千葉大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

1

千葉大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

全９問 １ （５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15点

さいころを振ったとき, 点Pがx軸の正の向きに移動する確率は 2

3^であり, y軸の正の向きに移動する確率は1

3^{である。動点Pが点} Aに移動するのは, x軸の正の向きに4回移動し, y軸の正の向き に5回移動するときであるから, 求める確率は

4 5 5

9 4 7

2 1 2 7 224

C 3 3 3 2187

    =  =

   

    となる。

(答) 224 2187

立式‥5点

答‥10点

(2)

点Pが点Aに移動する事象をX, 点Pが点Bを通る事象をYとす

ると, (1)の結果より

( )

^{2 75}₇

P X = 3 であり,

( )

6 3 ^{3 3} 3 1 ^{1 2}

6 8

2 1 2 1

C C

3 3 3 3

2 5 3

P XY =                     

= 

である。よって, 求める条件付き確率は

( ) ( )

( )

6 7

8 5

2 5 3 10

21

3 2 7

X

P X Y P Y P X

 

= =  =

 となる。

(2) 15点

( )

P XY ‥5点

2

(答) 10 21

答‥10点

(3)

点Pが点Bを通って点Aに移動する事象をZ, 点Pが点Cを通っ

て点Aに移動する事象をWとすると, (2)より

( )

⁶8

2 5 P Z 3

= であり,

( )

3 1 ^{1 2} 6 3 ^{3 3}

6 8

2 1 2 1

C C

3 3 3 3

2 5 3

P W =                     

= 

である。また,

( )

3 1 ^{1 2} 3 2 ^{2 1} 3 1 ^{1 2}

4 6

2 1 2 1 2 1

C C C

3 3 3 3 3 3

2 3

P Z W =                                

=

となる。よって, 求める確率は

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 6 6 4

7 8 8 6

4 8

2 7 2 5 2 5 2

3 3 3 3

2 11 3 176 6561

P X −P Z W =P X −P Z −P W +P Z W

  

= − − +

= 

=

となる。

(答) 176 6561

(3) 20点

( ) ( )

^,

P Z P W ‥5点 (完答)

( )

P Z W ‥5点

答‥10点

(3)[別解]

点Pが移動の過程で点Bも点Cも通らずに, 各座標に移動する経 路の場合の数を記入すると下図のようになる。

(3)[別解] 20点

3

x y

O

よって, 点Pが移動の過程で点Bも点Cも通らずに, 点Aに移動す る経路は33通りある。このうち, ある1つの経路を移動する確率は

いずれも

4 5

2 1 3 3

   

   

    ^{であるから, 求める確率は}

4 5

2 1 176

33 3 3 6561

   

       = となる。

33通り‥5点

4 5

2 1 3 3

   

   

    ^‥5点

(答) 176 6561

答‥10点 A

B

C

1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 3 4 5

0 1 2

3 3

4 0

7 12

12

6 6 18

9 15 33

1

1

２ （５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 20点

数列

 

An の第n群は

( ) ( )

1 , 2n  −n 1 , ,k n + −1 k , ,n1 のように, n個の項からなり, 第n群の第k項が

(

¹

) (

^{1, 2, ,}

)

k n + −k k= n となるような数列である。ここで, 99 3 11= 2 と素因数分解できるから, 積が99となるような2つの自 然数の組は



1, 99 , 3, 33 , 9, 11

    

の3組である。このうち2つの自然数の和が最も小さくなるのは



^{9, 11}



であり, その和は20となる。第n群はp q n+ = +1となる正の 整数の組

(

^{p q,}

)

に対して, 積pqをpの値が小さいものから順に並べ たものであるから, 99が初めて現れるのは第19群の第9項である とわかる。第n群はn個の項をもつから,

18

1

9 1 18 19 9 2

180

k

k

=

+ =   +

=



より, 第19群の第9項は数列

 

An の第180項となる。よって, 99が 初めて現れるのは第180項である。

(答) 第180項



^{9, 11}



‥5点

第19群の第9項

‥5点

立式‥5点

答‥5点 (2)

(1)の過程から, 第n群の総和は

( )

( )

 

( ) ( ) ( )( )

( ) (  ) ( ) 

( )( )

1

2 1

1 1

1 1

1 1 1 2 1

2 6

1 1 3 1 2 1

6

1 1 2

6

n n

k n

k

S k n k

n k k

n n n n n n

n n n n

n n n

=

=

= + −

= + −

= +  + − + +

= + + − +

= + +





(2) 10点

立式‥5点

2 となる。

(答) ¹

(

¹

)(

²

)

n 6

S = n n+ n+ 答‥5点 (3)

初項から第180項までの総和, すなわち第19群の第9項までの総和 を求めればよい。また, 第19群の第k項は

(

^{19 1}

)

^{20 2}

k + −k = k k−

と表せる。第n群の総和はS_nとなるから, 求める総和Sは

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

18 9

2

1 1

18 9

2

1 1

18 9

3 2 2

1 1

2

20

1 1 2 20

6

1 3 2 20

6

1 1 1 1

18 19 3 18 19 37 2 18 19

6 2 6 2

1 1

20 9 10 9 10 19

2 6

1 1 1 1

18 19 18 19 37 2 9 10 3 2

6 2 2 6

k

k k

k k

k k

S S k k

k k k k k

k k k k k

= =

= =

= =

= + −

= + + + −

= + + + −

 

  

=     +     +    

 

 

 

+    −   

 

=       + + +    

 

 

 

 

(

^{0 19}

)

57 210 15 41 2

5985 615 6600

−

=  + 

= +

= となる。

(答) 6600

(3) 20点

「 第1群 の 初 項 か ら第18群の末項ま での総和」と「第19 群の初項から第19 群の第9項までの 総和」の和として求 める方針に‥5点

第1群 の 初 項 か ら 第18群の末項まで の総和5985‥5点 第19群の初項から 第19群の第9項ま での総和615‥5点 答‥5点

(3)[別解]

初項から第180項までの総和, すなわち第19群の第9項までの総和 を求めればよい。これを, 第1群の初項から第18群の末項までの総和

s1と第19群の初項から第9項までの総和s₂の和として計算する。こ こで, 第n群の総和はS_nとなるから, 第1群の初項から第18群の末 項までの総和s₁は

18 1

1 k k

s S

=

=



となる。ここで, S_nは

(3)[別解] 20点

「 第1群 の 初 項 か ら第18群の末項ま での総和」と「第19 群の初項から第19 群の第9項までの 総和」の和として求 める方針に‥5点

3

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

 

( )( )( ) ( ) ( )( )

 

1 1 2

6

1 1 1 2 3 1 1 2

6 4

1 1 2 3 1 1 2

24

Sn n n n

n n n n n n n n

n n n n n n n n

= + +

=  + + + − − + +

= + + + − − + +

と表せる。これを用いて

( )( )( ) ( ) ( )( )

 

( ) ( )



( ) 

18 1

1

1 1 2 3 1 1 2

24

1 1 2 3 4 0 1 2 3 2 3 4 5 1 2 3 4 24

18 19 20 21 17 18 19 20 1 18 19 20 21

24 5985

k

s k k k k k k k k

=

= + + + − − + +

=    −    +    −    + +    −   

=    

=



となる。また, 第19群の総和S₁₉はs₂を用いて

19

2 2

2

1 19 2 18 9 11 10 10 11 9 18 2 19 1 100

2 100 S

s s

s

=  +  + +  +  +  + +  + 

= + +

= + と表せる。よって

19 2

100 2

1 19 20 21 100 6

2 615 s S −

=

   −

=

=

である。以上より, 求める総和は

1 2 5985 615 6600 s +s = +

= となる。

第1群 の 初 項 か ら 第18群の末項まで の総和5985‥5点

第19群の初項から 第19群の第9項ま での総和615‥5点

(答) 6600 答‥5点

1

３ （５０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 25点

y ax= 2+bx c+ の表す曲線は下に凸の放物線であるからa0であ る。また, この曲線は2点

( ) (

1, 1 , 4, 4

)

を通るから,

1

4 16 4

5 1

4 a b c

a b c

b a

c a

= + +

 = + +



= − +

 =

となる。よって, 2次方程式ax²+bx c+ =0の判別式をDとすると,

( )

( )( )

2 2 2

4

5 1 4 4

9 10 1 1 9 1 D b ac

a a a

a a

a a

−

− + − 

=

=

= − +

= − −

となる。y ax= ²+bx c+ の表す曲線がx軸と共有点をもつのはD 0 のときであるから, a0とあわせると

0 1, 1

a 9 a

 となる。

(答) 1

0 , 1

a 9 a



0 a ‥5点

aを 用 い てb c, を 表して‥5点

aを用いて判別式 Dを表して‥5点

0

D ‥5点

答‥5点

(2)

y ax= 2+bx c+ の表す曲線がx軸と接するのはD=0のとき, すなわ ち 1, 1

a=9 のときである。 1

a=9のとき,

( )

2 2

2

1 4 4

9 9 9

1 2

9 ax bx c x x

x

+ + = + +

= +

であり, a=1のとき,

( )

2 2

2

4 4 2 ax bx c x x

x + + = − +

= −

(2) 25点

1, 1 a=9 ‥5点

( ) (

²

)

²

1 2 , 2

9 x+ x−

‥5点(完答)

2

であるから, 求める面積は下図の斜線部分の面積である。

x y

O

よって, 求める面積は

( ) ( ) ( )

¹

( )

²

1 2 2 2 3 3

2 1

2 1

1 1 1 1

2 2 2 2

9 9 3 3

1 1 3 4 3

x dx x dx x x

− −

   

+ + − =  +  + − 

= +

=

 

となる。

図示‥5点

立式‥5点

(答) 4 3

答‥5点

(

²

)

²

y= x−

4

4 1

2 1

− 2

( )

²

1 2

y=9 x+

1

４ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15点

( )

^{3 2}

f x = x +aであるから, l_pの方程式は,

( ) ( )( )

y f p− = f p x p −

(

^{3 2}

) ^{( )}

³

y p a x p p ap

 = + − + +

(

^{3p2 a x}

)

^2p3

= + −

となる。

(答) ^y=

(

^{3p2+a x}

)

^−2p3

( )

f x ‥5点

答‥10点 (2)

Cの方程式とl_pの方程式からyを消去すると,

( )

( ) ( )

3 2 3

3 2 3

2

3 2

3 2 0

2 0

, 2

x ax p a x p

x p x p

x p x p

x p p

+ = + −

 − + =

 − + =

 = −

である。したがって, 直線l_pとl_qが一致するとき, p q より, 2

q= − p となる。

(証明終) (2)[別解]

直線l_pとl_qが一致するとき, l_qはCの接線であるから, l_qはy軸 と平行でなく, ^{f q}

( )

⁰である。したがって, l_qの方程式は,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

y f q x q

f q

y x q f q

f q

− = − −



 = − − +



3

2 2

1

3 3

x q q aq

q a q a

= − + + +

+ +

である。このとき, l_pとl_qの方程式の係数を比較すると,

(2) 15点

yを消去する方針

‥5点

証明完了‥10点 (p q に言及して いない場合9点) (2)[別解] 15点

lqの方程式を求め て‥3点

2

( )

2

2

3 3

2

2

2

3 2 3

2

2

3 2 3

3 1

3

2 3

3 1

3

2 3

3 1

3

2 3 0

p a

q a

p q q aq

q a p a

q a

p q p a q aq

p a

q a p p q q

 + = −

 +



− = + +

 +



 + = −

 +

 − = − + + +

 + = −

 +

  − + = となるから,

( ) ( )

( )

3 2 3

2

2 3 0

2 0

2 p p q q

p q p q

q p p q

− + =

 − + =

 = − 

となる。

(証明終)

係数比較の方針

‥2点

証明完了‥10点 (p q に言及して いない場合9点) (3)

直線l_pとl_qが一致するとき, 点Qにおける接線とl_pが直交するこ とから,

( ) ( )

¹

f p f q  = −

であり, (2)よりq= −2pであるから,

( ) ( )

(

²

)(

²

)

2 1

3 12 1

f p f p

p a p a

  − = −

 + + = −

4 2 2

36p 15ap a 1 0

 + + + = ・・・①

となる。したがって, pが異なるときl_pも異なるから, 直線lが4 本存在する条件は, p q より, p0なので, pについての方程 式①が0以外の4つの異なる実数解をもつことである。t=p²とお くと, 条件は, tについての方程式

2 2

36t +15at a+ + =1 0

がt0において, 2つの異なる実数解をもつことである。よって, 判別式をD, 解を  とおくと, 解と係数の関係から,

(3) 30点

①式を求めて

‥5点

pと直線l_pが一対 一対応することに 言及‥5点 条件の言い換え

‥5点

tの方程式に帰着

‥5点

3

( )

( )

2 2 2

2

2

15 4 36 1 0

9 16

15 36

1 1 0

36 4 3

D a a

a

a a a





 



 = −  + 

  

  



 



 + = −  



= + 



  − となる。

(答) 4

a −3 答‥10点

1

５ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 35点

2 2 4

4 n y

y nx n x

n

= − +  = −

であるから, 0≦y≦−nx²+4nをy軸周りに1回転させてできる 立体Vnの方程式は

2 2

x +z ≦^{4n y} n

− (0≦y≦4n) ・・・①

である。ここで, 平面y k k=

(

=0, 1, 2, , 4 n

)

上にあるVnの格子点 の数を考える。 4n k

r n

= − とし, 以下, kの値について場合分け

を行う。

[1] k=0のとき

このとき, r=2となるから, ①を満たす格子点は下図の黒丸 となる。

x z

O

したがって, 格子点の数は13個となる。

[2] k=1, 2, , 2 nのとき

このとき, 2≦r2となるから, ①を満たす格子点は下図

立体Vnの方程式を 求める, あるいは 図示して‥5点

y 軸に垂直な平面 上の格子点に注目 して考える方針

‥5点

k の値について正 しく場合分けを行 って‥5点(完答)

1 2

2 の黒丸となる。

x z

O

したがって, 各kについて格子点は9個ずつあり, その総数 は9 2 n=18n(個)となる。

[3] k=2n+1, 2n+ 2, , 3nのとき

このとき, 1≦r 2となるから, ①を満たす整数

(

^{x z,}

)

の組 は

(

x z^,

) (

= ^{0, 0 ,}

) (

1, 0 , 0, 1

) (



)

となる。したがって, 格子点は各kについて5個ずつあり, そ の総数は5 =n 5n(個)となる。

[4] k=3n+1, 3n+ 2, , 4nのとき

このとき, 0≦r1となるから, ①を満たす整数

(

^{x z,}

)

の組 は

(

^{x z,}

) (

^{= 0, 0}

)

のみである。したがって, 格子点は各kについて1個ずつあり, その総数は1 =n n(個)となる。

以上, [1], [2], [3], [4]より, 求める格子点の数は 13 18+ n+5n n+ =24n+13(個)

となる。

(答) P_n=24n+13 答‥20点

(1)[別解] (1)[別解] 35点

1 2

3

2 2 4

4 n y

y nx n x

n

= − +  = −

であるから, 0≦y≦−nx²+4nをy軸周りに1回転させてできる 立体V_nの方程式は

2 2

x +z ≦^{4n y} n

− (0≦y≦4n)

 y≦−nz²+4n nx− ² (0≦y≦4n) ・・・① である。さらに

2 2

x +z ≦4n y n

− ≦4 ( 0≦y≦4n)

であるから, 立体Vnは−2≦x≦2の範囲にある。ここで, 平面 2, 1, 0

x=   上にある格子点の数を場合分けして考える。

[1] 平面x= 2上の格子点 このとき, ①は

y≦−nz² ( 0≦y≦4n)

と書けるが, これを満たす整数

(

^{y z,}

)

の組は

(

^{y z,}

) (

^{= 0, 0}

)

の みである。したがって, 平面x= 2上の格子点の数は各1個の 計2個となる。

[2] 平面x= 1上の格子点 このとき, ①は

y≦−nz²+3n ( 0≦y≦4n)

と書ける。したがって, 平面x= 1における立体Vnの断面は 下図斜線部分のようになる。

立体V_nの方程式を 求める, あるいは 図示して‥5点

x軸, あるいはz 軸に垂直な平面上 の格子点に注目し て考える方針

‥5点

x, あるいはz の 値について正しく 場合分けを行って

‥5点(完答)

4 z y

O

上図より, z= 1上の格子点の数は各2n+1(個), z=0上の格 子点の数は3n+1(個)となる。したがって, 平面x= 1上の格 子点の数は各

(

^{2n+  +1 2}

) (

^{3n+ =1}

)

^7n+3(個)

の計

(

^{7n+  =3 2 14}

)

^n+6(個)

となる。

[3] 平面x=0上の格子点 このとき, ①は

y≦−nz²+4n ( 0≦y≦4n)

と書ける。したがって, 平面x=0における立体Vnの断面は下 図斜線部分のようになる。

3

− 3 −1

2n 3n

(

^{x= 1}

)

1

5 z y

O

上図より, z= 2上の格子点の数は各1個, z= 1上の格子点 の数は各3n+1(個), z=0上の格子点の数は4n+1(個)とな る。したがって, 平面x=0上の格子点の数は

( ) ( )

1 2 + 3n+  +1 2 4n+ =1 10n+5(個) となる。

以上, [1], [2], [3]より, 求める格子点の数は

( ) ( )

2+ 14n+ +6 10n+5 =24n+13(個) となる。

(答) P_n=24n+13 答‥20点 (2)

(1)で求めた整数の組

(

^{x z,}

)

^のうち,

(

^{x z,}

) (

^{= 2, 0 ,}

) (

^{1, 1}

)

^(複号

同順)は 2

x−z ≦1を満たさない。したがって, 求める格子点の数は

9 7 2+  n+  +  =5 n 1 n 20n+9(個) となる。

(2) 25点

2

x−z ≦1を満たさ

ない点, あるいは 満たす点を述べて

‥5点(完答) (答) Q_n =20n+9 答‥20点(完答) 2

−2 −1

3n 4n

(

^x=0

)

1

1

６ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 18点

三角形P P P_{1 2 3}は上図のようになるから, a=P P ,_{1 2} b=P P_{2 3}としたと きa b, は一次独立であり,

1 2

1 2

P P 2 P P cos 2

4

cos3 2 4 a

b

a b a b





= =

= =

 =  = −

となる。ここで, 実数p q r s t u, , , , , を用いて

3 4 4 5 5 6

P P = pa qb+ , P P =ra sb+ , P P =ta ub+ とおくと,

P1 P₂

P3

2

2

4



2

( )

( )

3 4 2 3 3 4 1 2

3 4

P P P P 1 P P P P 1

1 1

2 2 1

4 2 1

1 3 2 P P 3

2 pa qb b pa qb a

p q p q p q

a b

  = −



 = −



 +  = −

 

+  = −



− + = −

  − = −

 = −

  = −

 = − −

( )

( )

4 5 3 4 4 5 2 3

P P P P 1 P P P P 1

3 1

2 1 1

2 2 1

3 4 1 4

ra sb a b ra sb b

r s r s r s

  = −



 = −



 +  − − = −

  

  +  = −

− − = −

 − + = −

 =

  =



4 5

3 1

P P 4a 4b

 = + ・・・①

( )

( )

5 6 4 5 5 6 3 4

P P P P 1 P P P P 1

3 1

4 4 1

3 1

2

5 1

2

1 0

1

ta ub a b ta ub a b

t u t u t u

  = −



 = −



 +  + = −

  

  +  − − = −

 − = −

 

− − = −



 =

  =

P P5 6 b

 = ・・・②

となる。

3 4

P P 3

a 2b

= − −

‥6点

4 5

3 1

P P =4a+4b

‥6点

P P5 6 =b‥6点

3

(答) P P_{3 4} 3 , P P_{4 5} 3 1 , P P_{5 6}

2 4 4

a b a b b

= − − = + =

(2)

数学的帰納法を利用して, 1以上の整数nに対し

3 3 1 3 4 3 1 3 2 4 5 3 2 3 3 5 6

P P_{n n+} =P P , P_n+P_n+ =P P , P_n+ P_n+ =P P ・・・③ が成り立つことを示す。

[1] n=1のとき

3n=3, 3n+ =1 4, 3n+ =2 5, 3n+ =3 6より, ③は成り立つ。

[2] 1以上の整数kについて, n k= のとき③が成り立つと仮定す

る。

このとき, (1)の結果より

3 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3

3 3 1

P P , P P , P P

2 4 4

k k₊ = − −a b k₊ k₊ = a+ b k₊ k₊ =b

となる。実数v w, を用いて

3 3 3 4

P_k+P_k+ =va wb+ とおくと,

( )

( )

3 3 3 4 3 2 3 3 3 3 3 4 3 1 3 2

3 3 3 4

P P P P 1

P P P P 1

1

3 1

4 4 1

2 2 1

5 1

2 1

3 2 P P

k k k k

k k k k

k k

va wb b

va wb a b v w

v w v w

+ + + +

+ + + +

+ +

  = −



 = −



 +  = −

  +  + = −

− + = −



  − = −

 = −

  = −

 3

a 2b

= − −

となる。また, 同様にして,

3 4 3 5 3 3 3 4 3 4 3 5 3 2 3 3 3 4 3 5 3 4 3 4 3 5 2 3

P P P P 1

P P P P 1

P P P P 1

P P P P 1

k k k k

k k k k

k k

k k

+ + + +

+ + + +

+ +

+ +

  = −



 = −



  = −

 

 = −



(2) 24点

[1]の証明‥6点

3 3 3 4

P P 3

k₊ k₊ = − −a 2b

‥6点

4

3 4 3 5

3 1

P P

4 4

k₊ k₊ a b

 = + ( ①)

となり,

3 5 3 6 3 4 3 5

3 5 3 6 3 3 3 4

3 5 3 6 4 5

3 5 3 6 3 4

P P P P 1

P P P P 1

P P P P 1

P P P P 1

k k k k

k k k k

k k

k k

+ + + +

+ + + +

+ +

+ +

  = −



 = −



  = −

 

 = −



3 5 3 6

P_k+ P_k+ b

 = ( ②)

となるから, n k= +1のときも③が成り立つ。

以上[1], [2]より, 1以上の整数nに対し③が成り立つことが示され た。

(証明終)

[2]の証明‥6点

証明終‥6点 (2)[別解]

最初に, 背理法を利用して, 3以上の整数kに対しP P_{k+3 k+4} =P P_{k k+1} が成り立つことを示す。すなわち, d=P P_{k+3 k+4}−P P_{k k+1}とおき,

0

d と仮定して矛盾を導く。n k= +1のとき,

1 2 1

P P_{k+ k+} P P_{k k+} = −1 ・・・④ が成り立ち, n k= +2のとき,

2 3 1 2

P P_{k+ k+} P P_{k+ k+} = −1 ・・・⑤

2 3 1

P P_{k+ k+} P P_{k k+} = −1 ・・・⑥ が成り立つ。また, n k= +3のとき,

3 4 2 3

3 4 1 2

P P P P 1

P P P P 1

k k k k

k k k k

+ + + +

+ + + +

  = −



 = −

 ・・・⑦

3 4 2 3 2 3 1

3 4 1 2 1 2 1

P P P P P P P P

P P P P P P P P

k k k k k k k k

k k k k k k k k

+ + + + + + +

+ + + + + + +

  = 

 

 = 

 ( ⑥, ④)

2 3

1 2

P P 0

P P 0

k k

k k

d d

+ +

+ +

  =

 

 =

 ・・・⑧

となる。ここで, P P_{k+2 k+3} =0, P P_{k+1 k+2} =0はいずれも⑤に矛盾する から,

2 3 1 2

P P_{k+ k+} 0, P P_{k+ k+} 0

である。これと⑧とd0より, d⊥P P ,_{k+2 k+3} d⊥P P_{k+1 k+2} であり, よ ってP P_{k+2 k+3}とP P_{k+1 k+2}は平行であるから, 0でない実数sを用いて

2 3 1 2

P P_{k+ k+} =sP P_{k+ k+} と表せる。これと⑦より,

(2)[別解] 24点

3 4 1

P P_{k+ k+} =P P_{k k+} を背 理法で示す方針

‥6点

2 3

P P_{k+ k+} とP P_{k+1 k+2} は 平行である‥6点

5

( )

3 4 1 2

3 4 1 2

3 4 1 2

P P P P 1

P P P P 1

1 1

P P P P 1

1

k k k k

k k k k

k k k k

s

s

s

+ + + +

+ + + +

+ + + +

  = −



 = −



 − = −

 

 = −



 =

となり, P P_{k+2 k+3} =P P_{k+1 k+2}が成り立つが, このとき⑤より,

2

1 2 1 2 1 2

P P_{k+ k+} P P_{k+ k+} = − 1 P P_{k+ k+} = −1

となり矛盾する。したがって, 3以上の整数kに対し

3 4 1

P P_{k+ k+} =P P_{k k+} が成り立つから, k=3, 4, 5, 6, を代入すると,

3 4 6 7 3 3 1

4 5 7 8 3 1 3 2

5 6 8 9 3 2 3 3

P P P P P P

P P P P P P

P P P P P P

n n

n n

n n

+

+ +

+ +

= = = =

= = = =

= = = =

(ただし, nは1以上の整数)

となり, 題意は示された。

(証明終)

2 3 1 2

P P_{k+ k+} =P P_{k+ k+}

‥6点

証明終‥6点 (3)

(2)の結果より, 正の整数nに対し

( )

3 3 1 3 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3

P P P P P P P P

3 3 1

2 4 4

4

n n n n n n n n

a b a b b

a b

+ + + + +

+ = + +

   

= − −   + + +

= − +

が成り立つ。点P₁と点P₂は一致しないから, 3以上の整数mについ て場合分けする。

[1] m=3k(kは正の整数)のとき

( )

( )

( )

1 1 2 2 3 3 6 6 9 3 3 3

P P P P P P P P P P P P

1 4

5 4

m k k

a b k a b

k a b

= + + + + + −

 + 

= + + −  − 

=− + +

と な る か ら, a b+ 0よ り, k=5す な わ ち m=15の と き P P1 _m =0となり, 点P₁と点P_mが一致する。

[2] m=3k+1(kは正の整数)のとき

(3) 18点

4 a b+

− ‥3点

[1]‥3点

6

( )

( )

1 1 2 2 3 3 6 6 9 3 3 3 3 3 1

P P P P P P P P P P P P P P

1 3

4 2

1 1

4 4

m k k k k

a b k a b a b

k k

a b

− +

= + + + + + +

 +   

= + + −  −   + − − 

− + − −

= +

となるから, a b, は一次独立より, 点P₁と点P_mが一致するの

は 1 1 0

4 4

k k

− + − −

= = のときであるが, これを満たす正の整数k

は存在しない。

[3] m=3k+2(kは正の整数)のとき

( )

( )

1 1 2 2 3 3 6 6 9 3 3 3

3 3 1 3 1 3 2

P P P P P P P P P P P P

P P P P

3 3 1

1 4 2 4 4

4

4 4

m k k

k k k k

a b k a b a b a b

k k

a b

−

+ + +

= + + + + +

+ +

 +     

= + + −  −   + − −   + + 

− + −

= +

となるから, a b, は一次独立より, 点P₁と点P_mが一致するの

は 4 0

4 4

k k

− + −

= = のときであるが, これを満たす正の整数kは

存在しない。

以上[1], [2], [3]より, 点P₁と点P_mが一致するような2以上の整数m はm=15である。

[2]‥3点

[3]‥3点

(答) m=15 答‥6点

1

７ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 14点

部分積分を用いて計算すると,

0

0 0

2

0 0

2 0

sin cos cos

1 sin sin

1 sin

nx nx nx

n nx nx

n nx

e xdx e x ne xdx

e ne x n e xdx

e n e xdx

  



 

 

 

= −  +

 

= + +  −

= + −

 





であるから,

(

²

)

₀

0 2

1 sin 1

sin 1

1

nx n

n nx

n e xdx e

e xdx e n

 

 

+ = +

 = +

+





となる。また, 同様に部分積分を用いて計算すると,

( )

0

0 0

0

2

cos sin sin

sin 1 1

nx nx nx

nx

n

e xdx e x ne xdx

n e xdx

n e n

  





 

=  −

= −

= − + +

 



となる。

(答)

( )

2 2

0 0

1 1

sin , cos

1 1

n n

nx e nx n e

e xdx e xdx

n n

 

 = +  = − +

+ +

 

(1)[別解]

部分積分を用いて計算すると,

0

0 0

0

sin cos cos

1 cos

nx nx nx

n nx

e xdx e x ne xdx

e n e xdx

  

 

 

= −  +

= + +

 



0^e^nxsinxdx n e0^{ nx}cosxdx e^n 1





−



= + ^・・・①

0

0 0

0

cos sin sin

sin

nx nx nx

nx

e xdx e x ne xdx

n e xdx

  



 

=  −

= −

 



部分積分1回目

‥2点

部分積分1回目

‥2点

答‥10点 (各5点×2) (1)[別解] 14点

①式‥2点

②‥2点

2

0 ^nxsin 0 ^nxcos 0

n e^ xdx ^e xdx





+



= ^・・・②

となるから, ①+②n, ① −n ②より,

(

²

)

₀

0 2

1 sin 1

sin 1

1

nx n

n nx

n e xdx e

e xdx e n

 

 

+ = +

 = +

+





( ) ( )

( )

2 0

0 2

1 cos 1

cos 1

1

nx n

n nx

n e xdx n e

e xdx n e n

 

 

− + = +

 = − +

+





となる。

(答)

( )

2 2

0 0

1 1

sin , cos

1 1

n n

nx e nx n e

e xdx e xdx

n n

 

 = +  = − +

+ +

 

答‥10点 (各5点×2)

(2)

部分積分を用いて計算すると,

( )

( ) ( )

( )

0

0 0 0

2 0 0

2 0

2

2 2

2 2

sin

cos cos cos

1 sin sin

1 sin

1 1

1 1

2 1

1

nx n

nx nx nx

n

n nx nx

nx

n n

n

n n

n

n

I xe xdx

xe x e xdx nxe xdx

e n e nxe x ne xdx

n n xe xdx

n e e

e n n I

n n

e n e n I

n



 



  





 













=

 

= −  + +

+  

= − + +  −

−

+ +

= − −  −

+ +

= − + −

+



 





となるから,

( ) ( )

( )

( )

2

2

2 2 2

2 1

1 1

2 1

1 1

n n

n n n n

n I e n e

n e n e

I n n





 





+ = − +

+

 = − +

+ +

と求められる。

(答)

( )

( )

2 2 2

2 1

1 1

n n en

e

n n

 

 +

+ − +

(2) 16点

部分積分1回目

‥2点

部分積分2回目

‥2点

答‥12点

(3) (3) 30点

3

( )

( )

( )

1

2 2 2

2

2

2 1

1 1

1 2 1

1 1

1

a n

a a

n n

n a

n e

n n

e I n n

n e

n n n











+ −

−

−

= − +

+ +

 

 + 

=  − 

 

+ +

 

であるから,

( )

( )

( )

0 2

lim 2

2

a n n n

n I aa

e a

 

→





= =

 



となる。したがって, 求めるaの値は2であり, そのときの極限値 はである。

a n n

n I

e^ を正しく 変形して‥4点

aの値で場合分け (3通り)‥6点 (各2点×3)

答‥20点

(答) a=2, 極限値: (各10点×2)

1

８ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 10点

A

さんがコインを



枚持っている状態を^S

( )

 と表す。最初に

( )

S k である状態から, さいころを

1

回振った直後に

(

^{1 ,}

) ( ) (

^{, 1}

)

S k− S k S k+ の状態となる確率はそれぞれ^{1 1 1}, , 6 2 3で ある。よって,

1 1 1 1

1 1 1 3 1

6 2 3 2 2

k k k k k k k

p = p ₋ + p + p ₊  p ₊ = p − p ₋

とわかる。

(答) ₁ ^{3 1} ₁

2 2

k k k

p ₊ = p − p₋

1 1 1 , ,

6 2 3を求めて

‥3点(完答)

答‥7点 (2)

(1)より,

( )

( )

1 1

1 1

1 1 0

3 1

2 2 0 1 2 1 2

k k k

k k k k

k k k

p p p

p p p p

p p p p

+ −

+ −

+

− + =

 − = −

 − = −

( )

1 1 0

1 0

k k 2k

p ₊ p p p

 − = = ・・・①

1 1

1 1

1 1 0

3 1

2 2 0

1 1

2 2

1 1 1

2 2

k k k

k k k k

k

k k

p p p

p p p p

p p p p

+ −

+ −

+

− + =

 − = −

 

 − =  − 

( )

1 1 0

1 0

k 2 k

p ₊ p p p

 − = = ・・・②

であるから, (②−①)

 2

より 2 1 ¹ ₁

k 2k

p =  − p

  となる。ここで,

(2) 30点

①式‥3点

②式‥3点