【解答・採点基準】

２０２０年 第一回東工大本番レベル模試・物理 解答・解説・採点基準

全３問 １２０分 １５０点満点 １ （５０点）

【解答・採点基準】

[A] [A] 5点

(a) (a) 5点(1点×5)

ア ^{1 1}

1

m v m +M

イ ₂ ^{1 1}

1

v m v m M

− +

ウ ^{1 1}

1

m v m +M

エ ¹

1

m L m M

− +

オ ¹

1

m L m +M

[B] [B] 26点

(b)

小球1の運動方程式：m a1 1= −k x

(

)

台の運動方程式 ：MA= −k X x

(

)

(b) 6点

*答に3点×2

(c)

重心の座標の定義より, 求める式は

1 1 1

m x MX m M

+ +

台と小球1の速度をそれぞれV v, ₁とすると, 運動量保存則よ り

1 1 2 2 0

m v +m v +MV =

(c) 7点

*運 動 量 保 存 則 の 立 式に1点

*答に3点×2

2

1 1 2 2

1 1

m v MV m v

m M m M

 + = −

+ +

(答) x座標： ^{1 1}

1

m x MX m M

+

+ , 速度： ^{2 2}

1

m v m M

− +

(d)

系Sの重心から見た台の重心の相対x座標は

( )

1 1 1

1

1 1

m x MX m

X X x

m M m M

− + = −

+ +

これと(b)より

1 1 1

1 1

m M m x MX

A k X

m M m M

 

+ +

= −  − + 

よって, 系Sから見た台の重心の相対加 速度がAであることから, 求める周期は

(

)

2 m M

k m M

 +

(答)

(

)

2 m M

k m M

 +

(d) 6点

*系Sの重心が振動中 心となる運動方程 式 が 導 出 で き て 3点

*答に3点

(e)

台と小球2が衝突するまでの間, 系Sには外力ははたらかない

ので, 系Sの重心のx座標は ¹

1

m d

m +M である。(d)より, 台は系 Sの重心を振動中心とする単振動をするので, 台の初期位置か

ら振幅は ¹

1

m d

m +M である。よって, 台と小球2が衝突しなけれ

ば台の重心のx座標は0と ¹

1

2m d

m +M の間を移動する。よって,

1 1

d 2m d m M

 = +

(答) ¹

1

d 2m d m M

 = +

(e) 7点

*系Sの重心のx座標 が計算できて1点

*台 の 単 振 動 の 振 幅 に3点

*答に3点

【(e)の別解】

dが最大となるのはばねが最も縮んだときに台と小球2が衝 突するときである。このとき, 台と小球1の速度は等しく, 運

〔別解〕 7点

*ば ね の 縮 み の 最 大 値に3点

動量保存則より, その値はそれぞれ0である。よって, エネル ギー保存則より, ばねの縮みの最大値はdである。台と小球2 が衝突するときの台の重心のx座標をXとすると, このとき の小球1のx座標はX −dである。さらに, 台と小球2が初め て衝突するまでの間, 系Sには外力が働かないため, 系Sの重

心のx座標は ¹

1

m d

m +M で一定であるから

( )

1 1

1 1

1 1

2

m X d MX m d

m M m M

X m d

m M

− + 

+ = +

 = +

このとき

1 2

1

x L X L 2m d

m M

= − + = − + + を満たすから

1 1

d 2m d m M

 = +

(答) ¹

1

d 2m d m M

 = +

*系Sの重心のx座標 が計算できて1点

*答に3点

[C] [C] 19点

(f)

ばねが自然長のときx₁=Xである。衝突の直前までは系Sの 重心のx座標は不変だから(c)より

1 1 1

1 1 1 2

m x MX X m d d

m M m m

+ = = =

+ +

すなわち, 衝突時の台の重心のx座標は 2

d である。このとき

に台と小球2が衝突するので

2 2

x = − +L d

(答) ₂

2 x = − +L d

(f) 6点

*衝 突 時 の 台 の 重 心 のx座標に3点

*答に3点

(g) (g) 6点

4

台と小球1の速度をそれぞれV v, ₁とすると, エネルギー保存 則と運動量保存則より

( )

2 2 2

1 1 1

1 1 1

1

1

1

1 1 1

2 2 2

0

2 0

2

m V m v kd m V m v

v d k

m V

V d k m

 + =



 + =



 = −



 

 =



(答)

2 1

V d k

= m

*エ ネ ル ギ ー 保 存 則 と運動量保存則が 立式できて3点

*答に3点

【(g)の別解】

(d), (e)より, 台は角振動数

1

2k

m , 振幅は 2

d の単振動をするから

1 1

2

2 2

d k k

V d

m m

= =

(答)

2 1

V d k

= m

〔別解〕 6点

*台 の 単 振 動 の 角 振 動数と振幅に3点

*答に3点

(h)

M =m2なので, 一回目の衝突後の小球2の速度はV である。

衝突後に, ばねが再び自然長となるのは単振動の半周期後であ

る。(d)より, それにかかる時間は ¹ 2 m

 k である。二回目の衝 突直前においてばねは自然長なので系Sの重心から見た, 台の 位置は一回目の衝突時と同じである。したがって, 小球2が移 動した距離は2Lに系Sの重心の変位を加えたものである。す なわち, (c)より

1 1

1 1

2 1

2 2 2

3 2 2

2 2

8 3

m m

V L V

k k

k L k

d m m

d L

 





 = − 

  =

 =

(h) 7点

*一 回 目 の 衝 突 後 の 小 球 2 の 速 度 に 1点

*一 回 目 の 衝 突 か ら 二回目の衝突にか かる時間に1点

*立式に1点

*答に4点

(答) 8

d 3 L

= 

・

・ ・

A (a)

。 ,

[ ]

( )

〔

(b) (a)

[ ] ( )

〔 Q -Q

(

)

2 2 2 , 2 2 2

k k

a y z b y z

-

+ + + +

Q Q

(

)

V

2 2 2 2 2 2

V k k

a y z b y z

= + -

+ + + +

Q Q

2 2 2 2 2 2

1 1

k a y z b y z

æ ö

ç ÷

= -

ç + + + + ÷

è ø

Q

2 2 2 2 2 2

1 1

k a y z b y z

æ ö

ç - ÷

ç + + + + ÷

è ø

Q

Q -Q

(

)

0 V =

2 2 2 2 2 2

1 1

0

k a y z b y z

æ ö

ç - ÷=

ç + + + + ÷

è ø

Q 0 kQ>

2 2 2 2 2 2

2 2

a y z b y z

a b

+ + = + +

\ =

0, 0

a> b<

b=-a

b=-a

2 (c)

〕 ,

[ ]

。

( )

〔 〕

B (d)

〔〕

( ) 〔

( ) 〔

( ) 〔

( )

〔

(e)

〔(I)

, 〔(I)

( )

〔

〕

(f)

Q -Q

0, 0

y z

F = F =

Fx

( )

{ ( ) }

Fx k

a a

× -

= - -

Q Q

2

4 2

k

=- Qa

F_x=−kQ²

4a²,F_y=0,F_z=0

1 2

0

k k

r r

+ ¢= Q Q

2 2 2 cos

d +R - dR q

2 2 2 cos

d¢ +R - d R¢ q

2 2

2 2

2 cos 2 cos

d R d R

d R dR

q q

¢ + - ¢

-^Q + -

q =0

(

)

R d R d d R

¢=- d R- ¢ - ¢> - >

- !

Q Q

q p=

(

)

R d R d d R

¢=- d R+ ¢ + ¢> + >

+ !

Q Q

R d R d d R d R

¢ ¢

- +

- =-

- +

Q Q

R2

d¢ d

\ =

R2

d¢= d

q =0 q p= Q¢

(g)

( )

〔

C (h)

( ) 〕

( ) 〕

( ) 〕

( )

2

2 2 2

R

k k d

d d R

d d

¢ =

- ¢ æ ö

ç - ÷

è ø

QQ Q

(

)

= - Q

(

)

(

)

^{( )}

d R k

d R

a a

a b+

- Q

LR L−ℓ

( )

{ }

2π

{ ( )

}

Q

mℓ kLR

1

・

・ ・

[A]

(a)

。

( )

×

・ ー

(b)

。

( )

・ ー

[B]

(c)

。

×

・ ー kd_A+PS=mg

∴d_A=mg−PS k

d_A= mg−PS k

′ P

′

P S=PS+kΔL

′

P S L

(

)

3T = PSL T

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒PS+kΔL= 3L L+ΔLPS

⇔kΔL²+3kLΔL−4kL²=0

∴ΔL=L

(

)

ΔL=L

( ) (d)

B-2 。 ・

・

( )

(e)

・

( )

[C]

(f)

。

( )

×

・ ー

(g)

。 ・ ・

kd_B+P₀S=mg

∴d_B=mg−P₀S k

d_B= mg−P₀S k

d_B+x P₀+ρgx

F=mg−k d

(

)

(

)

=−

(

)

F=−

(

)

a

ma=−

(

)

∴a=−k+ρgS m x

1

2⋅2π ^m

k+ρ^{gS =}π ^m k+ρ^gS

π m

k+ρgS

kd_C+P₀S=mg+P₀S

∴d_C=mg k

d_C= mg k

Δ ′L

3

・

。

( ) (h)

。

( ) ,

・ ー W₁=1

2kΔ ′L ²

ρ^gS

W₂=1

2ρgSΔ ′L²

n R

ΔU=3

2nR(3T−T)

=3nRT

P₀SL′=nRT ΔU=3P₀SL′

W₁=1

2kΔ ′L² W₂= 1

2ρgSΔ ′L² ΔU=3P₀SL′

ΔU

′′

P

′′

P S

(

)

3T =P₀SL′ T

∴ ′′P = 3L′

′ L +Δ ′L P₀

′′

P S+mg=

(

)

(

)

⇔ 3L′

′

L +Δ ′L P₀S=P₀S+

(

)

⇔2Δ ′L²+3Δ ′LL′−2L′²=0

∴Δ ′L = L′

2

(

)

Q=1

2kΔ ′L ²+1

2ρgSΔ ′L ²+P₀SΔ ′L +3P₀SL′

=1

4kL′²+1

2kL′²+3kL′²

=15 4kL′²

Δ ′L = L′

2 ^Q=15 4 kL′²