有界変動関数

定義4.2.1 f(x)を[a, b]⊂R上の関数とする．f(x)が [a, b]上有界変動で あるとは，正数M が存在して，[a, b]の任意の分割 ∆

∆ :a=x0≤x1≤ · · · ≤xn=b に対して

V(f; ∆) = Xn i=1

|f(xi)−f(xi−1)| ≤M の成立することをいう．このとき

sup

∆

X

i

|f(xi)−f(xi−1)|= sup

∆

V(f; ∆) =Tf(a, b) を f の [a, b]における総変動量という．

補題4.2.1 f(x)を[a, b]上有界変動とする．a < c < bとするとき Tf(a, c) +Tf(c, b) =Tf(a, b)

が成立する．

証明：任意の≤ >0 に対して，[a, b]のある分割∆があって V(f; ∆)> Tf(a, b)−≤

とできる．c が分点でなければc を分点に加えてそれを改めて∆ で表すと，

一般に分点を増やすときV(f; ∆)は非減少であるから上の不等式はそのまま 成立する．∆ :a=x0 ≤x1 ≤ · · · ≤c=xn ≤xn+1≤ · · · ≤xm=bとする とき明らかに

Tf(a, c) +Tf(c, b)≥ Xn

i=1

|f(xi)−f(xi−1)|+ Xm i=n+1

|f(xi)−f(xi−1)|

=V(f; ∆)> Tf(a, b)−≤ が成立する．≤ >0は任意であったからTf(a, c) +Tf(c, b)≥Tf(a, b)が従う．

逆向きの不等式も同様にして証明される．(証終)

4.2. 有界変動関数 67

定理 4.2.1 有界変動関数は２つの非減少関数の差として表される．逆に，２

つの非減少関数の差で表される関数は有界変動である．

証明：x∈[a, b]に対してT(x) =Tf(a, x)とおこう．いま f(x) =T(x)−(T(x)−f(x))

とおくとこれが非減少関数の差を与える．実際補題 4.2.1を区間 [a, x]で適 用するとa≤y≤xとして

T(x) =T(y) +Tf(y, x)≥T(y)

となり T(x)が非減少であることが分かる．T(x)−f(x)が非減少であるこ とをみるには

T(x)−f(x) =T(y)−f(y) +Tf(y, x)−(f(x)−f(y))

と書いて Tf(y, x)≥ |f(x)−f(y)| ≥f(x)−f(y)に注意すればよい．逆は明 らかである．(証終)

この定理においてもちろん他の分解も可能である．たとえば P(x) =1

2(T(x) +f(x))−1

2f(a), N(x) =1

2(T(x)−f(x)) +1 2f(a) とおくとf(x) =P(x)−N(x)でありP(x),N(x)は非減少関数である．P(x), N(x)はf(x)の[a, x]における正の変動量および負の変動量とよばれる．実 際正，負の変動量は以下のように定義されるものと一致する．∆ :a=x0 <

x1,· · ·< xn =b を[a, b]の任意の分割とするとき V⁺(f; ∆) = X

i;f(xi)−f(xi−1)>0

(f(xi)−f(xi−1)), V⁻(f; ∆) =− X

i;f(xi)−f(xi−1)<0

(f(xi)−f(xi−1))

とおくとき

P = sup

∆

V⁺(f; ∆), N= sup

∆

V⁻(f; ∆)

が f(x)の[a, b]における正，負の変動量を与える．このとき次の関係式が成

り立つ．

V =P+N, f(b)−f(a) =P−N.

この２式から P，N を求めれば再び上に述べた分解が得られる．

定理 4.2.2 有界変動関数は殆ど至る所有限確定な微分係数を有す．

証明：定理4.2.1とLebesgueの定理4.1.1から明らかである．(証終)

68 第4章 導関数と不定積分 定理4.2.3 f(x)を [a, b] 上有界変動とする．T(x) =Tf(a, x)とおくとき，

殆ど至る所

T⁰(x) =|f⁰(x)| が成立する．

証明：T =T(b)はf(x)の[a, b]上の総変動量である．

∆n:a=x⁽ⁿ⁾₀ < x⁽ⁿ⁾₁ <· · ·< x⁽ⁿ⁾_pn =b

を[a, b]の分割の列であってV(f; ∆n)> T(b)−2⁻ⁿを満たすものとする．さて 関数fn(x)を以下のように定義しよう．まずfn(a) = 0とする．各[x⁽ⁿ⁾_i−1, x⁽ⁿ⁾_i ] 上では±(f(x⁽ⁿ⁾_i )−f(x⁽ⁿ⁾_i−1))≥0に応じて±f(x)+cとする．ここでcは定数 で分割点においてfn(x)が連続になるように選ぶ．特にfn(x⁽ⁿ⁾_i )≥fn(x⁽ⁿ⁾_i−1) である．このとき

V(f; ∆n) =

pn

X

i=1

(fn(x⁽ⁿ⁾_i )−fn(x⁽ⁿ⁾_i−1)) =fn(b)−fn(a) =fn(b)

である．

次にT(x)−fn(x)が非減少であることを示そう．x < ξ として[x, ξ]内に ある分点をx≤x⁽ⁿ⁾_i <· · ·< x⁽ⁿ⁾_j ≤ξとする．このとき

T(ξ)−T(x) =Tf(x, ξ)≥ |f(ξ)−f(x⁽ⁿ⁾_j )|+· · ·+|f(x⁽ⁿ⁾_i )−f(x)|

=|f(ξ)−f(x⁽ⁿ⁾_j )|+fn(x⁽ⁿ⁾_j )−fn(x⁽ⁿ⁾_j−1) +· · · +fn(x⁽ⁿ⁾_i+1)−fn(x⁽ⁿ⁾_i ) +|f(x⁽ⁿ⁾_i )−f(x)|

が成り立つ．|f(ξ)−f(x⁽ⁿ⁾_i )| ≥fn(ξ)−fn(x⁽ⁿ⁾_i ),|f(x⁽ⁿ⁾_i )−f(x)| ≥fn(x⁽ⁿ⁾_i )− fn(x)であるからT(ξ)−T(x)≥fn(ξ)−fn(x)，すなわちT(x)−fn(x)は非減 少である．T(x)−fn(x)≤T(b)−fn(b)≤2⁻ⁿであるからP₁

n=1(T(x)−fn(x)) は任意のx∈[a, b]で収束する．Fubiniの定理4.1.2よりP₁

n=1(T⁰(x)−f_n⁰(x)) は殆ど至る所収束する．従って特に殆ど至る所でT⁰(x)−f_n⁰(x)→0,n→ 1 である．ところで f⁰(x) =±fn(x) a.e. であるから T⁰(x)≥0 に注意すると T⁰(x) =|f⁰(x)|a.e. である．(証終)

定理4.2.4 f(x)を[a, b]上有界変動とする．T(x) =Tf(a, x)とおく．この とき任意のxに対して

T(x)−T(x−0) =|f(x)−f(x−0)|, T(x+ 0)−T(x) =|f(x+ 0)−f(x)|

である．従ってT(x)と f(x)の連続点，不連続点は一致する．

4.3. 不定積分の微分と総変動量 69