8. 写像について色々

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８ . ^{写像について色々}

科目：基礎数学A及び演習（演習）（２‐１組）

担当：相木

写像の等号

「２つの写像が等しい」ということを定義する．

写像の等号

A, B, C, Dを集合，f :A →B，g :C → Dを写像とする．以下の３つが成り立つとき，写像f とgは等しいといい，f =gと書く．

(i) A=C (ii) B =D

(iii) ∀x∈A, f(x) = g(x)

つまり２つの写像が等しいとは，定義域と地域がそれぞれ集合として等しく，定義域の全ての要素に対して，fで写したときとgで写したときとで行き先が一致していることである．

制限写像

与えられた写像の定義域を

制限写像

A, Bを集合，f :A→Bを写像，A₁ ⊂Aとする．fの定義域をA₁に制限して得られる写像をf|A1と表す．このとき，f|A1 :A₁ →Bである．f_A₁ をfのA₁への制限と呼ぶ．

注意：写像の制限の定義から∀x∈A₁ に対してf(x) = f|A1(x)は正しいが，写像の等号の定義からf ̸=f|A1 であることに注意する必要がある．

制限写像とは，定義域を部分集合に限定して構成される写像である．関数に対してはこのような操作はよく行われる．

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写像の合成

２つの写像を合成して新たな写像を構成することもできる．

写像の合成

A, B, Cを集合とする．

２つの写像f : A → Bとg : B → C があるとき，その合成写像g ◦f をx ∈ Aに対して

(g◦f)(x) =g(f(x))

によって定義する．このとき，g◦f :A →Cである．fの値域とgの定義域が同じでないと写像の合成ができないことに注意する．

恒等写像

特別な写像の１つとして恒等写像を定義する．

恒等写像

Aを集合とする．写像id_A:A→Aを∀x∈Aに対して id_A(x) =x

によって定める．写像id_Aを（A上の）恒等写像という．つまり，恒等写像は定義域の要素を自分自身に写すような写像である．

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特に断りがない限り，以下の問題においてA, B, Cは集合を表すとする．

予約制問題

(8-1) 写像f :A→Bが全単射のとき，f⁻¹◦f =id_A であることを示せ．

(8-2) 写像f :A→B，g :B →Cに対して

∀P ⊂A, (g◦f)(P) = g(f(P)) が成り立つことを示せ．

(8-3) 写像f :A →Bが全単射であれば，その逆写像f⁻¹ :B →Aも全単射であることを示せ．

(8-4) 写像f :R→R₊をx∈R に対して f(x) =|x|

で定める．このとき，fを適当な集合に制限して単射であるが全射でないようにし，

それを示せ．ただし，R₊は

R₊={x∈R |x≥0} で与えられる集合とする．

早いもの勝ち制問題

(8-5) 写像f :A→Bが全単射のとき，f◦f⁻¹ =id_B であることを示せ．

(8-6) 写像f :A→B，g :B →Cに対して

∀Q⊂C, (g◦f)⁻¹(Q) =f⁻¹(g⁻¹(Q)) が成り立つことを示せ．

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(8-7) 写像f :R\ {0} →R₊を

f(x) = 1

|x|

によって定める．このとき，fを適当な集合に制限して全単射となるようにし，それを示せ．ただし，R₊は

R₊={x∈R |x >0} で与えられる集合とする．

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予約制問題

早いもの勝ち制問題

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