超 ナ ビ

１ ⑴ 与式＝25－36÷２＝25－18＝７ １ ⑵ 与式＝３(４ｘ－１)－(７ｘ－３)

９ ＝12ｘ－３－７ｘ＋３ ９ ＝５

９ｘ １ ⑶ 与式＝12ａｂ³×ａ²

４ａｂ² ＝３ａ²ｂ

１ ⑷ 与式＝ｘ²－９ｙ²－ｘ²＋３ｘｙ＝３ｘｙ－９ｙ² １ ⑸ 与式＝ ２²×３

６ － ２× ３

３× ３＝２ ３

６ －２ ３ ３ ＝ ３

３ －２ ３

３ ＝－ ３ ３ ２ ⑴

２ ⑴ ２ ⑴ ｙ＝ａ

ｘにｘ＝３，ｙ＝２を代入すると，２＝ａ

３ ａ＝６ ２ ⑴したがって，ｘとｙの関係式はｙ＝６

ｘだから，この式にｘ＝－６を代入すると，ｙ＝ ６

－６＝－１ １ ⑵

２ａｘ－ｂｙ＝５にｘ＝３，ｙ＝－１を代入すると，２ａ×３－ｂ×(－１)＝５ ６ａ＋ｂ＝５…① ａｘ－４ｂｙ＝－１にｘ＝３，ｙ＝－１を代入すると，

３ａ－４ｂ×(－１)＝－１ ３ａ＋４ｂ＝－１…②

①×４－②でｂを消去すると，24ａ－３ａ＝20－(－１) 21ａ＝21 ａ＝１

①にａ＝１を代入すると，６×１＋ｂ＝５ ｂ＝５－６＝－１ １ ⑶

与式より，ｘ²＋５ｘ＝２ｘ－１ ｘ²＋３ｘ＋１＝０ １ ⑷２次方程式の解の公式より，ｘ＝－３± ３²－４×１×１

２×１ ＝－３± ５ ２ １ ⑷

１ ⑷ 白玉が入っている割合は全体の４ 10＝２

５と考えられるから，白玉の個数は，およそ 200×２

５＝80(個) ３ ⑴

資料１のように記号をおく。対頂角は等しいから，∠ａ＝30°

ℓ//ｍで，平行線の同位角は等しいから，∠ｂ＝45°

太線の三角形の内角の和より，∠ｘ＝180－30－45＝105(°) 反比例の式はｙ＝ａ

ｘの形で表すことができる。まず，ａの値を求める。

攻略へのアプローチ

２つの式にｘ＝３，ｙ＝－１をそれぞれ代入することで，ａとｂの連立方程式ができる。

資料１ 攻略へのアプローチ

ｂ

２次方程式は，因数分解できるときは因数分解し，因数分解できないときは，２次方程式の解 の公式を使う。

ａ

攻略へのアプローチ

30°

標本調査によっておよその数を調べる場合は，抽出した標本において，全体に対する調べたい 数の割合を考える。

ｘ

攻略へのアプローチ

ℓ

平行線がひいてあって角度を求める問題では，対頂角，平行線の同位角，平行線の錯角はそれ ぞれ等しいことからわかる角度を，まず図にかきこむ。

攻略へのアプローチ

１ ⑵

線分ＡＢの垂直二等分線と直線ℓの交点をＯとすればよい。

４ ⑴

条件にあう目の出方は，資料２で○印をつけた 20 通りである。

１ ⑵

ｎの値が１²＝１以上，６²＝36 以下の平方数になればよいか ら，１，２²＝４，３²＝９，４²＝16，５²＝25，36 になる目の 出方を探せばよい。

条件にあう目の出方は資料３の☆印の８通りである。

大小２つのさいころの目の出方は全部で６×６＝36(通り)ある から，求める確率は，８

36＝２ ９ ５ ⑴

６番目の模様は資料４のようになる。

白のタイルは，縦に６個並んだ列が横に６列できるから，

６×６＝36(枚)ある。

黒のタイルは，縦に５個並んだ列が横に５列できるから，

５×５＝25(枚)ある。

よって，タイルの枚数の合計は，36＋25＝61(枚)

５ ⑴ 「攻略へのアプローチ

□

ｂ １ ２ ３ ４ ５ ６

ａ

１ ○ ○ ２ ○ ○ ３ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ４ ○ ○ ５ ○ ○ ６ ○ ○ ○ ○ ○ ○

資料２

ｂ １ ２ ３ ４ ５ ６

ａ

１ ☆ ☆ ２ ☆ ３ ☆ ４ ☆ ☆

５ ☆

６ ☆

資料３

資料４ ｎの値が平方数(ある整数を２乗してできる数)のとき，

ｎの値は整数となる。

攻略へのアプローチ

並べ方の規則を考え，ｎ番目の枚数についてｎの式で表してから，ｎ＝６を代入する。

⑵を先に確認すると，白と黒のタイルそれぞれについて式を求める問題なので，合計枚数をｎの 式で表すのではなく，白と黒のタイルについて別々に考える。

攻略へのアプローチ

□

条件②より，点Ｏは２点Ａ，Ｂからの距離が等しい位置にあるから，線分ＡＢの垂直二等分線 上にあるとわかる。

さいころを２個ふる問題では，資料２，３のような表をつ くる。ｎの値が３の倍数となるのは，ａかｂのいずれか，ま たは両方が３の倍数のときである。

攻略へのアプローチ

簡単な模式図でもいいので，６番目の模様を実際にかいてみて数える。

攻略へのアプローチ

□

攻略へのアプローチ

よって，６番目の模様では，白のタイルが６²＝36(枚)，黒のタイルが(６－１)²＝25(枚)あるから，

合計 36＋25＝61(枚)ある。

５ ⑴ １～４番目の枚数をまとめると資料５のようになる。

資料５内の枚数はすべて平方数(ある整数を２乗してできる数) になっていることから，ｎ番目の模様について，白のタイルの 枚数はｎ²枚，黒のタイルの枚数は(ｎ－１)²枚になっていると わかる。

よって，６番目の模様では，白のタイルが６²＝36(枚)，黒の タイルが(６－１)²＝25(枚)あるから，合計 36＋25＝61(枚)あ る。

１ ⑵

⑴の「攻略へのアプローチ

□

□

１ ⑶

⑵より，ｎ番目の模様のタイルの枚数の合計はｎ²＋(ｎ－１)²＝２ｎ²－２ｎ＋１(枚)だから，

２ｎ²－２ｎ＋１＝181 より，２ｎ²－２ｎ－180＝０ ｎ²－ｎ－90＝０ (ｎ＋９)(ｎ－10)＝０ ｎ＝－９，10

ｎ＞０だから，ｎ＝10 より，タイルの総数が 181 枚となるのは 10 番目の模様である。

６ ⑴

１ ⑵ ｙ＝ａｘ²のグラフがＢ(３，３)を通るとき，３＝ａ×３²より，ａ＝１ ３ １ ⑵ｙ＝ａｘ²のグラフがＡ(１，３)を通るとき，３＝ａ×１²より，ａ＝３

よって，１

３≦ａ≦３

資料５

１番目 ２番目 ３番目 ４番目 … 白のタイル １枚 ４枚 ９枚 16 枚 … 黒のタイル ０枚 １枚 ４枚 ９枚 …

問題で図示されている１～４番目の模様について，白と黒のタイルの枚数をそれぞれ数えて表 にまとめ，数字の変化の仕方から規則性を考える。それをもとに，ｎ番目の枚数についてｎの式 で表してから，ｎ＝６を代入する。

攻略へのアプローチ

□

この問題のように，⑴で具体的な値を求め，⑵でｎ番目(やｎ個目など)の値をｎの式で表すの は，よくあるパターンである。⑴を解くときにｎの式で表すことを考えると時間が節約できる。

攻略へのアプローチ

⑵で求めた式を利用してタイルの合計枚数をｎの式で表し，ｎの方程式を立てる。

攻略へのアプローチ

ｙ＝ａｘ²のグラフの放物線は，ａの値が大きいほど開きぐあいが小さくなり，ａの値が小さい

ほど開きぐあいが大きくなる。したがって，ａの値の最小値は，ｙ＝ａｘ²のグラフが点Ｂを通る ときのａの値であり，ａの値の最大値は，ｙ＝ａｘ²のグラフが点Ａを通るときのａの値である。

攻略へのアプローチ

１ ⑵

１ ⑵ ＡＢ＝３－１＝２だから，△ＡＢＰの面積について，

１

２×２×ｈ＝３が成り立つ。

これを解くとｈ＝３だから，条件にあう点Ｐのｙ座標は，

３－３＝０と３＋３＝６である。

点Ｐのｙ座標が０のとき点Ｐは原点Ｏと重なるから，

点Ｐの座標は(０，０)である。

点Ｐのｙ座標が６のとき，ｙ＝ｘ²にｙ＝６を代入すると，

６＝ｘ²より，ｘ＝± ６となるから，

点Ｐの座標は(－ ６，６)，( ６，６)である(資料６参照)。

１ ⑶

Ｃ(１，０)，Ｄ(３，０)となる。ＤＢ＝３，ＤＣ＝３－１＝

２だから，Ｖ₁の体積は，３²π×２＝18π ＣＡ＝３，ＣＯ＝１だから，Ｖ₂の体積は，１

３×３²π×１＝３π １ ⑵ＤＢ＝３，ＤＯ＝３だから，Ｖ₃の体積は，１

３×３²π×３＝９π １ ⑵よって，求める体積は，18π＋３π－９π＝12π

７ ⑴

ＢＤ＝ ２ＡＢ＝６ ２(㎝)，ＢＦ＝６㎝だから，長方形ＢＤＨＦの面積は，

６×６ ２＝36 ２(㎠)

ｙ

ｘ Ｐ

Ｏ Ａ Ｂ

Ｐ

資料６

Ｐ

ｙ

Ｃ ｘ

Ｂ Ａ

Ｏ

資料７

Ｄ

△ＡＢＰの底辺をＡＢとしたときの高さは点Ａ(または点Ｂ)と点Ｐのｙ座標の差に等しい。こ の高さをｈとし，△ＡＢＰの面積について方程式を立ててｈの値を求めると，条件にあう点Ｐの ｙ座標がわかる。また，点Ｐは線分ＡＢの上側にも下側にもとることができることと，点Ｐのｘ 座標は正も負もありうることに注意する。

攻略へのアプローチ

ＢＤの長さがわかれば長方形ＢＤＨＦの面積を求められる。

△ＡＢＤはＡＢ＝ＡＤの直角二等辺三角形だから，ＡＢ：ＢＤ＝１： ２となることより，ＢＤ の長さがわかる。

資料７のように２点Ｃ，Ｄをとる。できる立体は，底面の 半径がＤＢで高さがＤＣの円柱(Ｖ₁とする)と，底面の半径 がＣＡで高さがＣＯの円すい(Ｖ₂とする)をあわせた立体か ら，底面の半径がＤＢで高さがＤＯの円すい(Ｖ₃とする)を 取りのぞいた立体である。

攻略へのアプローチ 攻略へのアプローチ

１ ⑵

１ ⑵ ＤＱの長さとＲＱ：ＤＱを調べて，ＲＱの長さを求める。

ＨＱ＝１

２ＨＦ＝１

２ＢＤ＝３ ２(㎝)

三平方の定理より，ＤＱ＝ ＤＨ²＋ＨＱ²＝３ ６(㎝) 長方形ＢＤＨＦを含む平面において，ＢＰとＦＨの延長線上の 交点をＳとすると，資料８のようになる。

△ＢＤＰ≡△ＳＨＰが成り立つから，ＳＨ＝ＢＤ＝６ ２㎝

１ ⑵△ＢＲＤ∽△ＳＲＱが成り立つから，ＲＤ：ＲＱ＝ＢＤ：ＳＱ＝６ ２：(６ ２＋３ ３)＝２：３ １ ⑵これより，ＲＱ：ＤＱ＝３：(２＋３)＝３：５となるから，ＲＱ＝３

５ＤＱ＝９ ６ ５ (㎝) １ ⑵また，ＧＱ＝ＨＱ＝３ ２㎝

よって，△ＲＱＧ＝１

２×ＧＱ×ＲＱ＝１

２×３ ２×９ ６

５ ＝27 ３ ５ (㎠)

１ ⑵ ＲＴとＱＴの長さを調べて，ＲＱの長さを求める。

資料９において，点ＱはＨＦの中点だから，

△ＦＴＱ≡△ＨＤＱが成り立つため，

ＦＴ＝ＨＤ＝６㎝，ＱＴ＝ＱＤ

ＢＴ＝ＢＦ＋ＦＴ＝12(㎝)だから，三平方の定理より，

ＤＴ＝ ＢＤ²＋ＢＴ²＝６ ６(㎝) ＱＴ＝ＱＤより，ＱＴ＝１

２ＤＴ＝３ ６(㎝) また，△ＢＴＲ∽△ＰＤＲが成り立つから，

ＲＴ：ＲＤ＝ＢＴ：ＰＤ＝12：６

２＝４：１より，

１ ⑵ＲＴ＝ ４

４＋１ＤＴ＝24 ６ ５ (㎝)

したがって，ＲＱ＝ＲＴ－ＱＴ＝９ ６ ５ (㎝) １ ⑵また，ＧＱ＝ＨＱ＝３ ２㎝

よって，△ＲＱＧ＝１

２×ＧＱ×ＲＱ＝１

２×３ ２×９ ６

５ ＝27 ３ ５ (㎠)

△ＤＥＧは正三角形で，点ＱはＥＧの中点だから，∠ＤＱＧ＝90°である。したがって，ＲＱ とＧＱの長さがわかれば△ＲＱＧの面積を求められる。

ＲＱの長さは点Ｐの位置によって定まったのだから，３点Ｐ，Ｑ，Ｒがある面，つまり長方形 ＢＤＨＦを含む平面上で，ＲＱの長さを考える。⑴で長方形ＢＤＨＦの面積を求めたことから も，長方形ＢＤＨＦを含む平面に注目することが推測できる。

攻略へのアプローチ

□

Ｒ

Ｑ Ｐ

Ｈ Ｆ

Ｄ Ｂ

Ｓ

３ ２㎝

６ ２㎝

資料８

ＲＱとＧＱの長さから△ＲＱＧの面積を求めるのは「攻略へのアプローチ

□

攻略へのアプローチ

□

Ｒ Ｑ Ｐ

Ｈ Ｆ

Ｄ Ｂ

Ｔ ６㎝

６ ２㎝

資料９