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2021 年度第 1 回 6 月京大本番レベル模試 （2021 年 6 月 20 日実施)
採点基準 数学（文系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（150点満点）
第1問 (30点満点)
長さと角を設定して4点
cos∠BAMを上記で設定したうちの2つの変数で表して8点
cos∠BAMの最小値を相加平均・相乗平均の関係を使って求め，等号成立条件に6点 BAM
∠ のとり得る値の範囲に4点
上記で求めた三角形ABCが条件を満たすことを確認して6点 答えに2点
第2問 (30点満点) ,
y zが自然数y', 'z を用いてy= 5y',z =3z'の形で表せることを理由とともに述べて6点 xを上記のy', 'z で表して6点
' '
y +z のとり得る値の範囲を求めて6点
上記のy'+z'それぞれに対する( 'y
,
z')の個数と，( , , )x y z が1組ずつ得られることを述べ て4点答えを求める計算に8点
第3問 (30点満点)
DA = BCからp = DC +q − DC⋅DB
2
2 2
2 を導いて8点
DB = CAから
q
= p+
DC − DA⋅DC2
2 2 2 を導いて8点
DC⋅AB = q2 −p2を導いて8点
q2 −p2 =0と DC⋅AB =0が同値であることを述べて2点 ,
p qが正であることと DC ,AB が0でないことを述べたうえで結論を述べて4点
2/4 第4問 (30点満点)
経路の個数に帰着させる発想を述べて6点
経路の異なる 16 個の値に16 点(途中で足し算を誤っている箇所があればその箇所は減点する が，以降の和があっている場合はここには加点する)
経路が得られる確率を求めて2点 答えに6点
第5問 (30点満点) (1) (配点4点)
差をとって不等式を示すことで証明できて4点 (2) (配点26点)
接点Pの座標を( , )t t2 などとおいてPにおける接線の方程式を求めて2点 上記の設定の下で接線の方向ベクトルと AP の内積を求めて4点
上記を方程式の実数解の条件に言い換え，その2解が異なることを示して 4点 2つの点Pの座標を求めて2点
面積Sをaの式で表して6点 Sの増減を調べて4点 残りの議論と答えに4点
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2021 年度第 1 回 6 月京大本番レベル模試 （2021 年 6 月 20 日実施)
採点基準 数学（理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【理系】（200点満点）
第1問 (30点満点)
長さと角を設定して4点
cos∠BAMを上記で設定したうちの2つの変数で表して8点
cos∠BAMの最小値を相加平均・相乗平均の関係を使って求め，等号成立条件に6点 BAM
∠ のとり得る値の範囲に4点
上記で求めた三角形ABCが条件を満たすことを確認して6点 答えに2点
第2問 (30点満点)
経路の個数に帰着させる発想を述べて6点
経路の異なる 16 個の値に16 点(途中で足し算を誤っている箇所があればその箇所は減点する が，以降の和があっている場合はここには加点する)
経路が得られる確率を求めて2点 答えに6点
第3問 (35点満点)
DA = BCからp = DC +q − DC⋅DB
2
2 2
2 を導いて10点
DB = CAから
q
= p+
DC − DA⋅DC2
2 2 2 を導いて10点
DC⋅AB = q2 −p2を導いて10点
q2 −p2 =0と DC⋅AB =0が同値であることを述べて2点 ,
p qが正であることと DC ,AB が0でないことを述べたうえで結論を述べて3点
4/4 第4問 (35点満点)
(1) (配点23点)
P,Qの座標をそれぞれ( , ),( , )X Y t t2 のように設定し，PがQにおけるCの法線上にあるた めの条件を示して5点
上記をtの方程式の実数解の条件に言い換え，さらに左辺をtの 3 次関数とみたときの増減を 調べるまでに6点
上記のtの方程式がちょうど2個の実数解をもつための( , )X Y の条件を述べて2点 残りの計算と答えに10点
(2) (配点12点) ( )
f x が偶関数であることから，x>0のときを調べる方針を述べて2点 '( ), ( )
f x f′′ x を求めて4点(各2点) ( )
f x の増減とKの凹凸について述べて2点 極限およびKの図示に4点
第5問 (35点満点)
p +p2
2 が平方数となる素数pが存在すると仮定した立式2p +p2 = r2に2点 仮定が成立するときpは5以上であることを示して6点
上記を2p =(r+p r)( −p)の形に変形して3点
k, l
r+p=2 r−p=2 の形で表されることをk l,の条件とともに述べ 4点 上記の2式からrを消去して4点
上記から仮定が成立するpが満たす等式p=2p−2 −1を導いて6点 上記の等式を満たす素数pが存在しないことを示して10点
第6問 (35点満点)
Anをnで表して7点
Bnをk=1からk =n−1までの和とk=n−1からk=1までの和で2通りに表し，和をとっ て12点
Bnをnで表して12点 答えまでに4点
