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複素関数・同演習第 23

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Academic year: 2024

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3 円板上のコーシーの積分公式と正則関数のべき級数展開の可能性 円板上のコーシーの積分公式 前回は有名な「単結合領域におけるコーシーの積分定理」を紹介しました。これは、より弱い「星領域におけるコーシーの積分定理」を証明します (証明は原始関数の構築に基づいています)。積分パスの変換と呼ばれる手法があります。

積分軌道は星型領域で変形できるという形式の補題を与えます。これは慣れれば非常に便利な定理です。最後に、コーシーの積分公式を説明しましょう。まず、円板領域におけるコーシーの積分公式を証明します。その後は物事が急速に進みます。まず、共通関数のべき級数拡張性(解析性)を示します。この定理の重要性をどれほど強調しても、それを誇張することは困難です。原始関数が存在する場合、システムは正則であると言われます。

円盤上のコーシーの積分公式と正則関数のべき級数展開の可能性を証明するためにさまざまな方法を使用する多くのテキストがあります。 7.1 円盤上のコーシーの積分公式は、円盤の場合から始めましょう の登場です。

・プリングスハイムの仮定「f : Ω → C は正則である」 a ∈ ∆ とする。次の 3 つのうちの 1 つが当てはまります。 ii) a は ∆ の端にありますが、頂点ではありません。 iii) a は ∆ Cauchy の積分公式の内側にあります。

円盤における Cauchy の積分公式

これはコーシーの積分定理の一般化された三角形バージョンであるため、星型領域でコーシーの積分定理を証明するために使用できます。 。

これを使って、星型領域におけるコーシーの積分定理の仮定「f: Ω → C は正則である」が満たされることを証明しました。したがって、私はコーシーの積分定理の三角形バージョン (Goursat-.Pringsheim) を使用しましたが、微分可能性を仮定していません (ただし、その点では。

連続性の仮定の存在を受け入れることができることがわかります)。この結果は後で明らかになりますが、今それを証明するのは簡単な作業です。まずこれを認識し、定理 23.2 の保留中の証明を明確にしましょう。別の証明を提供するために、次の定理 (それ自体重要です) を補題として設定します。

Ω は C の開集合、C は Ω の区分的クラス C1 曲線、{ f n } n∈N は C のイメージ C∗ 上の連続関数列、C∗ は関数 f に対して一様です。この場合、「一様収束であれば項可積分である」ということは、実関数の場合には証明されていますが、複素関数の場合にはまだ証明されていません(本質的には同じ証明です)。証明 f は、一様に収束する関数の連続シーケンスの極限であるため、連続です。

したがって、命題 23.7 により、熱統合が可能になります。

正則関数の冪級数展開 .1 正則関数の解析性

正則関数の解析性

重要な定理がこれほど早く (1 枚半のスライドで) 証明されるとは思いませんでした。これはおそらく関数理論の頂点です。重要な定理がこれほど早く (1 枚半のスライドで) 証明されるとは思いませんでした。これは関数です。

9 ( 解析的 , 解析関数 )

系 23.10

関数 f がその定義域内の任意の点付近のべき級数に拡張できる場合、f は解析的と呼ばれ、解析的関数は解析的関数と呼ばれます。」 関数が解析的であることに加えて、解析関数という用語も使用されます。解析的継続 (後で定義) によって決定される関数を表すために使用されることもあります。

正則関数は何度でも微分可能 証明 正則関数は領域内の各点の近傍でべき級数展開でき、べき級数は各点の近傍で何度でも微分可能。べき級数は何度でも微分できます。

系 23.11

複素関数に原始関数がある場合、それは実際には正規関数です。証明 複素関数 f に対して、F' = f を満たす関数 F が存在するとします。 F は正則なので何度でも微分できます。特に、F は 2 回微分可能であるため、f は微分可能です。言い換えると、f は正規です。

参照

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(e) 授業で説明した命題のうち、きちんと ( 仮定の条件をもらさずに ) 書けるものを自由に 1

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