42 - Keio

2017^年6^月16^{日演習問題} I⃗a1, ⃗a2, ⃗c∈Rⁿ,A= (⃗a1⃗a2)^{とします．}⃗v0∈R^2が

||⃗c−A⃗v0||²≤ ||⃗c−A⃗v||² (⃗v∈R²) を満たすとします．このとき

(⃗c−A⃗v0, A⃗v) = 0 (⃗v∈R²) が成立することを示しましょう．

II⃗a1, ⃗a2∈Rⁿ,A= (⃗a1⃗a2)^{とします．このとき}

tAA^が正則⇔⃗a1∦⃗a2

であることを示しましょう．

III A^はm×n^{行列とします．}A̸=Om,nならば，ある⃗x∈K^{nに対して} A⃗x̸=⃗0

が成立することを示しましょう．

IV

(1)ax+by = 0^を満たす (x

y )

̸

=⃗0が存在することを示しましょう．

(2)^連立1^次方程式 {

a1x+a2y+a3z = 0 b1x+b2y+b3z = 0

を満たす





 x y z





̸=⃗0^{が存在することを}(1)を用いて示しましょう．

IV A= (⃗a1 · · · ⃗an), B = (⃗b1 · · · ⃗bn)^をm×n行列とします．このとき A⃗v=B⃗v (⃗v∈Kⁿ)

ならばA=B となることを示しましょう．

V⃗a∈R^{nがすべての}⃗x∈Rⁿに対して垂直，すなわち (⃗a, ⃗x) = 0 (⃗x∈Rⁿ)

が成立するとします．このとき⃗a=⃗0となることを示しましょう．（「線型代数学」教科書 13^{ページ、演習}1.19^）

VI A∈Mm,n(R),⃗x∈Rⁿ,⃗y ∈R^{mに対して} (A⃗x, ⃗y) = (⃗x,^tA⃗y) が成立することを用いて

t(AB) =^tB·^tA (A∈Mm,n(R), B∈Mn,ℓ(R)) が成立することを証明しましょう．

VII⃗p, ⃗q∈R^nが

⃗

p⊥⃗q, ⃗p̸=⃗0, ⃗q ̸=⃗0 が成立するとき

⃗ p∦⃗q が成立することを示しましょう．

VIII^{（直交射影の一意性）}⃗a,⃗b, ⃗c∈Rⁿが与えられているとして L=L(⃗a,⃗b) ={x⃗a+y⃗b; x, y∈R} を考えます．⃗v0, ⃗w∈R^が

⃗v0∈L, ⃗c−⃗v0⊥L

⃗

w0∈L, ⃗c−w⃗0⊥L が成立するならば⃗v0=w⃗0が成立することを示しましょう．

I⃗a1, ⃗a2, ⃗c∈Rⁿ,A= (⃗a1⃗a2)^{とします．}⃗v0∈R^2が

||⃗c−A⃗v0||²≤ ||⃗c−A⃗v||² (⃗v∈R²) を満たすとします．このとき

(⃗c−A⃗v0, A⃗v) = 0 (⃗v∈R²) が成立することを示しましょう．

解答 この問題は以下を示せば十分です．

V(̸=∅)⊂R^nがRⁿの部分空間とします．すなわち

⃗v1, ⃗v2∈V ⇒ λ⃗v1+µ⃗v2∈V が成立するとします．このとき⃗v0∈V ^と⃗e∈R^nが

||⃗e−⃗v0|| ≤ ||⃗e−⃗v|| (⃗v∈V) (3)

を満たせば

(⃗e−⃗v0)⊥V が成立します．

証明 

||⃗e−⃗v||²=||⃗e−⃗v0+⃗v0−⃗v||²

=||⃗e−⃗v0||²+ 2(⃗e−⃗v0, ⃗v0−⃗v)||⃗v0−⃗v||²

が成立しますから(3)^は

2(⃗e−⃗v0, ⃗v0−⃗v) +||⃗v0−⃗v||²≥0 (⃗v∈V)

と必要十分であることが分かります．まずこの条件を任意のw⃗ ∈ V ^{に対する条件と考} えて

2(⃗e−⃗v0, ⃗v0−w) +⃗ ||⃗v0−w⃗||²≥0 (w⃗ ∈V) (4) が成立するとします．ここで任意の⃗v∈V ^に対して

⃗

w=⃗v−⃗v0∈V と定めると(4)^から

2(⃗e−⃗v0, ⃗v) +||⃗v||²≥0

が任意の⃗v∈V に対して成立することが分かります．ここで t⃗v∈V

が任意のt∈Rに対して成立することを用いると

2(⃗e−⃗v0, t⃗v) +||t⃗v||²≥0 すなわち t²||⃗v||²+ 2t(⃗e−⃗v0, ⃗v)≥0

が任意のt∈Rに対して成立することが従います．⃗v ̸= 0^ならば||⃗v||²>0^{となることに} 注意すると，

t²||⃗v||²+ 2t(⃗e−⃗v0, ⃗v) =||⃗v||² (

t+(⃗e−⃗v0, ⃗v)

||⃗v||² )2

−(⃗e−⃗v0, ⃗v)²

||⃗v||² が成立しますから，もし(⃗e−⃗v0, ⃗v)̸= 0^ならばt=t0:= ^(⃗e_||⁻_⃗v^⃗v_||⁰2^,⃗v) のとき

t²₀||⃗v||²+ 20t(⃗e−⃗v0, ⃗v) =−(⃗e−⃗v0, ⃗v)²

||⃗v||² <0 となり矛盾が生じます．従って

(⃗e−⃗v0, ⃗v) = 0 でなければいけないことが分かります．これは

(⃗e−⃗v0)⊥V と必要十分です．

II⃗a1, ⃗a2∈Rⁿ,A= (⃗a1⃗a2)^{とします．このとき}

tAA^が正則⇔⃗a1∦⃗a2

であることを示しましょう．

解答 (⇒)

tAA^が正則 ⇔ (

tAA⃗v=⃗0⇒⃗v=⃗0 )

⃗a1∦⃗a2 ⇔ (

A⃗v=⃗0⇒⃗v=⃗0 )

が成立することに注意しましょう．ここでA⃗v =⃗0^{とするとt}AA⃗v =⃗0 ^{となりますが、}

tAAが正則という前提の下では⃗v=⃗0^{が従います．よって}⃗a1∦⃗a2が成立します．

(⇐)^tAA⃗v=⃗0が成立するとします．このとき

||A⃗v||²= (A⃗v, A⃗v) = (^tA⃗v, ⃗v) = (⃗0, ⃗v) = 0

からA⃗v=⃗0^{が従います．いま}⃗a1∦⃗a2を仮定していますから⃗v=⃗0^{が従います．}

IIIA^はm×n^{行列とします．}A̸=Om,nならば，ある⃗x∈K^{nに対して}

A⃗x̸=⃗0 が成立することを示しましょう．

解答 A= (⃗a1. . . ⃗an) と列ベクトル表示をすると

A=Om,n⇔⃗a1=· · ·=⃗an=⃗0

であることが分かります．従ってA̸=Om,nならば，あるj^に対して⃗aj ̸=⃗0^{であること} が分かります．このとき

⃗0̸=⃗aj =A⃗ej

から，ある⃗x̸=⃗0^に対してA⃗x̸=⃗0が成立することが分かります．

IV(1)ax+by= 0^を満たす (x

y )

̸

=⃗0が存在することを示しましょう．

(2)^連立1^次方程式 {

a1x+a2y+a3z = 0 b1x+b2y+b3z = 0

を満たす





 x y z





̸=⃗0^{が存在することを}(1)を用いて示しましょう．

解答 (1)

(i)a= 0^ならば

a·1 +b·0 = 0

から (x

y )

= (1

0 )

̸

=⃗0 が解となります．

(ii)a̸= 0^ならば

y=−b ax

から (

x y

)

= (

1

−_a^b )

̸=⃗0^{が解となります．}

(2)

(i)a1=b1= 0^ならば





 x y z





=





 1 0 0





̸=⃗0 ^{が解となります．}

(ii)a1̸= 0^{ならば方程式は}

{ a1x + ( a2y + a3z = 0 b2−_a^b1₁a2

) y +

(

b3− ^b_a¹₁a3

)

z = 0

と必要十分です．このとき (y0

z0

)

⃗0 が存在して (

b2− b1

a1

a2

) y0+

(

b3− b1

a1

a3

) z0= 0

が成立します．このとき

x0=− 1 a1

(a2y0+a3z0)

と定めると





 x0

y0

z0





̸=⃗0^{が解となります．}

(iii) b1̸= 0^ならば(ii)と同様に示すことができます．あるいは方程式が { b1x+b2y+b3z = 0

a1x+a2y+a3z = 0 と必要十分であることに注意すれば，(ii)^{に帰着できます}.

IV A= (⃗a1 · · · ⃗an),B = (⃗b1 · · · ⃗bn)^をm×n行列とします．このとき A⃗v=B⃗v (⃗v∈Kⁿ)

ならばA=Bとなることを示しましょう．

解答 標準単位ベクトル⃗ej に対して

A⃗ej =B⃗ej から ⃗aj =⃗bj

が従います．すべての列が等しいことを意味しますからA=Bであることが分かります．

V⃗a∈R^{nがすべての}⃗x∈Rⁿに対して垂直，すなわち (⃗a, ⃗x) = 0 (⃗x∈Rⁿ)

が成立するとします．このとき⃗a=⃗0となることを示しましょう．（「線型代数学」教 科書13^{ページ、演習}1.19^）

解答 ⃗v=⃗a^とすると

||⃗a||²= (⃗a, ⃗a) = 0

から⃗a=⃗0^{が従います}.

VIA∈Mm,n(R), ⃗x∈Rⁿ,⃗y∈R^{mに対して} (A⃗x, ⃗y) = (⃗x,^tA⃗y) が成立することを用いて

t(AB) =^tB·^tA (A∈Mm,n(R), B∈Mn,ℓ(R)) が成立することを証明しましょう．

解答 任意の⃗z∈R^{ℓ と任意の}⃗y∈R^{mに対して}

(AB⃗z, ⃗y) = (B⃗z,^tA⃗y) = (⃗z,^tB^tA⃗y) が成立します.^他方

(AB⃗z, ⃗y) = (⃗z,^t(AB)⃗y) が成立します.^従って (

⃗

z,(^tB^tA)⃗y−^t(AB)⃗y)

= 0

が任意の⃗z∈R^{ℓに対して成立します}.^よって

(^tB^tA)⃗y=^t(AB)⃗y が任意の⃗y ∈R^{nに対して成立します}.^これから

tB^tA=^t(AB)

が導けます.

VII⃗p, ⃗q∈R^nが

⃗

p⊥⃗q, ⃗p̸=⃗0, ⃗q̸=⃗0 が成立するとき

⃗ p∦⃗q が成立することを示しましょう．

解答

c1p⃗+c2⃗q =⃗0 (5)

が成立するとします．この両辺と⃗q^{との内積をとると} 0 =c1(⃗p, ⃗q) +c2||⃗q||²=c2||⃗q||²

となります．このとき⃗q ̸=⃗0^から||⃗q||² >0^{が成立します．従って}c2 = 0^{を導くことが} できます．これを(5)^{に代入すると}

c1⃗p=⃗0 となりますが，⃗p̸=⃗0^からc1= 0^{となります．}

VIII ^{（直交射影の一意性）}⃗a,⃗b, ⃗c∈Rⁿが与えられているとして L=L(⃗a,⃗b) ={x⃗a+y⃗b; x, y∈R} を考えます．⃗v0, ⃗w∈R^が

⃗v0∈L, ⃗c−⃗v0⊥L

⃗

w0∈L, ⃗c−w⃗0⊥L が成立するならば⃗v0=w⃗0が成立することを示しましょう．

解答 任意の⃗α∈L^に対して

(⃗c−⃗v0, ⃗α) = (⃗c−w⃗0, ⃗α) = 0 が成立します．これから

(w⃗0−⃗v0, ⃗α) = ((⃗c−⃗v0)−(⃗c−w⃗0), ⃗α) = (⃗c−⃗v0, ⃗α)−(⃗c−w⃗0, ⃗α) = 0

が導けます．ここで⃗α=w⃗0−⃗v0∈L^とすると

||w⃗0−⃗v0||²= 0

からw⃗0=⃗v0が導けます．