その数は 8 以上でなければならないことが示されており、Haas [8] は n の重複を含めた素因数の数が 47 以上でなければならないことを示しました。自然数 d に対して、d 次の円周多項式 Φd(X) は次のように定義されます。 Φd(X)∈Z[X] という非常に初歩的なことが示されています。例えば、d が素数 r に等しい場合を主に扱います。
となる。このセクションでは、円分数の基本的な性質を確認します。ステートメント 2.1 p を素数、a を 2 以上の自然数、d を 3 以上の自然数とします。この場合、次のことが当てはまります。 。
受容可能な円分数
円周分数の性質は、19 世紀後半にシルベスター、クロネッカーらによって研究され、その研究結果は次のようにまとめられています (cf. このセクションでは、定理 1.1 の証明手順を説明します。この論文では、p、q、r が常に素数を表すと仮定します。最初の、しかし最も困難な目標は、許容可能な円分数をすべて見つけることです。
調査対象のオブジェクトの数は有限数に制限されていますが、その数は膨大であり、どの円周率が許容されるかどうかを直接判断することは困難です。これは、r と p が大きい場合、Φr(p) が非常に大きくなり、その素因数分解が容易ではないためです。詳細な証明は§A.1 に譲りますが、一般的な議論は次のとおりです。 Φr(p) が許容できると仮定します。言い換えれば、Φr(p) の素因数は 108 未満であると仮定します。命題 2.1 により、Φr(p) の素因数となり得る有限数 q が存在します。 Φr(p) が十分に大きく、二乗因数を含まない場合、すべての有限素数の積ですらΦr(p) のサイズに達せず、これは矛盾です。言い換えれば、十分に大きな r の Φr(p) は、同じ素因数で何度も割り切れるか、許容されないかのどちらかになります。小さな Φr(p) が直接許容されるかどうかを調査することにした場合、残りのタスクは、十分に大きく、同じ素因数で何度も分割できる円周分数を見つけることです。少し検索してみるとわかるように、二乗因数と三乗因数を含む円分数は少数しかありませんが、それらを見つけるのは難しい部分です。 。
素数の制限
結論だけ述べますと、以下のことが当てはまります。本稿では、pekn は pe|n および pe+1-n を意味します。この補題は、UBASIC プログラム cubeprg.ub または PARI/GP プログラム cubeprg.gp を使用して検証できます。これは最も時間がかかる部分であるため、この計算時間を短縮することが重要でした。プログラムの内容は以下の通りです。 r を固定し、q を q≡1 (modr) だけシフトします。 (r, q) の各ペアについて、q2 |Φr(p) となるような p を検索しますが、Jenkins が登場する前は、すべての可能な範囲内で p を移動することによって直接検索していました。定理 2.2 によると、q2 |ただし、Φr(p) は p∈ hgq(q−1)/ri ⊂ (Z/q2Z)× (g は (Z/q2Z)× の生成器) と等価です。 。
このアップグレードによりどれだけ時間が節約されるかについては、§A.2 を参照してください。たとえば、このケースはすぐに現れる可能性がありますが、1093 を示すには多くの異なるケースが必要になります。完全な証明については、§A.3 を参照してください。 。
指数の制限
四つの集合
このケースは簡単に実証できますが、たとえば 1093-n を実証するには、多くの異なるケースが必要になります。完全な証明については、§A.3 を参照してください。定理 3.5 奇数の完全数 n には 108 未満の素因数しかないとします。現在、以下の条件が適用されます。 。要素は最大 1 つしかありません。このような素因数 t が存在する場合、それは「特別な素数」であり、s≥61 です。 3) n は、素因数として U の要素を最大 1 つ持ちます。このような素因数 u が存在する場合、それは「特別な素数」となり、u≥73 になります。従来とは少し異なる定理(1)のみを証明します。 p∈S かつ p|n の場合、p は式 (2.1) に現れる円分数の 1 つを共有します。それはΦ2(p1)でなければならないことを示しています（p1は「特別な素数」です）。 。
今、素数 p に対して、R(p) は次のように定義されます。次のステートメントをコンピューター (sqrprg.ub) で確認してください。 。
計算時間についての考察
条件 I、II、III のそれぞれの下で 3 つの補題を検証するのに必要な合計計算時間は次のとおりです。ただし、水平線 (—) は、時間がかかりすぎて実験を完了できなかったことを示します。この表を見ると、アルゴリズムの改良により計算時間が数十倍になっており、上限値が大きいほどその効果が顕著であることがわかります。また、記録を10倍に伸ばすには、約100倍の計算時間が必要であることがわかります。 。
補助定理 A.8 のチェック以外の計算にかかる時間を以下にまとめます。前述したように、ここではシステム B が使用されました。 8～12個のCPUを同時に使用したため、実際には約4か月で計算が完了しました。 。
補題 3.3 の証明
補題 3.4 の証明
受容可能な円分数の表
