偏微分係数と極大・極小の必要条件 Intro 2022 L01, Part 1–Part 3 Version 02

偏微分係数と極大・極小の必要条件

Intro 2022 L01, Part 1–Part 3 Version 02 Nobuyuki TOSE

April 11, 2022

プラン

Part 01

Part 02

Part 03

Part 01

Part 01

ミクロ経済学における

基本的な問題

ミクロ経済学における基本的な問題

ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．

生産理論

(Production Theory)

(Consumer Theory)

生産理論（ Production Theory ）

生産物

(product)C

(production elements) A,B

A, B, C

p, q, r

A

B

x

y

C

z = f (x, y)

このとき

f (x, y)

(production function)

(profit function)

π(x, y) = rf (x, y) − px − qy

生産理論の最初のステップは，利潤関数

π(x, y)

x = x ( p , q , r ), y = y ( p , q , r )

を求めることにあります．

消費者理論（ Consumer Theory ）

商品

(Goods) A,B

A

x, B

y

(utility function)u(x, y)

A, B

p, q

消費者が予算

I

A,B

I − px − qy = 0

の下で

u(x, y)

(demand function) x = x(p , q, I), y = y(p , q, I)

(mariginal utility of income)

λ = λ( p , q , I )

Part 02

Part 02

開集合

開円盤 CT 246p

開円盤

(Open Disc)

r > 0, P 0 ( a , b ) ∈ R 2

B r (P 0 ) := { P ∈ R 2 ; d (P, P 0 ) < r }

P 0 ,

r > 0

d (P 0 , P)

2

P 0 , P

P(x, y)

d(P 0 , P) = q

(x − a) 2 + (y − b) 2

注意今後「

P 0

r > 0

任意の

P ∈ B r (P 0 )

開集合（ Open subsets ） CT 246p

Definition

R 2

U

U

P 0 ∈ U

r > 0

B r ( P 0 ) := { P ∈ R 2 ; d ( P , P 0 ) < r } ⊂ U

注意

U

P 0

U

命題・命題関数

命題とは真偽が明らかな文のことです．例えば

2 > 1

Truth

1 > 2

False

集合

X

x ∈ X

P (x)

X = R

P (x) : 1 < x

P (0) : 1 < 0

P (2) : 1 < 2

命題関数 (2)

集合

X

P (x)

∀ x ∈ X (P (x))

はすべての

x ∈ X

P (x)

P (0)

∀ x ∈ X (P (x))

さらに

∃ x ∈ X (P (x))

はある

x ∈ X

P (x)

P (2)

∃ x ∈ X (P (x))

開集合の例

以下の

R 2

R 2

上半平面

U 1 := {(x, y) ∈ R 2 ; y > 0 }

第

1

1st Quadrant

R 2 ++ := {( x , y ) ∈ R 2 ; x , y > 0 }

B r (P 0 ) := { P ∈ R 2 ; d (P, P 0 ) < r }

開集合 – 反例

以下の

R 2

P 0 ∈ R 2

{ P 0 }

F 1 := {(x, y) ∈ R 2 ; y ≥ 0 }

1

R 2 ++ := {(x , y)R 2 ; x, y ≥ 0 }

B r (P 0 ) := { P ∈ R 2 ; d (P, P 0 ) ≤ r }

Part 03

Part 03

偏微分係数と極大・極小

Partial Differentiation

R 2

U

f : U → R

P 0 (a, b ) ∈ U

x

F (x) := f (x, b )

を

x = a

y

G(y) := f (a, y )

を

y = b

Partial Differentiation

この状況で，定義の中の極限が存在すれば，

x

y

f x (a, b ) := F 0 (a) = lim

x → a

f (x , b) − f (a, b) x − a f y (a, b) := G 0 (b ) = lim

y → b

f (a, y) − f (a, b)

y − b

Partial Differentiation-An example

R 2

f (x , y) = x 3 + 2xy 2 + y 3

(a, b) ∈ R 2

F (x) := f (x, b) = x 3 + 2xb 2 + b 3 , G(y) := f (a, y) = a 3 + 2ay 2 + y 3

F 0 (x) = 3x 2 + 2b 2 , and G 0 (y) = 4ay + 3y 2

f x (a, b ) = 3a 2 + 2b 2 , f y (a, b) = 4ab + 3b 2

1 変数の極大点（極小点） – 定義

開区間

] a , b [

f : ] a , b [ → R

f

t = c

resp.

⇔

δ > 0

f

]c − δ, c + δ[

resp.

⇔

δ > 0

f (t) ≥ f (c ) (c − δ < t < c + δ)

resp.f (t) ≤ f (c) (c − δ < t < c + δ)

1 変数の極大点（極小点） CT 104-105p

微分可能な

1

Theorem

微分可能な関数

f : ]a, b[→ R

f

c ∈]a, b [

f 0 ( c ) = 0

Minimal (Maximal) Points CT 268p

R 2

U

f : U → R

に対して，

f

P 0 (a, b)

resp.

δ > 0

f (x, y) ≥ f (a, b) ((x, y) ∈ B δ (P 0 ))

(resp.

f (x, y) ≤ f (a, b) ((x, y) ∈ B δ (P 0 ))

)

Minimal (Maximal) Points–Theorem CT 269p

R 2

U

f : U → R

が

U

P ∈ U

x, y

Theorem

f

P 0 (a, b ) ∈ U

f x ( a , b ) = f y ( a , b ) = 0 (1)

この状況で

(1)

P 0 (a, b )

f

Minimal (Maximal) Points–Sketch of proof

f

P 0 ( a , b )

F ( x ) = f ( x , b )

x = a

f ( x , y ) ≥ f ( a , b ) (( x , y ) ∈ B δ ( P 0 ))

f ( x , b ) ≥ f ( a , b ) ( a − δ < x < a + δ)

F (x) ≥ F (a) (a − δ < x < a + δ)

F 0 (a) = 0

f x (a, b) = 0

Minimal (Maximal) Points–An example

関数

f (x, y) = x 2 + 4xy + 2y 2 − 6x − 8y

について考えます．

f x (x, y) = 2x + 4y · 1 + 0 − 6 − 0

= 2x + 4y − 6 = 0 f y (x, y) = 0 + 4x · 1 + 4y − 0 − 8

= 4x + 4y − 8 = 0

を解くと，

(x, y ) = (1, 1)

f