1
２０２１年 １０月広島大模試作問・数学 解答・採点基準
全５問 １５０分 ２００点満点 １ (４０点)
【解答・採点基準】
(1) (1) 10 点
実数 を用いて とおくと,
であり, 与えられた式 と比較すると,
となる。よって, である。
(答) 答‥10 点
(2)
であるから, (1)の結果より
となる。 より であるから, 数列
(2) 20 点
与えられた漸化式 を を 用 い て 表 す‥5 点
,
p q f n
( )
= pn q p+(
¹0)
( ) { ( ) }
( )
1 1 1
1 2 2
1 2 2 2 2
2 2
n
n n
n
n n
n
n n
a f n a f n
a p n q a pn q
a a pn p q
+ + +
- + = - +
Û - + - = - - +
Û = + - + -
1 2 2n 1
n n
a+ = a + - -n
( ) ( )
1 , 1, 2
1
p p q
p q - =-
ì Û =
í - =- î
( )
2f n = +n
( )
2f n = +n
( )
2
( )
2
n
n n
n
n n
a f n b
a b f n
= -
Û = +
( ) { ( ) }
( ) ( ) { ( ) ( ) }
1 1
1
1
1 2 2
2 1 1 2 2 2
1 2
n
n n
n n n
n n
n n
a f n a f n
b f n f n b f n f n
b b
+ +
+
+
- + = - +
Û + + - + = + - +
Û = +
( )
1 3, 1 1f = a = 1
( )
1
1 1
2 a f
b -
= =-
{ }
bnbn
2 は初項 , 公差 の等差数列である。よって,
であるから,
である。
(答)
の 一 般 項 を 求 める‥5 点
答‥10 点 (3)
であるから, である。
(3)10 点
(答)
答‥10 点
-1 1
2
( )
1 3
1 1
2 2
n
b =- + n- =n-
( )
3 1
2 2 2 3 2
2
n n
n
a = ×n- + + =n - n- + +n
( )
2n 1 3 2 an = - n- + +n
bn
( )
( )
1 1
2 2 3
2 3 2
2 1 1 1
1 3
2 2
1 3 1 2 1 1
2 2 2 2
n n
n n
n n
n n
n n
a
a n n
n n
n n
+ -
- + +
= - + +
æ ö æ ö
- +ç ÷ + × ×ç ÷
è ø è ø
= - +æ öç ÷ + × ×æ öç ÷
è ø è ø
1 1
lim 2
1 2
n
n n
a a
+
®¥ = =
lim n 1 2
n n
a a
+
®¥ =
3
２ (４０点)
【解答・採点基準】
(1) (1) 15 点
の ≦ ≦ の範囲での増減を調べる。
である。
[1] ≦ つまり ≦ のとき 増減表は以下のようになる。
このとき解を持つ条件は,
≦ ≦ ≦ ≦
である。
[2] つまり のとき
増減表は以下のようになる。
このとき解を持つ条件は,
≦ かつ「 ≧ または ≧ 」 であり, のとき
≦ ≦
≦ のときの解 を持つ条件‥3 点
( )
f t 0 t 1
( )
32 6 3(
2)
f t¢ = t - at= t t- a
2a 0 a 0
t 0 ! 1
( )
f t¢ +
( )
f t -b ! 1 3a b- -
-b 0 1 3- a b- Û0 b 1 3a-
0 2< a<1 0 1 a 2
< <
t 0 ! 2a ! 1
( )
f t¢ - 0 +
( )
f t -b ! -4a3-b ! 1 3a b- -
4a3 b
- - 0 -b 0 1 3a b- - 0 0 1
a 3
< <
4a3
- b 1 3a-
a 0
4 で, ≦ のとき
≦ ≦ となる。
[3] ≧ つまり ≧ のとき 増減表は以下のようになる。
このとき解を持つ条件は,
≦ ≦ ≦ ≦
である。
以上を合わせて, 求める領域を図示すると以下のようになる。ただ し境界線を含む。
(答) 上図
の と き の解を持つ条件
‥4 点
≧ のときの解 を持つ条件‥3 点
答‥5 点
(2)
(1)の場合分け[1], [3]のときは, ≦ ≦ の範囲で単調増加または
単調減少であるから高々 つしか解を持たない。[2]のとき相異なる
(2) 15 点 が 必 要 1
3
1 a<2 4a3
- b 0
2a 1 a 1
2
t 0 ! 1
( )
f t¢ -
( )
f t -b ! 1 3a b- -
1 3a b- - 0 -bÛ -1 3a b 0
a b
O
0 1 a 2
< <
a 1 2
0 t 1 1
0 1 a 2
< <
4 3
b=- a 1
-2
1 2 1 3 1 3
b= - a
5 つの解を持つ条件は,
かつ ≧ かつ ≧ であり, のとき
≦ で, ≦ のとき
≦
となる。よって図示すると以下のようになる。ただし, 実線の境界 は含み, 点線の境界及び白丸は含まない。
(答) 上図
であること‥5 点
解を 2 つもつ条件
‥5 点
答‥5 点 (3)
求める面積を とすると,
となる。
(3)10 点 2
4a3 b 0
- - < -b 0 1 3a b- - 0 0 1
a 3
< <
4a3 b - < 0 1
3
1 a<2
4a3 b
- < 1 3a-
a b
O
S
( )
{ }
1{ ( ) }
1
3 2 3
3 1
0 3
1 12
4 3 4 2
0 1
3
0 4 1 3 4
3 2
1 1 3 1 1 1 1 81 16 8 2 81 6 3
1 48
S a da a a da
a a a a
= - - + - - -
é ù
=é ùë û +êë - + úû
æ ö
= + - + -ç - + ÷
è ø
=
ò ò
1 -2
1 2 1
3 4 3
b=- a 1 3 b= - a
6
(答) 答‥10 点 1
48
7
３ (４０点)
【解答・採点基準】
(1) (1) 5 点
である。また, △ について とおくと, 余弦定理より
である。よって,
となる。
(答) 答‥5 点
(1)[別解]
であるから,
となる。
(答)
(1)[別解] 5 点
答‥5 点
(2) (2) 15 点
5, 8
b! = c! =
ABC ÐBAC=q
2 2 2
5 8 7 1
cosq= 2 5 8+ - = 2
× ×
cos 8 1 20 b c× = b c q= 5× ×2=
! ! ! !
20 b c! !× =
=5, =8, BC 7
b! c! = c b! !- =
2
2 2
49
2 49
64 2 25 49 20
c b
c b c b b c b c - =
Û - × + = Û - × + =
\ × =
! !
! ! ! !
! !
! !
20 b c! !× =
8
上図のように と内接円 の接点をそれぞれ と おき, とする。円の接線の性質より,
であるから,
となる。よって, である。内接円
の性質より が成り立ち, 内心 は△ の内部
にあるから, を満たす実数 を
用いて, とおける。(1)の結果を利用すると
・・・①
接点で区切られた 各線分の長さを求 める‥5 点
をパラメータを 用いて表し, 直交 条件に関する 2 式 を立てる‥5 点
AB, BC, CA I S, T, U
( )
AS=x 0< <x 5
AU=x, BT BS 5= = -x, CT CU 8= = -x
BT CT BC
5 8 7
3
x x
x
+ =
Û - + - = Û =
AS 3 AU 3
AS , AU
ABb 5b ACc 8c
= = = =
!!!" " " !!!" " "
IS AB, IU^ ^AC I ABC
0< <p 1, 0< <q 1, 0< + <p q 1 p q, AI!!"= pb qc"+ "
( )
2
SI AB
AI AS AB 0
3 0
5
3 0
5
25 3 20 0 5
p b qc b p b qb c
p q
^
Û - × =
ìæ ö ü
Ûíîçè - ÷ø + ýþ× =
æ ö
Ûç - ÷ + × =
è ø
æ ö
Û ç - ÷+ =
è ø
!!" !!!"
!!" !!!" !!!"
" " "
" " "
5p 4q 3 Û + =
AI!!"
A
B C
S
U
I
T
9
・・・② となる。①, ②を解くと であるから,
となる。これは を満たす。
(答) 答‥5 点
(2)[別解]
直線 と辺 の交点を とする。角の二等分線の性質より,
であるから, である。同様に,
であるから,
(2)[別解] 15 点
角の二等分線の性 質 よ り を 求 め る‥5 点
角の二等分線の性
質より と の
比を求める‥5 点
( )
2
UI AC
AI AU AC 0
3 0
8
3 0
8 20 64 3 0
8
pb q c c
pb c q c
p q
^
Û - × =
ì æ ö ü
Ûíî +çè - ÷ø ýþ× =
æ ö
Û × +ç - ÷ =
è ø
æ ö
Û + ç - ÷=
è ø
!!" !!!"
!!" !!!" !!!"
" " "
" " "
5p 16q 6 Û + =
(
,)
2 1,p q =æç5 4ö÷
è ø
2 1
AI!!"=5b"+4c"
0< <p 1, 0< <q 1, 0< + <p q 1
2 1
AI!!"=5b"+4c"
AI BC P
BP : PC AB : AC 5 : 8= =
5 35 8 5
BP 7 , AP
13 13 13b 13c
= × = !!!"= "+ "
AI : IP BA : BP 5 :35 13 : 7
= = 13=
AP!!!"
AP AI A
B C
I
P
10 となる。
(答) 答‥5 点
(3)
を実数として, とおく。 の中点をそれぞ れ とすると, が成り立ち,
である。よって, (1)の結果を利用すると
・・・③
(3) 15 点
をパラメータ を用いて表し, 直 交条件に関する 2 式を立てる‥5 点
13 2 1
AI AP
20 5b 4c
= = +
!!" !!!" " "
2 1
AI!!"=5b"+4c"
,
k l AO!!!"=kb lc"+ "
AB, AC M, N OM^AB, ON^AC
1 1
AM , AN 2b 2c
= =
!!!!" " !!!" "
( )
2
MO AB
AO AM AB 0
1 0
2
1 0
2
25 1 20 0 2
k b lc b
k b lb c
k l
^
Û - × =
ìæ ö ü
Ûíîçè - ÷ø + ýþ× =
æ ö
Ûç - ÷ + × =
è ø
æ ö
Û ç - ÷+ =
è ø
!!!!" !!!"
!!!" !!!!" !!!"
" " "
" " "
10k 8l 5 Û + =
AO!!!"
A
B C
M N
O
11
・・・④
となる。③, ④を解くと であるから,
となる。
(答) 答‥10 点
(4)
(2), (3)の結果より
であるから, (1)より
となる。 より, である。
(4) 5 点
(答) 答‥5 点
( )
2
NO AC
AO AN AC 0
1 0
2
1 0
2 20 64 1 0
2
kb l c c
kb c l c
k l
^
Û - × =
ì æ ö ü
Ûíî +çè - ÷ø ýþ× =
æ ö
Û × +ç - ÷ =
è ø
æ ö
Û + ç - ÷=
è ø
!!!" !!!"
!!!" !!!" !!!"
" " "
" " "
5k 16l 8 Û + =
( )
, 2 11,15 24 k l =æç ö÷
è ø
2 11 AO=15b+24c
!!!" " "
2 11 AO!!!"=15b"+24c"
OI AI AO
2 1 2 11
5 4 15 24
4 5
15 24
b c b c
b c
= -
æ ö æ ö
=çè + ÷ çø è- + ÷ø
= -
!!" !!" !!!"
" " " "
" "
2 16 2 1 25 2
OI 225 9 576
16 20 25
9 9 9
7 3
b b c c
= - × +
= - +
=
!!" " " " "
OI 0> 7 21 OI= 3 = 3
OI 21
= 3
12
４ (４０点)
【解答・採点基準】
(1) (1) 15 点
取り出した つの球の数字を のように表現する。 回の球の 取り出し方は 通りあり, これらは同様に確からしい。得点が 点となるのは, 及びこれらの並び替えの場合であ り, その取り出し方は
(通り)
ある。よって, である。
(答)
5 点になる球の組 み合わせを過不足 なく列挙‥10 点
答‥5 点 得点が得られる場合について, 球の取り出し方と得点をまとめると
以下のようになる。
のとき, 点
及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点
及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点
のとき, 点
及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 のとき, 点
及びその並び替えのとき, 点
(2) 25 点
～ 点 を と る
3
(
1, 2, 3)
343=64
5
(
1, 1, 3 , 1, 2, 2) ( )
3! 3!
2!1! 2!1!+ =6
5
6 3
64 32 P = =
5
3 P =32
(
1, 1, 1)
3(
1, 1, 2)
4(
1, 1, 3)
5(
1, 1, 4)
6(
1, 2, 2)
5(
1, 3, 3)
7(
1, 4, 4)
9(
2, 2, 2)
6(
2, 2, 3)
7(
2, 2, 4)
8(
2, 3, 3)
8(
2, 4, 4)
10(
3, 3, 3)
9(
3, 3, 4)
10 3 1213 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点
よって, 得点が 点となる球の取り出し方 は, それぞれ 通りある。ゆえに, は
のとき最大値 をとる。
確率または場合の 数をそれぞれ列挙
‥20 点(2 点×10)
(答) のとき最大値
答‥5 点
(
3, 4, 4)
11(
4, 4, 4)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
1, 3, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 3, 1 Pn
5, 7, 8, 10
n= 6 3
64=32
5, 7, 8, 10
n= 3
32
14
５ (４０点)
【解答・採点基準】
(1) (1) 10 点
≦ ≦ に対し, を平面 で切った断面は, 半径 の 円であるから, 求める体積は
となる。
(答)
立式‥3 点
答‥7 点 (2)
の表面または内部の点 は
≦ ≦ , ≦
を満たす点である。よってこの点の 座標は ≦ ≦ を満たす。
は 平面で対称であるから, ≧ の範囲だけ考える。ここで
≦ ≦ に対し, を平面 で切った断面を考える。断面上の点 は
≦ ≦
≧
≦ ≦
を満たす点である。図示すると以下のようになる。ただし を
(2) 30 点 の 表 す 領 域 の 立式‥4 点
平 面 で 切 っ た断面の領域の立 式‥3 点
2 -p k
2
p E x k= cosk
2 2 2
2 2
2
2 2
1 cos 2
cos 2
sin 2
2 4
1 2
kdk kdk
k k
p p
p p
p
p
p p
p p
- -
-
= +
é ù
= êë + úû
=
ò ò
1 2
2p
E
(
x y z, ,)
2 -p x
2
p 2 2
y +z cos2x
z -1 z 1
F xy z 0 0
k 1 E z k=
(
x y,)
2 -p x
2 p
cosx k
2 2
cos x k
- - y cos2x k- 2
t
E
z k=
15
≦ ≦ , を満たす唯一の実数とした。
ここで断面上の原点から最も遠い点を考える。断面は 軸および 軸で対称であるから, そのような点の候補としては
( ≦ ≦ )となる点のみを考えればよい。この点の原点からの距離
の 乗は
となる。これを とする。ここで
である。 ≦ ≦ の範囲で ≧ であるから, は単調増 加である。 より ≧ となるから, も単調増加 である。よって, 最も遠い点の つは のときで, である。
断面が原点を含んでいることに気を付ければ, を平面 で切 った断面は, 半径 の円である。よって の体積は
最も遠い点として 境界のみを考える という発想‥4 点
最も遠い点の計算 と証明‥4 点
置換積分の発想
‥4 点 0 t
2
p cost k=
x y
O
x y
(
x, cos2x k- 2)
0 x t 2
( )
22 cos2 2 2 cos2 2
x + x k- =x + x k-
( )
f x
( ) ( )
2 2cos sin 2 sin 2 2 2cos 2
f x x x x
x x
f x x
¢ = -
= -
¢¢ = -
0 x t f¢¢
( )
x 0 f x¢( ) ( )
0 0f¢ = f x¢
( )
0 f x( )
1 x t=
( )
t, 0F z k=
t F
1 2
2
ò
0pt dkt t
-
2 1-k
2 1 k - -
2 2
cos y=- x k-
2 2
cos y= x k-
16
となる。ここで ≦ ≦ , に気を付けて, の積分に置換 することを考える。
であり, であるから
となる。
回部分積分をす る発想‥4 点
(答) 答‥7 点
0 t 2
p cost k= t
k 0®1
t 0
2 p ®
sin dk =- tdt
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
( )
1 2 0 2
0 2
2 2 0
2 2 2
0 0
2 0
2 2
0 0
2 2
0
2 2 sin
2 sin
2 cos 2 2 cos
4 cos
4 sin 4 sin
2 4 cos
2 2
t dk t t dt
t tdt
t t t tdt
t tdt
t t tdt
t
p p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
p p
p p
= -
=
é ù
= ë - û +
=
= -
= - -
= -
ò ò
ò
ò ò
ò
2
( )
2p p -2
