ(E) =m(E).

証明のために次の補題を準備しよう．

補題3.4.2 任意の ≤ >0 に対してg(x),h(x)∈L(X)で g(x)≤f(x)≤h(x),

Z

X

[h(x)−g(x)]dx≤≤ を満たすものがあれば，f(x)∈L(X)である．

証明：≤= 2⁻ⁿ ととってgn(x)≤hn(x)を選ぶと X1

n=1

Z

X

[hn(x)−gn(x)]dx≤1

ゆえBeppo Leviの定理からP₁

n=1[hn(x)−gn(x)]はa.e. に収束する．従っ てhn(x)−gn(x)→0 a.e. である．ゆえにgn(x)→f(x),gn(x)→f(x), a.e.

でf(x)は可測である．また g1(x)≤f(x)≤h1(x)から

|f(x)| ≤h⁺₁(x) +g⁻₁(x)∈L(X) であるから，補題3.1.2よりf(x)∈L(X)である．(証終)

命題3.4.1の証明：E⊂X を L-可測とする．従って任意の≤ >0 に対して [I_n⁽¹⁾⊃E, X

|I_n⁽¹⁾|< m(E) + ≤ 2, [I_n⁽²⁾⊃E^c, X

|I_n⁽²⁾|< m(E^c) +≤ 2

3.4. Lebesgue によるLebesgue積分 53 なる区間列 {In⁽ⁱ⁾},i = 1,2 がとれる．σi(x) =P

nχ_I⁽ⁱ⁾

n (x) とおく．このと き P

n

R

Xχ_I⁽ⁱ⁾

n (x)dx=P

n|In⁽ⁱ⁾| であるから，Beppo Levi の定理によると，

P

nχ_I⁽ⁱ⁾

n (x)は殆ど至る所収束し，和は可積分でかつ Z

X

σi(x)dx=X

n

|I_n⁽ⁱ⁾|

である．さて σ1(x)≥χE(x),σ2(x)≥1−χE(x) =χE^c(x)であるから Z

X

[σ1(x)−(1−σ2(x))]dx=X

n

|I_n⁽¹⁾|+X

n

|I_n⁽²⁾| −(b−a)

≤m(E) +m(E^c) +≤−(b−a) =≤

が従う．ここで g(x) = 1−σ2(x), h(x) = σ1(x), f(x) = χE(x) として補

題 3.4.2を適用すると χE(x)は可積分，従って可測である．さらにR

X(1− σ2(x))dx≤R

XχE(x)dx≤R

Xσ1(x)dxであるから b−a−X

n

|I_n⁽²⁾| ≤ Z

X

χE(x)dx≤X

n

|I_n⁽¹⁾|

である．m(E^c) =b−a−m(E)であるから m(E)−≤

2 ≤ Z

X

χE(x)dx≤m(E) +≤ 2 を得る．≤ >0は任意であったから，m(E) =µ(E)となる．

逆に，χE(x)を可測として，従って今の場合可積分として(|χE(x)| ≤1∈ L(X)である)，EがL-可測であることを確かめよう．さて仮定よりφn →χE

a.e. なるφn(x)∈H(X)がとれる．

φ˜n(x) =

( 1 if φn(x)>1/2 0 if φn(x)≤1/2

とおくとφ˜n(x)→χE(x), a.e. であるから，この φ˜n を改めてφn と書くこ とにし，最初からφn(x)は有限個の区間の合併Σn の特性関数であるとして よい．gn(x) = sup{φn(x), φn+1(x), ...} とおくと gn(x) & χE(x)で gn(x) は Σ⁽ⁿ⁾=∪¹k=nΣk の特性関数である．Σ⁽ⁿ⁾=∪pIp⁽ⁿ⁾, (Ip⁽ⁿ⁾)^◦∩(Iq⁽ⁿ⁾)^◦ =∅ とできることは容易に分かる．従って，ある零集合eを除いて{Ip⁽ⁿ⁾} はE を覆う．ここで Ip⁽ⁿ⁾ は区間である．さて定理 1.3.2によると L-零集合と零 集合は一致するから，任意の≤ >0 に対して{Jq}がとれて

≥∪qJq

¥∪≥

∪pI_p⁽ⁿ⁾¥

⊃E, X

q

|Jq|< ≤ とできる．またgn(x) =P₁

p=1χ_I⁽ⁿ⁾

p (x)でgn(x)は可積分であるからLebesgue の定理よりR

Xgn(x)dx=P₁

p=1|Ip⁽ⁿ⁾|が従う． 従って

¯ m(E)≤

X1 p=1

|I_p⁽ⁿ⁾|+≤= Z

X

gn(x)dx+≤

54 第3章 可測関数と測度論 である．n→ 1とすると Lebesgueの定理より R

Xgn(x)dx →R

XχE(x)dx であるからm(E)¯ ≤R

XχE(x)dx+≤を得る．≤ >0 は任意であったから

¯ m(E)≤

Z

X

χE(x)dx が従う．χE^c(x)に対して同様の議論を繰り返すと

¯ m(E^c)≤

Z

X

χE^c(x)dx= Z

X

[1−χE(x)]dx=b−a− Z

X

χE(x)dx となってm(E) + ¯¯ m(E^c)≤b−a. 従って EはL-可測である．(証終) 補題3.4.2 次が成立する．

f(x)がL−可測⇐⇒f(x)が可測．

証明：f(x)を可測とする．このとき定理3.2.4よりE(f, c) ={x∈X|f(x)>

c} は可測．さてE(f, a)^c ={x∈ X | f(x)≤a} であるから {x∈X |c <

f(x)≤a}=E(f, c)∩E(f, a)^c も可測である．したがってf(x)はL-可測で ある．

次にf(x)をL-可測とする．このとき {x∈X |f(x)> c}=

[1 n=1

{x∈X |c < f(x)≤c+n}

から{x∈X |f(x)> c} も可測ゆえ，ふたたび定理3.2.4よりf(x)は可測 である．(証終)

ここで補題3.4.1の証明を与えよう．そのためにまず次の補題を示す．

補題3.4.3 0 ≤f(x) をL-可測とする．0 = `0 < `1 < `2 <· · · →+1 と 0 = `⁰₀ < `<sup>0</sup><sub>1</sub> < `⁰₂ <· · · →+1 を R+ の２つの分割とし，`n−`n−1 ≤δ,

`<sup>0</sup><sub>n</sub>−`⁰_n−1 ≤δ でP₁

n=1`nm(En)< +1 とする．ただし En = {x ∈ X |

`n−1< f(x)≤`n} である．このとき，P₁

n=1`⁰_nm(E_n⁰)も収束し，さらに ØØX¹

n=1

`⁰_nm(E⁰_n)− X1 n=1

`nm(En)ØØ≤δ(b−a) が成立する．ただし E<sub>n</sub><sup>0</sup> ={x∈X |`⁰_n−1< f(x)≤`⁰_n} である．

証明：まず P₁

n=1`⁰_n−1χE⁰_n(x) ≤ f(x) ≤ P₁

n=1`nχEn(x) である．仮定か らP₁

n=1

R

X`nχEn(x)dx=P₁

n=1`nm(En)<+1であるから，Beppo Levi の定理によって P₁

n=1`nχEn(x) は殆ど至る所収束し，和は可積分である．

故に補題 3.1.2 より f(x) は可積分である．さらに Lebesgue の定理から

P₁

n=1`⁰_n−1χE_n⁰(x)は可積分で Z

X

X1 n=1

`⁰_n−1χE_n⁰(x)dx= X1 n=1

Z

X

`⁰_n−1χE⁰_n(x)dx= X1 n−1

`⁰_n−1m(E_n⁰)

3.4. Lebesgue によるLebesgue積分 55 である．ここで

X1 n=1

`⁰_nm(E_n⁰) = X1 n=1

`⁰_n−1m(E_n⁰) + X1 n=1

(`<sup>0</sup><sub>n</sub>−`⁰_n−1)m(E⁰_n)

≤ X1 n=1

`⁰_n−1m(E_n⁰) +δ X1 n=1

m(E⁰_n)≤ X1 n=1

`⁰_n=1m(E_n⁰) +δ(b−a) 従って P₁

n=1`⁰_nm(E_n⁰)は収束し X1

n=1

`⁰_nm(E_n⁰)≤ X1 n=1

`nm(En) +δ(b−a) が成立する．{`⁰_n}と{`n}を入れ替えて議論するとP₁

n=1`nm(En)≤P₁

n=1`⁰_nm(E_n⁰)+

δ(b−a)が従い結論を得る．(証終) この証明から

sup

{`<sup>0</sup><sub>n</sub>},`⁰_n−`⁰_n−1<δ

X1 n=1

`⁰_n−1m(E⁰_n) = inf

{`n},`n−`n−1<δ

X1 n=1

`nm(En)

であることが容易に分かる．またこの補題より {`<sup>(k)</sup>n },k= 1,2, ...を分割の 列で`^(k)n −`^(k)_n−1≤δk,δk→0,k→ 1なるものとするとP₁

n=1`^(k)n m(En^(k))

は Cauchy列となって収束する．ここで

L− Z

X

f(x)dx= lim

k→1

X1 n=1

`^(k)_n m(E^(k)_n ) とおくと，補題3.4.3より補題3.4.1は明らかである．

最後に

補題 3.4.3 次が成立する．

f(x)はL−可積分⇐⇒f(x)は可積分 さらにこのとき

L− Z

X

f(x)dx= Z

X

f(x)dx

証明：f(x)がL-可積分なら f(x)が可積分であることは補題 3.4.3の証明の 中で示した．次に f(x)を可積分とすると

f(x)≤ X1 n=1

`nχEn(x)≤ X1 n=1

(f(x) +δ)χEn(x)≤f(x) +δ となって補題2.5.1によればP₁

n=1`nm(En)<+1となる．従ってf(x)は L-可積分である．さらにLebesgueの定理によると

Z

X

f(x)dx≤ X1 n=1

`nm(En)≤ Z

X

f(x)dx+δ(b−a) が従う．δ→0として，積分値が一致することが分かる．(証終)

56 第3章 可測関数と測度論

ドキュメント内 Lebesque 積分 (ページ 50-56)