2021 年第 2 回 10 月東北大本番レベル模試 (2021 年 10 月 10 日実施)
採点基準 数学(文系)
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】(200点満点) 第1問(50点満点)
(1) (配点25点)
点P,Qの位置ベクトルをパラメータで表して4点 点Gの位置ベクトルを上記のパラメータで表して9点 点Gの動く領域を正しく説明して7点
答えの図に5点 (2) (配点25点)
点Rの位置ベクトルをパラメータで表して5点 点Gの存在範囲の説明に5点
点Gの存在範囲の図示に5点
点Gの存在範囲の面積の計算と答えに10点
第2問(50点満点) (1) (配点18点)
曲線C上の1点における接線の方程式を求めて4点 上記で求めた接線が点Aを通るとして方程式を立てて4点 上記の方程式を解いて4点
答えに6点 (2) (配点16点)
直線PQと曲線Cの位置関係の説明に8点 S a( )の計算と答えに8点
(3) (配点16点)
相加平均と相乗平均の不等式を適用できて6点 上記の不等式の等号が成立する場合を述べて4点
S a( )の最小値とそのときのaの値に6点
第3問(50点満点) (1) (配点13点)
n≥3のときに命題(*)が成り立つ例を挙げて5点
上記の例に対して命題(*)が成り立つ根拠を明記して5点 上記の例を答えとして明記して3点
(2) (配点37点)
背理法の仮定を明記して5点
aとbに同一の素因数で，指数が異なるものがあることを説明して7点 a b,を同一の素因数で指数が異なるものを明示した形で表して5点 上記の表し方のもとでa2 +b2,abを計算して8点(各4点)
上記の計算の結果が仮定と矛盾することを示して5点 証明の結論を述べて7点
第４問(50点満点) (1) (配点15点)
箱A，Bから取り出される番号の組合せの数を求めて5点 X=4となる取り出し方の説明と場合の数に5点
答えに5点 (2) (配点10点)
X=3となる取り出し方の説明と場合の数に5点 答えに5点
(3) (配点25点)
kが偶数のときのX=kとなる取り出し方の説明と場合の数に5点 kが偶数のときの確率を求めて5点
kが奇数のときのX=kとなる取り出し方の説明と場合の数に10点 kが奇数のときの確率を求めて5点
2021 年第 2 回 10 月東北大本番レベル模試 (2021 年 10 月 10 日実施)
採点基準 数学(理系)
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【理系】(300点満点) 第1問 (50点満点)
(1) (配点15点)
円Cと直線の位置関係が正しく記述できて3点
円Cが直線y=x+1と接するときのaの値を求めて7点 答えに5点
(2) (配点35点)
直線lの方程式を求めて5点
点( , )X Y が直線lの通過領域に含まれるための条件を示して3点 上記のX Y, の満たすべき条件とその根拠(図または説明)を示して8点
( ) 2 ( 1)
f a =a − Y− a−Xのようにおいたとき， ( ), 2 f 0 f
2
を両方求めて3点 直線lの通過領域を不等式で表して5点
上記の領域に現れる放物線と直線の接点のy座標を求めて6点(各3点) 正しく図示して5点
第2問 (50点満点) (1) (配点15点)
数学的帰納法を用いる方針に3点
=1,2
n のとき題意の不等式が成り立つことを示して2点
n=k k, +1で題意の不等式の成立の仮定の下で，2pbk+ +1 1ck+1−pbk+2ckがpk+2の倍数であること を示して5点
証明の結論を述べて5点 (2) (配点35点)
(i)(配点15点)
pで割った余りが等しくなる場合(ke≡le (mod )p )の仮定に5点 題意を満たすのがk=lのときに限ることを示して5点
証明の結論を述べて5点
(ii)(配点20点)
数列{ }cn が公差c2 −c1の等差数列であることを示して5点 数列{ }cn の一般項をc1,c2で表して3点
2 1
c −c がpの倍数でないと仮定して，p個の整数をpで割ったときの余りの説明に4点
cnがpの倍数となるnがただ一つ存在することを示して5点 証明の結論に3点
第3問 (50点満点) (1) (配点15点)
取り出す玉の色による箱の中の玉の個数の変化の理解に5点
3回の試行で箱の中が4個になる3種類の色の玉が出た回数を求めて5点 答えに5点
(2) (配点15点)
3回の試行で箱の中が5個になる3種類の色の玉が出た回数を求めて3点 3回の試行で白玉が3回出る確率を求めて2点
3回の試行で3種類の色の玉が1回ずつ出る確率を求めて7点 答えに3点
(3) (配点20点)
n回の試行で箱の中が4個になる3種類の色の玉が出た回数を求めて3点 黒玉が出る回とそれに対応する確率を求めて8点
上記の和の計算と答えに9点
第4問(50点満点) (1) (配点15点)
OA ,OB , OC の大きさと内積をそれぞれ求めて3点 OP⋅ OA ,OP⋅ OB の値を求めて5点
OA OB OC
x +y +z と OA ,OB の内積からx y z, , の関係式を求めて5点 答えに2点
(2) (配点10点)
OP⋅ OC の値に3点
OA OB OC
x +y +z と OC の内積からx y z, , の関係式を求めて5点 答えに2点
(3) (配点25点)
OP を OA ,OB , OC で表して4点
2 直線QA,QBの直交条件をQA⋅QB =0とし，さらにこれを OA ,OB , OQ の内積，大き さで表して5点
上記の計算に必要な内積，大きさをkで表して5点
QA⋅ QB =0をkの方程式に直して5点 上記のkの方程式を解いて3点
対称性からQB ⋅QC = QC⋅QA =0も成り立つことを述べ，答えを示して3点
第5問(50点満点) (1) (配点30点)
線分L上の点zに対して，z α β α
−
− が実数であることを示して3点 z α
β α
−
− が実数である条件から (β−α)(z−α)−(β−α)(z−α)=0を示して3点 上記を変形しz+αβ z =α+βを導いて8点
上記の式に 1
z= w を代入し，w,w に関する方程式を求めて5点
wの描く円の中心と半径が分かる式(②の式)を求めて6点 答えに5点
(2) (配点20点)
線分Lの満たす関係式を求めて5点
zがL上を動くときのwの軌跡を求めて5点 wが描く円弧の半径，中心角を示して5点 答えに5点
第6問(50点満点)
2曲線C D, の交点のx座標をαのようにおきtanαを求めて5点 上記のαに対して，cos ,sinα αをそれぞれa p, で表して5点
1,2
S S をそれぞれ計算して16点(各8点)
1 2
S +S をpの関数で表して4点
1 2
S +S の増減を調べて15点 答えに5点
